Chapitre II Mouvement d`un point matériel

Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009
1
Chapitre II Mouvement d’un point matériel. Cinématique.
1-Définitions
1.1 Système
On a vu la nature discontinue de la matière à l’échelle microscopique.
Les différentes composantes élémentaires de la matière interagissent
entre elles. Cependant, dans un grand nombre de problèmes, il n’est pas
nécessaire de prendre en compte cet aspect discontinu. On peut adopter
une description « macroscopique » où, tout en ignorant la structure
microscopique de la matière, on isole par la pensée une partie du monde
matériel qui devient un objet. Ex : une balle qui tombe, une planète en
mouvement autour du Soleil etc. Le système physique est un objet ou un
assemblage d’objets bien défini dont on étudie les propriétés statiques ou
dynamiques, avec ou sans échange avec le reste du monde matériel qu’on
appellera le « monde extérieur ».
Système fermé : système sans échange de matière avec l’extérieur
!
masse constante
(une cellule vivante qui échange des ions avec l’extérieur par osmose est
un système ouvert)
Système isolé : système sans échange du tout (ni matière, ni énergie)
!
masse constante et énergie constante.
Remarque : Dans ce cours, on se limitera aux systèmes mécaniques. On
peut définir un système en thermodynamique, quand on tient compte des
échanges de chaleurs possibles. On définira alors l’énergie interne d’un
système, qui est constante si le système est isolé.
1.2 Cinématique et Dynamique
Ce chapitre est une partie de la « Mécanique » : étude du
mouvement et de l’équilibre des corps en relation avec les actions
exercées sur eux par le « monde extérieur ». Cette étude se découpe en
deux : cinématique et dynamique.
La Cinématique vise à décrire les mouvements (trajectoire d’un mobile,
équation horaire, vitesse, accélération etc.) sans se préoccuper des
causes qui les provoquent. Elle repose cependant sur les notions physiques
de l’espace et du temps.

Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009
2
La Dynamique s’intéresse aux forces qui provoquent les mouvements. La
masse du système en mouvement intervient alors dans l’étude de son
mouvement.
1.3 Solide et point matériel
Un solide est un objet considéré comme indéformable dans le
problème étudié. C’est-à-dire que la distance entre deux points
quelconques est fixe (constante). C’est en fait une idéalisation.
Exemple : une balle de tennis est moins rigide qu’une boule de pétanque
ou une toupie en bois, mais c’est un solide si on étudie son mouvement de
translation et sa rotation et pas sa déformation.
Pour repérer un solide, il faut spécifier la position de son centre
d’inertie (ou centre de masse, ou barycentre) et son orientation par
rapport à un repère fixe du laboratoire. Cela se fait par les 3
coordonnées du centre de masse et 3 angles qui caractérisent trois
rotations faisant passer trois axes fixes liés au solide aux trois axes
fixes). Il peut se déplacer par rapport à ce repère et tourner sur lui-
même (rotation).
Si l’on ne s’intéresse pas au mouvement de rotation de l’objet mais
seulement au déplacement de son centre d’inertie, on peut alors négliger
ses dimensions et l’assimiler à un point matériel affecté de sa masse
totale. C’est une idéalisation. On peut dire que le point matériel est un
objet matériel (possédant une masse) dont on peut négliger les
dimensions dans le problème étudié et qui ne tourne pas sur lui-même.
Exemple : - une bille qui roule n’est pas représentée par un point matériel
- Un satellite tournant autour de la Terre peut être décrit par un
point matériel si on n’a pas besoin de spécifier son orientation
(symétrie sphérique ou isotropie) mais seulement sa position.
La position d’un point matériel est donnée par 3 paramètres : les 3
coordonnées de position du point dans l’espace. On dit qu’il possède 3
degrés de liberté de mouvement.
En revanche, le solide possède 6 degrés de liberté (3 de translation, 3 de
rotation).
Dans ce qui suit, on s’intéressera surtout au mouvement d’un point
matériel, on dit aussi celui d’un mobile considéré comme un point.

Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009
3
1.4 Espace et temps d’un observateur
Espace
L’espace physique correspond à un espace euclidien à 3 dimensions.
C’est l’espace géométrique habituel (Par un point extérieur à une droite, il
ne passe qu’une droite parallèle à celle-ci) où l’on peut repérer la position
d’un point par ses 3 coordonnées. En fait, dans la théorie de la Relativité
Générale d’Einstein, il existe un écart entre la géométrie de l’espace-
temps et la géométrie euclidienne, mais cet écart est très faible à la
surface de la Terre. On n’a ici qu’une excellente approximation. Pour la
Mécanique Classique (objets de vitesses faibles devant celle de la
lumière) on pourra rapporter l’espace physique à l’espace euclidien. Les
longueurs seront mesurées en mètre dans les unités S.I.
Temps
L’écoulement du temps est une notion intuitive. En effet,
intuitivement on sait établir une chronologie pour la succession des
évènements. Le temps sert à dater les évènements. Un instrument qui
permet de dater est une horloge (ou chronomètre).
Origine du temps : un événement choisi comme référence.
Le temps ne peut qu’augmenter donc il ne peut varier que dans le sens
positif mais il peut prendre des valeurs négatives (on dit moins 5 minutes
par rapport à une heure prise comme origine par exemple)
A priori, n’importe quel phénomène évolutif peut-être utilisé pour
mesurer le temps : un sablier, une clepsydre, la position apparente du
soleil par rapport à la Terre (cadran solaire) mais on peut admettre une
exigence supplémentaire à cause de l’écoulement uniforme du temps. Pour
définir l’unité du temps, on choisira un phénomène régi par une loi
physique invariante dans le temps (invariante par translation dans le
temps). Les phénomènes périodiques permettent de vérifier si l’on a des
intervalles égaux et de définir une chronologie.
Par exemple, le jour solaire, qui est l’intervalle de temps séparant deux
passages successifs d’un point de la Terre devant le Soleil, moyenné sur
un an a servi à définir la seconde jusqu’en 1960 :
1 seconde =1/86400 jour solaire moyen .
En fait le mouvement de rotation de la Terre sur elle-même se ralentit à
cause du frottement de la marée. Le jour, donc l’unité de temps, se
dilate, ce qui entraîne une accélération apparente des astres. On est

Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009
4
amené à changer la définition de la seconde à l’aide d’une horloge
atomique à cesium (9 192 631 770 périodes du rayonnement
correspondant à une transition entre 2 niveaux hyperfins de 133Cs dans
son état fondamental).
2- Référentiel. Relativité du mouvement.
Parler du mouvement, c’est nécessairement parler de déplacement
relatif par rapport à quelque chose qui sert de référence fixe. On peut
être immobile dans un train qui avance sur la Terre.
Les physiciens décriront toujours le mouvement d’un mobile par rapport à
un « observateur » lié de manière fixe à un solide indéformable (R)
appelé « référentiel ». En fait c’est tout l’espace fixe par rapport à
l’observateur. Deux observateurs dans deux référentiels différents
voient différemment le même mouvement.
Par exemple, on parle du « référentiel du laboratoire » = les murs du
laboratoire où se trouve l’observateur immobile
Autre exemple : un observateur 1 immobile sur le trottoir, un observateur
2 à bicyclette sur la route, un observateur 3 dans un train qui passe sur
une voie ferrée parallèlement à la route.
Pour l’obs. 3, le cycliste recule alors qu’il avance pour l’obs. 1. Pour l’obs. 1,
un point de la roue décrit une courbe cycloïde.
En Mécanique Classique, le temps est absolu : il est le même quel que
soit le référentiel. Deux observateurs dans des référentiels différents
attribuent les mêmes dates aux mêmes évènements. Ceci n’est vrai que
pour des vitesses relativement faibles devant celle de la lumière. Pour
des vitesses plus grandes, la Relativité restreinte montre qu’on doit
définir un temps pour chaque référentiel.
3- Description du mouvement d’un point matériel
3.1 Vecteurs position, vitesse et accélération
Vecteur position
On se place donc dans un référentiel (R) donné. Pour définir la
position d’un point matériel placé en un point géométrique M, on doit
choisir un point O fixe dans le référentiel (R) par rapport auquel on

Résumé cours LTB MIME13-LP101 2008-2009
5
pourra la définir. La position du point M est alors définie par le vecteur
lié (bipoint)
OM
! "!!!
=r
"
appelé « vecteur position ». Le choix du point fixe
O est arbitraire. Si on choisissait un autre point O’ fixe pour repérer M,
on aurait :
r'
!"
=O'M
! "!!!!
=O'O
! "!!!
+OM
! "!!!
. Le vecteur
O'O
! "!!!
est un vecteur fixe dans
(R).
Quand le point matériel se déplace, le point M se déplace et le vecteur
OM
! "!!!
(t)=r
"
(t)
varie en fonction du temps. La courbe (C) décrite par le point
M est la trajectoire du point matériel.
s=M0M
!
abscisse curviligne
mesure algébrique
s=s(t)
: équation horaire
Attention, la trajectoire est une courbe définie indépendamment du
temps. Si on a choisi un trièdre orthonormé (Oxyz) et si on connaît les
lois horaires x(t), y(t), z(t) , on a 3 équations paramétriques de (C) et il
est possible d’éliminer la variable temps (t) et obtenir une équation de la
forme F(x,y,z)=0.
Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur
OM
! "!!!
(t)=r
"
(t)
:
v
!
=dOM
" !"""
dt
=!
#
r
Soit M position du point à l’instant
t
et M’ à l’instant infiniment voisin
t'=t+!t!
,
!t=t'"t
v
!
=lim!t"0
MM '
" !""""
!t
=lim!t"0
OM '
" !"""
#OM
" !"""
!t
=dOM
" !"""
dt
=dr
!
dt
Attention :
Quand M est infiniment voisin de M’, on a
MM '
! "!!!!
!MM '
#
La vitesse est tangente à la trajectoire au point M.
le vecteur
dOM
! "!!!
est un vecteur d’orientation quelconque, pas forcément //
OM
! "!!!
.
M0
M
M'
(C)
O