TES 2014 05 liban_complet

Liban Juin 2014
Exercice 1 5 points
Commun à tous les candidats
Un serveur, travaillant dans une pizzeria, remarque qu’en moyenne, 40% des clients sont des familles,
25% des clients sont des personnes seules et 35% des clients sont des couples.
Il note aussi que :
• 70% des familles laissent un pourboire ;
• 90% des personnes seules laissent un pourboire ;
• 40% des couples laissent un pourboire.
Un soir donné, ce serveur prend au hasard une table occupée dans la pizzeria.
On s’intéresse aux évènements suivants :
F : « la table est occupée par une famille »
S : « la table est occupée par une personne seule »
C : « la table est occupée par un couple »
R : « le serveur reçoit un pourboire »
On note ̅ l’évènement contraire de A et ( )la probabilité de A, sachant B.
Partie A
1. D’après les données de l’énoncé, préciser les probabilités ( ) et ( ).
( ) = 0,40
( ) = 0,9
2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
∩
0,70
F
0,4
∩
∩
0,35
0,4
0,25
∩
∩
0,9
∩
3. a. Calculer ( ∩ ).
( ∩ ) = ( ) × ( ) = 0,4 × 0,7 = 0,28
b. Déterminer ( )
est la réunion des événements ∩ , ∩ et ∩
Donc ( ) = ( ∩ ) + ( ∩ ) + ( ∩ )
qui sont deux à deux incompatibles,
( ∩ ) = ( ) × ( ) = 0,35 × 0,4 = 0,14
( ∩ ) = ( ) × ( ) = 0,25 × 0,9 = 0,225
D’où ( ) = 0,28 + 0,14 + 0,225 = 0,645
4. Sachant que le serveur a reçu un pourboire, calculer la probabilité que ce pourboire vienne d’un couple.
Le résultat sera arrondi à 10!"
( ∩ )
0,14
=
≈ 0,217
#( ) =
( )
0,645
Partie B
On note X la variable aléatoire qui, à un soir donné, associe le montant total en euro des pourboires
obtenus par le serveur.
On admet que X suit la loi normale d’espérance µ = 15 et d’écart-type % = 4,5.
Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats arrondis à 10!&
1. Calculer :
a. la probabilité que le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre 6 et 24 euros.
(6 ≤ ( ≤ 24) ≈ 0,95
Ainsi, la probabilité que le montant des pourboires soit entre 6 et 24 euros est 0,95
b. (( > 20).
(( > 20) = 0,5 − (15 < ( < 20) ≈ 0,13
2. Probabilité que le montant des pourboires soit supérieur à 20 euros sachant que ce montant est entre 6
et 24 euros.
-./.&0 ((
> 20) =
(20 < ( < 24) 0,111
((6 < ( < 24) ∩ (( > 20))
=
=
≈ 0,11
(6 < ( < 24)
(6 < ( < 24)
0,95
EXERCICE 2 4 points
Enseignement obligatoire et L
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le
numéro de la question et recopier la réponse choisie. On ne demande pas de justification.
Chaque réponse exacte rapportera 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’apporte ni
n’enlève de point.
Un fumeur est dit fumeur régulier s’il fume au moins une cigarette par jour.
En 2010, en France, la proportion notée p de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de 0,236
(Source : Inpes)
On a p = 0,236.
1. La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard et de manière
indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à 10!" près :
a. 0,136
b. 0
c. 0,068
d. 0,764
la variable aléatoire X, qui compte le nombre de fumeurs réguliers suit une loi binomiale (10; 0,236)
(( = 0) = 2103 × 0,2364 × 0,76454 = 0,76454 ≈ 0,068
0
Réponse c
2. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un
échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est :
(Les bornes de chaque intervalle sont données à 10!" près)
a. [0,198 : 0,274]
b. [0,134 ; 0,238]
c. [0,191 ; 0,281]
d. [0,192 ; 0,280]
calculatrice prgm Fluctu
réponse a
3. La taille n de l’échantillon choisi afin que l’amplitude de l’intervalle de fluctuation au seuil
de 0,95 soit inférieure à 0,01, vaut :
a. n = 200
b. n = 400
c. n = 21167
d. n = 27707
calculatrice prgm Fluctu
on teste les différentes propositions réponse d
60,2310; 0,24097 amplitude : 0,01
4. Dans un échantillon de 250 jeunes fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, 99 sont des filles.
Au seuil de 95%, un intervalle de confiance de la proportion de filles parmi les fumeurs réguliers âgés de
15 à 19 ans est : (Les bornes de chaque intervalle sont données à 10!& près)
a. [0,35 ; 0,45]
b. [0,33 ; 0,46]
c. [0,39 ; 0,40]
d. [0,30 ; 0,50]
calculatrice prgm Confiance
8 = 2509 =
Réponse b
99
250
EXERCICE 3 5 points
Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L
La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré 2 500
inscriptions
en 2013.
