Exemple d`application du théorème de Gauss

Électricité et magnétisme Chapitre 3
Théorème de Gauss
Exemple d’application
On place une sphère non conductrice de 10 cm de rayon au centre d’une coquille métallique neutre de 15
cm de rayon intérieur et de 20 cm de rayon extérieur. La densité volumique de charge de la sphère
ρ = 3,0 nC/m3.
a) Déterminer à partir du théorème de Gauss, la grandeur champ électrique à 5 cm du centre.
b) Déterminez les densités surfaciques σ1 et σ2 sur les surfaces intérieure et extérieure de la coquille.
c) Déterminez l’accélération que subira un proton situé à 25 cm de la surface de la coquille.
Situation :
+
Rayon de la sphère R = 0,10 m
Rayon intérieur de la coquille
R1 = 0,15 m
R2
-
Rayon extérieur R2 = 0,20 m
+
+
Densité volumique ρ = 3,0 nC/m
3
-
+
+
R1
-
+
+ R
-
E =0
+
Problème :
Je cherche la grandeur champ électrique E à r= 5 cm du centre
Solution possible : J’utilise le théorème de Gauss en redessinant uniquement la sphère non-conductrice
Pour appliquer le théorème de Gauss, il faut
d’abord dessiner le champ électrique et choisir
une surface adaptée aux lignes de champ. À
l’intérieur de la sphère isolante, on fait
l’hypothèse que le champ est radial, on prend
donc une surface de Gauss sphérique.
E
dA
Partant du théorème de Gauss, qui s’écrit
r
r
∫ E • dA = Qint / ε o
R
-1-
+
+
+
+
r
+
∫ EdA cos θ = ∫ EdA = E ∫ dA = E 4πr
J’obtiens compte tenu de la situation
et de l’orientation de E et dA
E 4πr
2
=
ρ 4πr
3
3ε o
En isolant E, j’obtiens donc
E =
ρr
3ε o
=
3, 0 × 10
−9
× 0 , 05
3 × 8,85 × 10
−12
= 5, 65 N/C
Résultat probable :
D’après mes calculs, la grandeur du champ électrique E à 50, cm du centre de
la sphère non conductrice est de 5,65 N/C
Justification : Théorème de Gauss
b) Déterminez les densités surfaciques σ1 et σ2 sur les surfaces intérieure et extérieure de la coquille.
Solution possible : Partant du théorème de Gauss et compte tenu du fait que le champ électrique est nul
à l’intérieur de la coquille, je sais que la charge sur la surface intérieure de la coquille sera égale mais de
signe contraire à celle de la sphère isolante.
Q int
r
r
∫ E • dA =
= 0
εo
Q int = Q1 + Q sphère = 0
On peut écrire,
Q1 = − Q sphère
2
σ 1 4πR1 = − ρ
En isolant ρ, j’obtiens
σ1 = −
ρR
3
2
3 × R1
= −
3, 0 × 10
−9
× ( 0 ,1)
3 × ( 0 ,15 )
2
4
πR
3
3
3
= −4 , 44 × 10
Étant donné que la coquille est neutre, nous avons par conséquent
Q 2 = − Q1
2
2
σ 2 4πR 2 = −σ 1 4πR1
-2-
−11
C/m
2
2
en isolant σ2 , j’obtiensdonc
2
R1
− 11 ( 0 ,15 ) 2
− 11
2
= 4 , 44 × 10
= 2 , 50 × 10
C/m
σ 2 = −σ 1
2
R2
( 0, 2 ) 2
Résultat probable : D’après mes calculs, les densités surfaciques intérieure et extérieur sont
respectivement données par
σ1 = − 4,44 x 10−11 C/m2
et σ2 = 2,50 x 10-11 C/m2
Justification : Théorèm de Gauss
c) Déterminez l’accélération que subira un proton situé à 25 cm de la surface de la coquille.
Situation :
Position r = 0,45 m du centre
Charge du proton qp = 1,60x10-19 C
qp
E
Masse du proton mp = 1,67x10-27 kg
F
Problème :
45 cm
Je cherche l’accélération du proton à 45 cm du centre.
Solution possible :
Partant de la deuxième loi de Newton F = ma et de la définition de la force électrique F= qE,
a =
Nous obtenons :
qE
il nous reste à calculer E à partir du théorème de Gauss.
m
J’utilise le théorème de Gauss,
Qint
r
r
∫ E • dA =
= 0
εo
E
dA
En tenant de l’orientation des lignes de champ,
∫ EdA cos θ = Q int / ε o
25 cm
J’obtiens donc
-3-
E × 4πr
2
= Q int / ε o
La charge totale à l’intérieur de la surface de Gauss est égale à la charge de la sphère puisque la coquille est
neutre.
Qint =
ρ 4πR 3
3
En isolant E, j’obtiens,
E=
Q
int
4πε r 2
o
par conséquent
Résultat probable :
=
ρR 3
3r 2ε
0
=
3 × 10 − 9 × (0,1) 3
= 5,58 x10 − 1 N/C
2
−
12
3 × (0,45) × 8,85 × 10
qE 1,60 × 10 − 19 × 5,58 x10 − 1
a=
=
= 5,35 × 10 7 m/s 2
m
1,67 × 10 − 27
D’après mes calculs, à 45 cm du centre, l’accélération du proton sera de
53,5 Mm/s2
Justification : Théorème de Gauss
-4-