Coordonnées dans une base

Coordonn´ees dans une base
D´edou
Novembre 2010

L’´equation caract´eristique des coordonn´ees : exemple
Les coordonn´ees d’un vecteur ~ vde notre espace vectoriel favori R2
dans une base (
~
i,~ j) sont deux nombres xet yqui v´erifient
l’´equation caract´eristique des coordonn´ees :
~
v=x~ i+y~ j.
La recherche des coordonn´ees est donc un probl`eme de
d´ecomposition lin´eaire.
Exemple : L’ ´equation caract´eristique des coordonn´ees xet ydu
vecteur ~ v:= 1
2dans la base (3 4,5 6) est
1
2=x3 4+y5 6.

L’´equation caract´eristique des coordonn´ees : exercice
Exo 1
a) Ecrire l’ ´equation caract´eristique des coordonn´ees xet ydu
vecteur 4
0dans la base (1 2,2 −4).
b) Est-ce que ces coordonn´ees sont 2 et 1 ?

Vecteur de coordonn´ees donn´ees dans une base donn´ee
Etant donn´es xet y, il existe un unique vecteur ~ vdont les
coordonn´ees dans notre base soient ces deux nombres, et il est
donn´e par la formule :
~
v=x~ i+y~ j.
Exemple
Le vecteur de coordonn´ees 2 et 3 dans la base (4
5,6 7) est
(26
31)
Exo 2
Quel est le vecteur de coordonn´ees 5 et −2 dans la base
(2
0,2 1) ?

Coordonn´ees d’un vecteur dans une base
Inversement, ´etant donn´e un vecteur ~ vquelconque de notre plan, il
existe un unique couple (x,y) de nombres v´erifiant l’´equation
(caract´eristique des coordonn´ees) :
~
v=x~ i+y~ j.
Ces deux nombres xet ysont les coordonn´ees de ~ vdans notre
base .
Exo 3
Quelles sont les coordonn´ees de 1
6dans la base (1 2,3 4) ?