Elle estime que, chaque année, 80% des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l’année
suivante et qu’il y aura 400 nouveaux adhérents.
On modélise cette situation par une suite numérique (:; )
On note :4 = 2500 le nombre d’inscrits à la médiathèque en 2013 et :; représente le nombre
d’inscrits à la médiathèque pendant l’année 2013 + 8.
1. a. Calculer :5 et :& .
b. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a la relation :;<5 = 0,8 × :; + 400.
2. On pose, pour tout entier naturel n, =; = :; − 2000.
a. Démontrer que la suite (=; )est une suite géométrique de premier terme =4 = 500 et de raison
> = 0,8.
b. En déduire que le terme général de la suite (:; ) est :; = 500 × 0,8; + 2000.
c. Calculer la limite de la suite (:; ).
d. Que peut-on en déduire pour le nombre d’adhérents à la médiathèque si le schéma
d’inscription reste le même au cours des années à venir ?
3. On propose l’algorithme ci-contre :
a. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
b. À l’aide de la calculatrice, déterminer le résultat
obtenu grâce à cet algorithme et interpréter la réponse
dans le contexte de l’exercice.
1°a) :5 = 2500 × 0,80 + 400 = 2400
:& = 2400 × 0,8 + 400 = 2320
b) année de rang 8 : :;
année de rang 8 + 1: :;<5
d’où :;<5 =
?4
544
Variables : N entier,
A réel.
Initialisation : N prend la valeur 0
A prend la valeur 2 500
Traitement : Tant que − 2000 > 50
A prend la valeur A×0,8+400
N prend la valeur N +1
Fin du Tant que
Sortie : Afficher N.
80 % renouvellent et +400 adhérents
:; + 400 = 0,8:; + 400
2° a) =; = :; − 2000
=;<5 = :;<5 − 2000
= (0,8:; + 400) − 2000
= 0,8:; − 1600
1600
= 0,8 @:; −
A
0,8
= 0,8(:; − 2000)
= 0,8=;
On a =;<5 = 0,8=;
donc la suite (=; ) est géométrique de raison > = 0,8 et de 1er terme =4 = :4 − 2000 = 500
b) =; = =4 × > ;
=; = 500 × 0,8;
=; = :; − 2000 donc :; = =; + 2000
Ainsi, :; = 500 × 0,8; + 2000
c) limite
−1 < 0,8 < 1
lim 0,8; = 0GH8I lim 500 × 0,8; = 0GH8I lim (500 × 0,8; + 2000) = 2000
;→<F
;→<F
;→<F
La limite de la suite (:; ) est 2000 ;
cela signifie qu’à long terme, le nombre d’adhérents tendra vers 2000.
4° a) cet algorithme détermine le rang de l’année à partir de laquelle, on aura J; − 2000 ≤ 50, c’est-àdire J; ≤ 2050
b) La calculatrice donne 8 = 11
J54 ≈ 2053 > 2050J55 ≈ 2043 ≤ 2050
A partir de l’année 2024, le nombre d’adhérents sera inférieur ou égal à 2050.
EXERCICE 4 6 points
Commun à tous les candidats
Partie A
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 5] par
9(K) = K + 1 + L !M<4,N
On a représenté en annexe, dans un plan muni d’un repère orthonormé :
— la courbe C représentative de la fonction f ;
— la droite Δ d’équation P = 1,5K.
1. a. Vérifier que pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 5], on a 9 Q K
9′désigne la fonction dérivée de 9.
b. Résoudre dans l’intervalle 60; 57 l’équation 9′ K 0.
c. Étudier le signe de 9′ K sur l’intervalle 60; 57.
d. Dresser le tableau de variations de la fonction 9 sur l’intervalle60; 57.
2. On note Sl’abscisse du point d’intersection de C et Δ
a. Donner, par lecture graphique, un encadrement de S à 0,5 près.
b. Résoudre graphiquement sur l’intervalle [0 ; 5] l’inéquation 9 K , 1,5K.
