puissances et racines carrées

Chapitre : Puissances et racines
I Les puissances
Définition des puissances : Considérons un nombre x et un nombre entier n.
On a : x
n
= x × x × …. × x × x se lit " x puissance n" ou " x exposant n"
avec n " x "
…
x
4
= x × x × x × x se lit " x puissance 4 " ou " x exposant 4"
x
3
= x × x × x se lit " x au cube " ou " x puissance 3 "
x ² = x × x se lit " x au carré " ou " x puissance 2 "
x
1
= x
x
0
= 1
x
– 1
= 1
x
x
– 2
= 1
x × x = 1
x ²
x
– 3
= 1
x × x × x = 1
x
3
…
x
– n
= 1
x × x × ….. × x × x = 1
x
n
avec n " x "
Exemples : 2
10
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024
9,4
0
= 1 ( – 3,41 )
1
= – 3,41
10
5
= 100 000 c’est un 1 suivi de 5 zéros 10
– 5
= 0,000 01 c’est un 1 précédé de 5 zéros
5
– 2
= 1
5 × 5 = 1
25 = 0,04 1
x
– n
= 1 : 1
x
n
= 1 × x
n
1 = x
n
7
4
7² = 7 × 7 × 7 × 7 7 × 7
Remarque : Les puissances sont prioritaires sur toutes les autres opérations.
Exemple : ( 7 – 10 )
4
– 8² + 12 × 5 = ( – 3 )
4
– 8² + 12 × 5
= 81 – 64 + 12 × 5
= 81 – 64 + 60
= 77
Règles des puissances : x et y étant des nombres, m et n étant des nombres entiers, on a :
1° ) x
m
× x
n
= x
m + n
2° ) x
m
x
n
= x
m − n
3° ) x
n
y
n
= ( x
y )
n
4° ) x
n
× y
n
= ( x × y )
n
5° ) ( x
m
)
n
= x
m × n
Remarque : Il faut savoir retrouver les règles de calcul des puissances grâce des exemples simples.
Ecriture scientifique : Tout nombre décimal peut s’écrire comme le produit d’un nombre n’ayant qu’un seul
chiffre (pas égal à zéro) avant la virgule et d’une puissance de dix.
Cette écriture s’appelle une écriture scientifique.
Exemples : 54 000 000,0 = 5,4 × 10
7
0,000 005 78 = 5,78 × 10
– 6
7 chiffres 6 zéros
0,0265 × 10
8
= 2,65 × 10
− 2
× 10
8
= 2,65 × 10
6
Taille d’un électron : 9 × 10
-31
m
L’étoile polaire est à 6 × 10
18
m de la Terre. (base de la petite ours, indique le nord)

II Les racines carrées
Définition des racines carrées : Considérons un nombre x positif. On note x et on lit "racine carrée de x " le
nombre positif dont le carré est x.
Pour la calculer, on utilise la touche " " de la calculatrice.
Exemples : 49 = 7 10 ≈ 3,16 0 = 0 1 = 1
Remarques : – Puisqu’un carré est toujours positif, la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
– On peut aussi dire "radical" pour "racine carrée".
– Les racines carrées ont le même niveau de priorité que les puissances dans les calculs.
Exemple : 5 × 36 + ( 8² – 100 ) : 9 = 5 × 36 + ( 64 – 10 ) : 9
= 5 × 6 + 54 : 9
= 30 + 6
= 36
D’autre part on a : 1,44 = 1,2 car 1,2 ² = 1,44
Remarque : Pour prouver que x = y il suffit de vérifier que y ² = x
x 8 11 x
x ² 64 121 x
On a donc x ² = x et ( x ) ² = x = x × x
Propriété des racines carrées : x et y étant des nombres positifs, on a :
1° ) x ² = ( x ) ² = x 2° ) x × y = x × y 3° ) x
y = x
y 4° ) x ² × y = x y
Preuve : 1° ) déjà vu.
2° ) car ( x × y ) ² = ( x ) ² × ( y ) ² = x × y et c’est donc bien vérifié d’après la remarque précédente.
3° ) car ( x
y ) ² = x ² y² = x
y et c’est donc bien vérifié d’après la remarque précédente.
