Exemple d`application du théorème de Gauss

Électricité et magnétisme Chapitre 3 Théorème de Gauss
Exemple d’application
On place une sphère non conductrice de 10 cm de rayon au centre d’une coquille métallique neutre de 15
cm de rayon intérieur et de 20 cm de rayon extérieur. La densité volumique de charge de la sphère
ρ = 3,0 nC/m3.
a) Déterminer à partir du théorème de Gauss, la grandeur champ électrique à 5 cm du centre.
b) Déterminez les densités surfaciques σ1 et σ2 sur les surfaces intérieure et extérieure de la coquille.
c) Déterminez l’accélération que subira un proton situé à 25 cm de la surface de la coquille.
Situation :
Rayon de la sphère R = 0,10 m
Rayon intérieur de la coquille
R1 = 0,15 m
Rayon extérieur R2 = 0,20 m
Densité volumique ρ = 3,0 nC/m3
Problème :
Je cherche la grandeur champ électrique E à r= 5 cm du centre
Solution possible : J’utilise le théorème de Gauss en redessinant uniquement la sphère non-conductrice
Pour appliquer le théorème de Gauss, il faut
d’abord dessiner le champ électrique et choisir
une surface adaptée aux lignes de champ. À
l’intérieur de la sphère isolante, on fait
l’hypothèse que le champ est radial, on prend
donc une surface de Gauss sphérique.
Partant du théorème de Gauss, qui s’écrit
o
QAdE
ε /
in
t
∫=• r
r
E
dA
++
++
R
r
+
+
++
+
+
+
+
-
-
-
-
E =0
R
R1
R2
+
- 1 -

obtiens compte tenu de la situation J’
et de l’orientation de E et dA ∫∫∫
=== 2 4cos rEdAEEdAEdA
πθ
o
r
rE
ε
πρ
π
3
3
4
2
4=
En isolant E, j’obtiens donc
N/C 65,5
12
1085,83
05,0
9
100,3
3=
−
××
×
−
×
==
o
r
E
ε
ρ
ésultat probable : D’après mes calculs, la grandeur du champ électrique E à 50, cm du centre de
) Déterminez les densités surfaciques σ1 et σ2 sur les surfaces intérieure et extérieure de la coquille.
olution possible : Partant du théorème de Gauss et compte tenu du fait que le champ électrique est nul
R
la sphère non conductrice est de 5,65 N/C
Justification : Théorème de Gauss
b
S
à l’intérieur de la coquille, je sais que la charge sur la surface intérieure de la coquille sera égale mais de
signe contraire à celle de la sphère isolante.
0
int ==
∫•
o
Q
AdE
ε
r
r
On peut écrire, 0
1
int =+= sphère
QQQ
sphère
QQ −=
1
3
3
4
2
1
4
1RR
πρπσ −=
n isolant ρ, j’obtiens
E
2
C/m
11
1044,4
2
)15,0(3
3
)1,0(
9
100,3
2
1
3
3
1−
×−=
×
×
−
×
−=
×
−= R
R ρ
σ
tant donné que la coquille est neutre, nous avons par conséquent
É
12 QQ −=
2
1
4
1
2
2
4
2RR
πσπσ −=
- 2 -

en isolant σ , j’obtiensdonc
2
2
C/m
11
1050,2
2
)2,0(
2
)15,0(
11
1044,4
2
2
2
1
12 −
×=
−
×=−= R
R
σσ
ésultat probable : D’après mes calculs, les densités surfaciques intérieure et extérieur sont
σ1 = − 4,44 x 10−11 C/m2 et σ2 = 2,50 x 10-11 C/m2
) Déterminez l’accélération que subira un proton situé à 25 cm de la surface de la coquille.
ituation :
osition r = 0,45 m du centre
harge du proton qp = 1,60x10 C
asse du proton m = 1,67x10-27 kg
cherche l’accélération du proton à 45 cm du centre.
olution possible :
artant de la deuxième loi de Newton F = ma et de la définition de la force électrique F= qE,
Nous obtenons :
R
respectivement données par
Justification : Théorèm de Gauss
c
S
P
-19
C
45 cm
qp E
F
Mp
Problème :
Je
S
P
m
qE
a= il nous reste à calculer E à partir du théorème de Gauss.
utilise le théorème de Gauss,
25 cm
J’
0
int ==
∫•
o
Q
AdE
ε
r
r
E
n tenant de l’orientation des lignes de champ, dA
E
∫=o
QEdA
εθ /
in
t
cos
obtiens donc
J’
- 3 -

o
QrE
επ /
in
t
2
4=×
a charge totale à l’intérieur de la surface de Gauss est égale à la charge de la sphère puisque la coquille est L
neutre.
3
43
int R
Q
πρ
=
n isolant E, j’obtiens, E
N/C
1
1058,5
12
1085,8
2
)45,0(3
3
)1,0(
9
103
0
2
3
3
2
4
int −
=
−
×××
×
−
×
=== x
r
R
r
o
Q
E
ε
ρ
πε
par conséquent 2
m/s
7
1035,5
27
1067,1
1
1058,5
19
1060,1 ×=
−
×
−
×
−
×
== x
m
qE
a
ésultat probable : D’après mes calculs, à 45 cm du centre, l’accélération du proton sera de
R
53,5 Mm/s2
Justification : Théorème de Gauss
- 4 -