Le théorème de Gauss

Chapitre 4 OSPH
4.
Le théorème de Gauss
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Le théorème de Gauss
4.1. Le flux électrique
On peut faire une analogie entre
les lignes de force qui traversent
une surface et les lignes de
courant d'un fluide qui s'écoule
à travers une surface. Partant de
cette analogie, Gauss a défini la
grandeur
appelée
flux
électrique. La figure (partie de
gauche) représente une surface
plane d'aire A, perpendiculaire
aux lignes d'un champ électrique
uniforme. Par définition, le flux
électrique  E qui traverse cette
surface est
 E  EA
L'unité SI de flux électrique est le N  m 2 C . Bien que la définition du flux ne fasse pas
intervenir les lignes de force, le flux électrique à travers une surface donnée est proportionnel
au nombre de lignes de champ passant par cette surface. Si la surface est inclinée et fait un
certain angle avec le champ, comme à la figure (partie de doite), le nombre de lignes
interceptées dépend de An, la projection de la surface sur un plan normal aux lignes.
 E  EA cos 
On reconnaît le produit scalaire. Pour un champ uniforme,
 
E  E  A
Si le champ n’est pas uniforme ou la surface non plane, il
faut procéder à une division de la surface en petits
éléments et sommer les contributions du flux
correspondant.
 
 E   E  dA
4.2.
Le théorème de Gauss
Considérons une charge ponctuelle positive Q. La symétrie du
problème montre que le champ a la même valeur en tout point
d’une sphère imaginaire centrée sur la charge. Tout élément de
 
surface est parallèle au champ local. Ainsi E  dA  E dA . Le
flux total à travers une surface de Gauss fermée est :
2
E  
 E dA  E  dA  E 4r
Chapitre 4 OSPH
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D’après la loi de Coulomb : E  k
Q
1
et k 
, la charge enfermée s’écrit (par rapport au
2
r
4 0
flux total) :
Qenf   0 E
Le flux traversant une surface de Gauss fermée dépend de la charge qu’elle enferme.
4.3. Méthode de résolution: Théorème de Gauss
Sous la forme intégrale, le théorème de Gauss est utile pour déterminer un champ
électrostatique à condition que la distribution de charges soit suffisamment symétrique pour
que l'intégration soit simple. Lorsqu'on choisit une surface de Gauss, il est bon d'avoir à l'esprit
les trois points suivants.
1. Utiliser la symétrie de la distribution de charges pour déterminer la configuration des lignes
de champ.


2. Choisir une surface de Gauss pour laquelle E est soit parallèle, soit perpendiculaire à dA .


3. Si E est parallèle à dA , l'intensité E doit être constante sur cette partie de la surface.
L'intégrale se réduit alors à une somme sur les éléments de surface.
Exemples :
1. Une sphère creuse de rayon R porte une charge Q uniformément répartie sur sa
surface. Trouver le champ à l’extérieur et à l’intérieur de la sphère.
2. Une droite infinie chargée porte une densité linéaire de charge égale à  C m .
Déterminer le champ à une distance r de la droite.
3. Déterminer le champ créé par une feuille plane infinie chargée de densité superficielle
de charge égale à  C m 2
4.4.
Exercices
1. Soit une plaque circulaire de rayon 12
cm. Son plan fait un angle de 30° avec
un champ uniforme E = 4507 N/C
(figure). Quel est le flux traversant la
plaque ?
2. Soit un champ électrique uniforme E
parallèle à l'axe central d'un hémisphère
de rayon R (figure). Quel est le flux
traversant l'hémisphère ?
Chapitre 4 OSPH
3. Soit
deux
Le théorème de Gauss
charges,
q1  6 C
et
q2  8 C à l'intérieur d'une surface
sphérique de rayon 5 cm. Quel est le
flux total traversant la surface?
4. Le flux à travers chaque face d'une
surface de Gauss cubique d'arête 10 cm
Nm 2
est égal à 3 104
. Quelle est la
C
charge nette à l'intérieur ?
5. Soit une charge de 60 C située au
centre d'un cube d'arête 10 cm. (a) Quel
est le flux total traversant le cube ? (b)
Quel est le flux à travers une face du
cube ? (c) Vos réponses aux questions
(a) ou (b) seraient-elles différentes si la
charge n'était pas située au centre ?
6. Un conducteur sphérique de rayon 8 cm
a une densité superficielle de charge
nC
uniforme égale à 0,1 2 . Déterminez le
m
champ électrique: (a) sur la surface; (b)
à une distance de 10 cm du centre.
7. Une charge ponctuelle de 16 C est
placée au centre d'une sphère
conductrice creuse portant une charge
de -8 C répartie uniformément. (a)
Déterminez le champ à l'intérieur et à
l'extérieur de la sphère creuse. (b)
Quelles sont les charges sur les surfaces
intérieure et extérieure de la sphère? (c)
Dessinez les lignes de champ.
8. Montrez que le champ à la surface d'une
sphère creuse uniformément chargée est

E  ,  étant la densité superficielle
0
de charge.
9. Soit deux feuilles chargées, infinies et
parallèles, ayant une même densité
C
superficielle de charge égale à  2 .
m
Quel est le champ (a) dans la région
comprise entre les feuilles, et (b) dans
les régions non comprises entre les
feuilles ?
30
10. Une plaque infinie non conductrice a
une densité superficielle de charge égale
C
à  2 sur chaque face. Elle est
m
parallèle à une plaque analogue de
C
densité  2 sur chaque face.
m
Déterminez le champ (a) dans la région
comprise entre les plaques, et (b) à
l'intérieur de la plaque positive.
11. On considère le long câble coaxial
linéaire de la figure. Le conducteur
intérieur de rayon a aune densité
superficielle de charge 1 et l'enveloppe
extérieure cylindrique de rayon b a une
densité superficielle de charge  2 .
Trouvez la relation entre 1 et  2 pour
que le champ soit nul à l'extérieur du
câble, c'est-à-dire pour r > b.