Les racines carrées

Les racines carrées
A/ Trouver la valeur entière de certaines racines carrées
16 = 4² = 4
100 = 102 = 10
49 = 7² = 7
-16 n'existe pas car
–16 est négatif
12 ≈ 3,46
Pour calculer la valeur entière de certaines racines carrées on utilise la définition de la racine carrée :
Soit x un nombre positif, on appelle x le seul nombre positif dont le carré est x : x² =
²
x =x
Le carré et la racine carrée sont deux processus qui "s'éliminent" si le nombre est positif.
On ne peut jamais prendre la racine carrée d'une quantité négative.
La plupart des racines carrées ne donnent pas de valeur décimale exacte !
Dans ce cas là, la calculatrice peut nous donner des valeurs décimales approchées.
B/ Trouver l'écriture entière ou fractionnaire de certains produits ou quotients
8 × 2 = 16 = 4² = 4
6400 = 64 × 100 = 8² × 10² = 8 × 10 = 80
On utilise la règle sur le produit suivante :
Soient 2 nombres positifs x et y : x ×
y= x× y
Comme toute formule elle s'utilise dans les deux sens.
18
18
=
= 9 = 3² = 3
2
2
9
9
3² 3
=
=
=
4
4
2² 2
Soient 2 nombres positifs x et y :
x
=
y
x
y
Comme toute formule elle s'utilise dans les deux sens.
ATTENTION ! Il n'y a pas de règle sur la somme et la différence : x + y
n'est pas égale à
x +
y
C/ Savoir simplifier une racine carrée (écrire sous la forme a b avec a et b entiers)
A = 50
A = 25 × 2
A = 5² × 2
A = 5² × 2
A = 5× 2
A =5 2
Le but n'est pas de donner une valeur approchée avec la calculatrice, mais de simplifier l'écriture…..
Pour cela on cherche à écrire 50 comme la multiplication d'un nombre qui est un carré par un nombre
entier…. Pour cela il faut connaître par cœur la liste des carrées parfaits suivante :
1 =1²; 4=2² ; 9 = 3² ; 16 = 4²; 25 = 5² ; 36 = 6²; 49 = 7² ; 64 = 8² ; 81 = 9²; 100 = 10²
On utilise alors la règle sur le produit. (voir B/)
On utilise alors la définition de la racine carrée. ( voir A/)
On simplifie l'écriture en masquant le signe "×" devant le symbole radical.
D/ Réduire une somme
B = 27 + 5 12
B= 3² × 3 + 5× 2² × 3
B= 3²× 3 + 5× 2² × 3
B= 3× 3 + 5×2× 3
B=3 3
+ 10 3
B= 13 3
On commence par simplifier chaque racine carrée… (Voir C/)
On remet le " ×" entre le 5 et 12 ! ( pour éviter des erreurs par la suite)
On effectue les éventuelles multiplications possibles entre les entiers.
On refait disparaître les "×" devant les radicaux.
On réduit la somme comme on le fait pour les écritures littérales : 3 se manipule comme
la lettre x (dans les deux cas, on ne connaît pas la valeur exacte de ces symboles).
E/ Développer et simplifier
C = ( 2 5 +3 )( 5 – 4)
C =2 ( 5 )² –8 5 + 3 5 –12
C =2 × 5
–5 5
–12
C= 10 –5 5 –12
C= –2 –5 5
Consulter la fiche développement et traiter le
5 comme la lettre x !
On simplifie ( 5 )² = 5 grâce à la définition. (voir A/)
On réduit la somme –8 5 + 3 5 = – 5 5 (voir D)/
On réduit les "nombres seuls" et c'est fini !