4° ) On a : x ² × y = x ² × y d’après 2° )
= x y d’après 1° )
Exemples :
3 ² = 3 ( 7 ) ² = 7 (2 6 ) ² = 2² ( 6 ) ² = 4 × 6 = 24
2 × 8 = 2 × 8 = 16 = 4 25 × 9 = 25 × 9 = 5 × 3 = 15 25
16 = 25
16 = 5
4
18
50 = 3² × 2
5² × 2 = 3 2
5 2 = 3
5
Remarque : On doit avoir ( x
0,5
)
²
= x
0,5 × 2
= x
1
= x
donc x
0,5
est un nombre dont le carré est x : c’est donc x . On a ainsi x
0,5
= x .
C’est pour cette raison que des règles des racines carrées ressemblent à celles de puissance.
Application à la simplification des racines : Comme les fractions, on peut simplifier les racines carrées et
obtenir des racines carrées "irréductibles".
Exemples : 18 = 3² × 2 = 3 2 (on a utiliser la propriété 3)
5 32 = 5 4² × 2 = 5 × 4 2 = 20 2
75 + 3 12 = 5² × 3 + 3 2² × 3 = 5 3 + 3 × 2 3 = 5 3 + 6 3 = 11 3
Exemple de développement :
( 7 + 3 ) ( 3 – 5 ) + 12 = 7 3 – 35 + 3² – 5 3 + 2 ² × 3
= 7 3 – 35 + 3 – 5 3 + 4 3
= 6 3 – 32
x²
x
Penser à : la racine carrée est
l’inverse du carré donc f
aire une
racine carrée puis un carré
revient à ne rien faire !!

Exercice 1 : Calcule puis vérifie tes résultats en utilisant la touche « ^ » ou « x
y
» de ta calculatrice.
A = 2
5
B = ( – 4 ) ² C = – 4 ² D = 10
6
E = 400
0
F = 5
– 1
G = 2
– 2
H = 10
– 3
I = 8,36 × 10
3
J = 50
1
K = 0
10
L = 1
– 7
M = 3 ² + 4 ² N = ( 3 + 4 ) ² P = 10 × ( – 3)
3
Q = 2 × 7 – 7 ² R = 3 – 5 (4 – 7 ) ² + 2
3
× 5
S = 8,01 × 10
4
T = 7 × 10
– 3
U = 9,1 × 10
5
V = 8,31 × 10
– 6
W = 1,1 × 10
– 1
X = 6,75 × 10
9
Exercice 2 : Ecris avec des puissances.
A = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 B = ( – 4 ) × ( – 4 ) C = – 4 × 4 × 4 D = 1
7 × 7 × 7 × 7 E = 0,000 1
Exercice 3 : Ecris avec que des multiplications et des divisions.
A = 7
4
B = 10
– 1
C = 6
– 3
D = 3 ² × 6
5
E = 7
3
× 5
– 2
F = – 5
4
G = ( – 5 )
4
H = 12
0
× 8
3
6
1
I = 1
7
– 3
J = 2
3
× 5
– 2
9
4
× 7
– 3
Exercice 4 : Complète et retrouve la règle correspondante :
Exemple Règle
x
3
× x
2
= … × … × … × … × … = x
…
x
m
× x
n
= x
………
x
3
x
2
= … × … × …
… × … = x
…
x
m
x
n
= x
..........
x
2
y
2
= … × …
… × … = …
… × … … = ( … … )
…
x
n
y
n
= (…
… )
…
x
2
× y
2
= … × … × … × … = ( … × … ) ×( … × … ) = ( … ×… )
…
x
n
× y
n
= ( ….×… )
…
( x
3
)
2
= …
…
× …
…
= …
…
( x
m
)
n
= …
……
Exercice 5 : Utilise les règles des puissances pour mettre sous la forme a
n
.
A = 7
3
× 7
2
B = 8
5
8
2
C = 5
4
× 5
– 6
D = 10
3
10
7
E = 20
7
5
7
F = 3 ² × 5 ² G = ( 9
3
) ² H = 7
4
× 7
2
× 7
– 5
I = 7
3
× 5
4
7 × 5² J = 4
3
4
– 2
Exercice 6 : Trouve l’écriture scientifique des nombres suivants (vérifier les résultats à la calculatrice).
A = 650 000 B = 0,004 7 C = 915,5 D = 984 000 000 000
E = 0,000 000 1 F = 8 × 10
5
× 10
6
G = 54 000 × 0,000 002 H = 7,1 × 10
4
× 2 × 10
– 6
Exercice 7 : Vue au brevet.
Ecrire comme : A et B : des nombres entiers ; C : un nombre décimal ; D, E et F : en écriture scientifique.
