Stage sur site lycée Fresnel Géométrie

Stage sur site lyc´ee Fresnel
G´eom´etrie
Avril 2013
I. Entr´ee, traitement, sortie : connaˆıtre son cours
Parall´elogramme
Entr´ee : les coordonn´ees de trois points A,B,Cdans un rep`ere.
Sortie : les coordonn´ees de Dtel que ABCD soit un parall´elogramme.
Variante : cr´eer un hh outil ii sous GeoGebra permettant la construction de D.
Produit scalaire
Entr´ee : les coordonn´ees de deux vecteurs dans un rep`ere orthonorm´e.
Sortie : le produit scalaire de ces deux vecteurs.
Variantes : calcul de la norme des deux vecteurs ; mesure de l’angle, en radians, entre les deux vecteurs.
Nombres complexes
Entr´ee : les affixes de deux nombres complexes, sous forme alg´ebrique.
Sortie : le produit des deux nombres, leurs modules, leur quotient. . . sous forme alg´ebrique.
II. Si . . . alors . . . sinon . . .
Un probl`eme de parall´elisme
Dans un rep`ere orthonorm´e (O, I, J), on donne les points A(8; 0), B(8; 6) et C(0; 6), qui forment avec Ole rectangle
OABC.
1. Justifier que le centre du rectangle est le point K(4; 3).
2. Soit le point G(4; 5) et soit dla droite d’´equation y= 3.
La droite (BG) coupe den H.
a) D´eterminer une ´equation de la droite (BG).
b) En d´eduire les coordonn´ees de H.
3. ´ Etude d’un algorithme
a) Lister les variables utilis´ees par l’algorithme ci-
contre.
b) Qu’affiche cet algorithme si on le fait fonctionner
avec les points Het A? que repr´esente ce nombre ?
4. Que peut-on dire des droites (AH) et CG) ? Justifier.
5. Recopier et modifier / compl´eter l’algorithme ci-contre
de sorte que :
•l’utilisateur entre les coordonn´ees de quatre points
M,N,K,L;
•l’algorithme se termine par l’affichage d’un des deux
messages :
hh les droites (M N) et (KL) sont parall`eles ii ou
hh les droites (M N) et (KL) sont s´ecantes ii.
VARIABLES
...
DEBUT ALGORITHME
L’utilisateur entre les coordonn´ees d’un
point M.
L’utilisateur entre les coordonn´ees d’un
point N.
aprend la valeur yM−yN
xM−xN
.
Afficher a.
FIN ALGORITHME
Variantes possibles
– Colin´earit´e de vecteurs.
– Avec un programme sous XCAS : travailler avec les nombres complexes et le rapport zM−zN
zK−zL
.
1

III. Boucles
Spirale et nombres complexes
Modifier l’´enonc´e ci-dessous de mani`ere `a y introduire un ou des algorithmes.
Un bon outil pour explorer ce probl`eme est XCAS.
Bac S, Pondich´ery 2006
Le plan complexe est muni d’un rep`ere orthonormal direct (O, ~u, ~v) . On prendra pour unit´e graphique 5 cm. On pose
z0= 2 et, pour tout entier naturel n, zn+1 =1 + i
2zn. On note Anle point du plan d’affixe zn.
1. Calculer z1, z2, z3, z4et v´erifier que z4est un nombre r´eel. Placer les points A0, A1, A2, A3et A4sur une figure.
2. Pour tout entier naturel n, on pose un=|zn|.
Justifier que la suite (un) est une suite g´eom´etrique puis ´etablir que, pour tout entier naturel n:un= 2 1
√2n
.
3. A partir de quel rang n0tous les points Anappartiennent-ils au disque de centre Oet de rayon 0,1 ?
4. a) Etablir que, pour tout entier naturel n, zn+1 −zn
zn+1
=i. En d´eduire la nature du triangle OAnAn+1.
b) Pour tout entier naturel n, on note ℓnla longueur de la ligne bris´ee A0A1A2...An−1An.
On a ainsi : ℓn=A0A1+A1A2+...+An−1An.
Exprimer ℓn, en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ℓn) ?
2