Le théorème de Gauss

Chapitre 4 OSPH Le théorème de Gauss 28
4. Le théorème de Gauss
4.1. Le flux électrique
On peut faire une analogie entre
les lignes de force qui traversent
une surface et les lignes de
courant d'un fluide qui s'écoule
à travers une surface. Partant de
cette analogie, Gauss a défini la
grandeur appelée flux
électrique. La figure (partie de
gauche) représente une surface
plane d'aire A, perpendiculaire
aux lignes d'un champ électrique
uniforme. Par définition, le flux
électrique
E
qui traverse cette
surface est
E
EA
L'unité SI de flux électrique est le 2
N m C
. Bien que la définition du flux ne fasse pas
intervenir les lignes de force, le flux électrique à travers une surface donnée est proportionnel
au nombre de lignes de champ passant par cette surface. Si la surface est inclinée et fait un
certain angle avec le champ, comme à la figure (partie de doite), le nombre de lignes
interceptées dépend de An, la projection de la surface sur un plan normal aux lignes.
cos
EEA
On reconnaît le produit scalaire. Pour un champ uniforme,
E
E A
Si le champ n’est pas uniforme ou la surface non plane, il
faut procéder à une division de la surface en petits
éléments et sommer les contributions du flux
correspondant.
E
E dA
4.2. Le théorème de Gauss
Considérons une charge ponctuelle positive Q. La symétrie du
problème montre que le champ a la même valeur en tout point
d’une sphère imaginaire centrée sur la charge. Tout élément de
surface est parallèle au champ local. Ainsi
EdA E dA
. Le
flux total à travers une surface de Gauss fermée est :
2
4
E
EdA EdA E r

Chapitre 4 OSPH Le théorème de Gauss 29
D’après la loi de Coulomb :
2
Q
E k
r
et
0
1
4
k , la charge enfermée s’écrit(par rapport au
flux total) :
0
enf E
Q
Le flux traversant une surface de Gauss fermée dépend de la charge qu’elle enferme.
4.3. Méthode de résolution: Théorème de Gauss
Sous la forme intégrale, le théorème de Gauss est utile pour déterminer un champ
électrostatique à condition que la distribution de charges soit suffisamment symétrique pour
que l'intégration soit simple. Lorsqu'on choisit une surface de Gauss, il est bon d'avoir à l'esprit
les trois points suivants.
1. Utiliser la symétrie de la distribution de charges pour déterminer la configuration des lignes
de champ.
2. Choisir une surface de Gauss pour laquelle
E
est soit parallèle, soit perpendiculaire à
dA
.
3. Si
E
est parallèle à
dA
, l'intensité Edoit être constante sur cette partie de la surface.
L'intégrale se réduit alors à une somme sur les éléments de surface.
Exemples :
1. Une sphère creuse de rayon Rporte une charge Quniformément répartie sur sa
surface. Trouver le champ à l’extérieur et à l’intérieur de la sphère.
2. Une droite infinie chargée porte une densité linéaire de charge égale à
C m
.
Déterminer le champ à une distance rde la droite.
3. Déterminer le champ créé par une feuille plane infinie chargée de densité superficielle
de charge égale à
2
C m
4.4. Exercices
1. Soit une plaque circulaire de rayon 12
cm. Son plan fait un angle de 30° avec
un champ uniforme E = 4507 N/C
(figure). Quel est le flux traversant la
plaque ?
2. Soit un champ électrique uniforme E
parallèle à l'axe central d'un hémisphère
de rayon R (figure). Quel est le flux
traversant l'hémisphère ?

Chapitre 4 OSPH Le théorème de Gauss 30
3. Soit deux charges, 16
q C
et
28
q C
à l'intérieur d'une surface
sphérique de rayon 5cm. Quel est le
flux total traversant la surface?
4. Le flux à travers chaque face d'une
surface de Gauss cubique d'arête 10 cm
est égal à
2
4
3 10
Nm
C
. Quelle est la
charge nette à l'intérieur ?
5. Soit une charge de 60
C
située au
centre d'un cube d'arête 10 cm. (a) Quel
est le flux total traversant le cube ? (b)
Quel est le flux à travers une face du
cube ? (c) Vos réponses aux questions
(a) ou (b) seraient-elles différentes si la
charge n'était pas située au centre ?
6. Un conducteur sphérique de rayon 8cm
a une densité superficielle de charge
uniforme égale à
2
0,1
nC
m
. Déterminez le
champ électrique: (a) sur la surface; (b)
à une distance de 10 cm du centre.
7. Une charge ponctuelle de 16 C est
placée au centre d'une sphère
conductrice creuse portant une charge
de -8 C répartie uniformément. (a)
Déterminez le champ à l'intérieur et à
l'extérieur de la sphère creuse. (b)
Quelles sont les charges sur les surfaces
intérieure et extérieure de la sphère? (c)
Dessinez les lignes de champ.
8. Montrez que le champ à la surface d'une
sphère creuse uniformément chargée est
0
E , étant la densité superficielle
de charge.
9. Soit deux feuilles chargées, infinies et
parallèles, ayant une même densité
superficielle de charge égale à
2
C
m
.
Quel est le champ (a) dans la région
comprise entre les feuilles, et (b) dans
les régions non comprises entre les
feuilles ?
10. Une plaque infinie non conductrice a
une densité superficielle de charge égale
à
2
C
m
sur chaque face. Elle est
parallèle à une plaque analogue de
densité
2
C
m
 sur chaque face.
Déterminez le champ (a) dans la région
comprise entre les plaques, et (b) à
l'intérieur de la plaque positive.
11. On considère le long câble coaxial
linéaire de la figure. Le conducteur
intérieur de rayon a aune densité
superficielle de charge
1
et l'enveloppe
extérieure cylindrique de rayon b aune
densité superficielle de charge
2
.
Trouvez la relation entre
1
et
2
pour
que le champ soit nul à l'extérieur du
câble, c'est-à-dire pour r > b.