A = ( – 2 ) × 10
– 3
× 25 × ( 10 ² ) ²
50 × 10
5
× ( – 0,1 ) × 10
– 3
B = 16 × 10
– 5
× 3 × 10
4
24 × 10
– 3
C = –3 ² – (–3) ² +10
5
× 10
– 3
+ 3
10
3
D = 210 × 10
– 6
× 5 × 10
5
35 × 10
4
E = 7 × 10
15
× 8 × 10
– 8
5 × 10
– 4
F = 2,5 × 10
– 3
× 9 × 10
5
15 × 10
– 4
Exercice 8 : Complète les tableaux suivants
Valeurs exactes Valeurs arrondies à 0,1 près
6 2,4
64 25 121 8 10 35 23,4 108,7
Exercice 9 : Calcule sans calculatrice et donne le résultat en fraction irréductible.
A = 8 ² B = 36 × 49 C = 36
81 D = 4,2 ² × 100 E = 4 7 ²
F = 45
20 G = 8,1 × 10 H = 49
100 I = 40
810 J = 4 × 12 ²
K = 48 ²
6 ² L = 64 × 25 M = 2 × 18 N = 7 × 7 P = 7 8 2 – 2 5 5
x
²
x
²

Exercices pour préparer le contrôle
Exercice 1 : Exercice de préparation au brevet (7 points)
Exercice 2 : On considère les expressions suivantes
A = 65 – ( 25 – 5 )
5
+ 3,2 × 10
6
– ( 7 – 15 ) ² B = ( – 1 )
702
– ( 7 – 8 )
– 47
+ 0
124
– 1
C = 16
9
× 16
– 24
D = 12 ²
12
8
E = 9
7
× 4
7
F = ( 8
3
)
5
G = 35
8
7
8
H = 3
6
× ( 3
4
)
5
3
– 6
× 3
4
× 3
7
I = 0,000 000 000 010 8 J = 310 000 000 000 000
a ) Calcule A et B b ) Mets de C à H sous la forme a
n
c ) Ecris I et J en écriture scientifique
Exercice 3 : Simplifie les expressions suivantes et donne les résultats sous la forme a + b c (a ou b peuvent être nuls)
A = 4 9² – 2 ( 8 ) ² – 19 B = 81 × 36 – 11 2 × 8 – 9 C = 4 50
32 – 4 D = 27 3 – 2
E = 4 45 + 81 – 3 20 – 6 5 – 8 F = 3 6 – 54 + 150 – 5 6 + 1
G = ( 5 3 + 7 ) ( 9 – 3 ) – 38 3 – 47 H = ( 3 5 – 2 ) ² – 48 + 12 5 I = ( 10 – 9 ) ( 10 + 9 )
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Résultats des exercices de préparation au contrôle
Exercice 2 : On considère les expressions suivantes
A = 65 – ( 25 – 5 )
5
+ 3,2 × 10
6
– ( 7 – 15 ) ²
A = 65 – 20
5
+ 3 200 000 – ( – 8 ) ²
A = 64 – 3 200 000 + 3 200 000 – 64
A = 1
B = ( – 1 )
702
– ( 7 – 8 )
– 47
+ 0
124
– 1
B = 1 – ( – 1 )
– 47
+ 0 – 1
B = 1 – ( – 1 ) + 0 – 1
B = 1 + 1 – 1 = 1
C = 16
9
× 16
– 24
= 16
– 15
D = 12 ²
12
8
= 12
– 6
E = 9
7
× 4
7
= 36
7
F = ( 8
3
)
5
= 8
15
G = 35
8
7
8
= 5
8
H = 3
6
× ( 3
4
)
5
3
– 6
× 3
4
× 3
7
= 3
6
× 3
20
3
– 6
× 3
11
= 3
26
3
5
= 3
21
I = 0,000 000 000 010 8= 1,08 × 10
– 11
J = 310 000 000 000 000= 3,1 × 10
14
Exercice 3 : Simplifie les expressions suivantes et donne les résultats sous la forme a + b c (a ou b peuvent
être nuls)
On doit trouver A = B = C = D = E = F = G = H = I = 1 qui est bien de la forme a + b c car 1 = 1 + 0 0
A = 4 9² – 2 ( 8 ) ² – 19
A = 4 × 9 – 2 × 8 – 19
A = 36 – 16 – 19
A = 1
B = 81 × 36 – 11 2 × 8 – 9
B = 81 × 36 – 11 2 × 8 – 9
B = 9 × 6 – 11 16 – 9
B = 54 – 11 × 4 – 9 = 1
C = 4 50
32 – 4 = 4 50
32 – 4 = 4 25 16 – 4
C = 4 × 5
4 – 4 = 5 – 4 = 1
D = 27
3 – 2 = 27
3 – 2 = 9 – 2
D = 3 – 2 = 1
E = 4 45 + 81 – 3 20 – 6 5 – 8