1° a) Dérivée :
Pour tout K de 60; 57
9Q K
1
+L !M<4,N
1 + L !M<4,N
b) on résout dans 60; 57
9Q K
0 ⟺ 1 + L !M<4,N 0 ⟺ L !M<4,N
La solution de l’équation est : 0,5
1 ⟺ +K
c) 1 + L !M<4,N ) 0 ⟺ ⋯ ⟺ L !M<4,N , 1 ⟺ +K
0
0,5
K
−
0
+
9′ K
0⟺K
0,5
0,5 , 0 ⟺ ⋯ ⟺ K ) 0,5
5
d) Tableau de variations de la fonction 9
0
0,5
K
−
0
+
9′ K
9 K
Images : 9 0
0 1 L !4<4,N 1 L 4,N $ 2,649
9 0,5
0,5 1 L 4 2,5
9 5
5 1 L !N<4,N 6 L !0,N $ 6,011
2° Par lecture graphique :
a) 2 , S , 2,5
0,5
5
1 + L !M<4,N où
b) L’ensemble de solutions de l’inéquation 9 K , 1,5K est : =]S; 5]
Les solutions sont les abscisses des points pour lesquels la courbe est en-dessous de la droite.
Partie B Application
Une entreprise fabrique des cartes à puces électroniques à l’aide d’une machine.
La fonction f , définie dans la partie A, représente le coût d’utilisation de la machine en fonction de la
quantité x de cartes produites, lorsque x est exprimé en centaines de cartes et f (x) en centaines d’euros.
1. a. Déduire de la partie A, le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d’utilisation de la
machine.
b. Chaque carte fabriquée par la machine est vendue l,50€
La recette perçue pour la vente de x centaines de cartes vaut donc 1,5x centaines d’euros.
Vérifier que le bénéfice obtenu, en centaines d’euros, par la vente de x centaines de cartes est donné par
V(K) = 0,5K − 1 − L !M<4,N.
2. a. Montrer que la fonction B est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 5].
b. Montrer que, sur l’intervalle [0 ; 5], l’équation V(K) 0 admet une unique solution comprise entre
2,32 et 2,33.
3. On dira que l’entreprise réalise un bénéfice lorsque V(K) ) 0.
Indiquer la quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l’entreprise pour que celle-ci
puisse réaliser un bénéfice.
1° a) le coût est minimal pour une production de 0,5 centaines, c’est-à-dire 50 cartes
1° b) Bénéfice =Recette- coût
V K
1,5K) − (K + 1 + L !M<4,N ) = 0,5K − 1 − L !M<4,N 2° a) Dérivée
Pour tout K de 60; 5]
V Q (K) = 0,5 − (−L !M<4,N ) = 0,5 + L !M<4,N
Signe de V′(K):
L / ) 0 sur
D’où : Pour tout K de 60; 5]
L !M<4,N > 0GH8I0,5 + L !M<4,N > 0GH8IV Q K ) 0
Ainsi la fonction V est strictement croissante sur 60; 5]
2°b) La fonction V est continue et strictement croissante sur 60; 5]
L’intervalle image de 60; 5] est 6V(0); V(5)] avec V(0) ≈ −2,65V 5) ≈ 1,49
De plus 0 ∈ 6V(0); V(5)]
Donc l’équation V(K) = 0 admet une unique solution dans 60; 5], on la note :
V(2,32) ≈ −0,002 < 0
V 2,33) ≈ 0,005 > 0
D’où 2,32 < : < 2,33
3° La fonction V est strictement croissante sur 60; 5] et : est la solution de l’équation V(K) = 0
on en déduit le signe de V(K)
0
2,32 : 2,33
5
K
−
0
+
V(K)
L’entreprise doit donc produire au minimum 233 cartes pour réaliser un bénéfice.
EXERCICE 3 5 points
ES Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
On a schématisé ci-dessous le plan d’une MJC (Maison de la Jeunesse et de la Culture) par un graphe
dont les sommets sont les salles et les arêtes sont les passages (portes, couloirs ou escaliers) entre les
salles. On appelle H le hall d’entrée et B le bureau du directeur.
En fin de journée, un agent de service fait le tour de la MJC pour récupérer dans chaque salle (bureau du
directeur et hall inclus) les objets oubliés par les enfants.
1. Préciser si ce graphe est connexe en justifiant la réponse.
2. Déterminer, en justifiant, si l’agent de service peut passer par toutes les salles en utilisant une fois et
une seule chaque passage.
3. On range les sommets par ordre alphabétique.
Donner la matrice d’adjacence M associée au graphe.
4. On donne :
En déduire le nombre de chemins de longueur 4 entre les sommets B et H.
5. On a indiqué sur le graphe ci-dessous le temps en minute mis pour passer entre les différentes salles en
ouvrant et fermant les portes à clé.