E = 4 3² × 5 + 9 – 3 2² × 5 – 6 5 – 8
E = 12 5 + 9 – 6 5 – 6 5 – 8
E = 1
F = 3 6 – 54 + 150 – 5 6 + 1
F = 3 6 – 3² × 6 + 5² × 6 – 5 6 + 1
F = 3 6 – 3 6 + 5 6– 5 6 + 1
F = 1
G = ( 5 3 + 7 ) ( 9 – 3 ) – 38 3 – 47
G = 45 3 – 5 3² + 63 – 7 3– 38 3 – 47
G = 45 3 – 15 + 63 – 7 3– 38 3 – 47
G = 1
H = ( 3 5 – 2 ) ² – 48 + 12 5
H = 9 5² – 12 5 + 4 – 48 + 12 5
H = 45 + 4 – 48
H = 1
I = ( 10 – 9 ) ( 10 + 9 ) = 10² – 9² = 10 – 9 = 1

Devoir facultatif : racine n
ième
et puissance rationnelle
Les nombres fractionnaires sont aussi appelés les nombres rationnels : ce sont les nombres qui
peuvent s’écrire m
n où m et n sont des nombres entiers relatifs.
Définition : Soient x un nombre et n un nombre entier positif.
On appelle "racine n
ième
de x " et on note "
n
x " le nombre positif qui à la puissance n donne x.
Exemple :
8
256 = 2 car 2
8
= 256
Remarques : - la "racine carrée" n’est autre que la "racine 2
e
"
- la "racine 3
e
" se dit plutôt la "racine cubique"
- comme pour les racines carrées, on peut utiliser sa calculatrice pour les trouver
Exercice 1 : calcule
A =
4
81 B =
3
8 C =
5
1024 D =
3
12,167 E =
8
1
On voudrait définir le nombre x
1
3
: on doit avoir ( x
1
3
)
3
= x
1
3×3
= x
1
= x
Donc, x
1
3
est un nombre qui au cube donne x : c’est donc
3
x. Ainsi, x
1
3
=
3
x
Plus généralement, on a :
Définition : Soient x un nombre et n un nombre entier positif. On définit x
1
n
par x
1
n
=
n
x
Exemple : 1 000
1
3
=
3
1 000 = 10
Exercice 2 : calcule en réécrivant d’abord l’expression avec des puissances n
ième
A = 64
1
3
B = 2187
1
7
C = 1 000 000
1
6
D = 625
0,25
E = 7776
0,2
On voudrait maintenant définir le nombre x
m
n
: on doit avoir ( x
1
n
)
m
= x
1
n × m
= x
m
n
Définition : Soient x un nombre et m, n des nombres entiers positifs.
On définit x
m
n
par x
m
n
= ( x
1
n
)
m
Exemple : 1 000
5
3
= (
3
1 000)
5
= 10
5
= 100 000
Remarque : puisque tout nombre décimal peut s’écrire en écriture fractionnaire (exemple :
45,781 = 45 781
1000 ), on vient donc de définir en particulier les puissances de nombres décimaux.
Exercice 3 : calcule
A = 1728
2
3
B = 512
10
9
C = 256
3
4
D = 441
1,5
E = 81
2,25
Remarques : • cette généralisation de la notion de puissance n’est pas vraiment terminée
car il faudrait vérifier qu’ainsi définie, tout est bien cohérent. Il faudrait par exemple
vérifier que x
3
6
= x
1
2
• vous savez donc combien vaut 5
41,64
mais pas encore 5
π
ce qui est chose
beaucoup plus délicate. Bien qu’en pratique nous n’utilisons quasiment que des nombres
rationnels (sauf π et quelques rares autres), il se trouve que ces nombres ne représentent qu’une
infime partie des nombres en général (nombres réels). A vrai dire, les nombres rationnels
représentent exactement 0 % des nombres réels … si si, mais ça c’est une autre histoire.