Développements limités

BTS DOMOTIQUE Développements limités 2008-2010
Développements limités
Table des matières
I Fonction exponentielle 2
I.1 Développement limité d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Développement limité d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Développement limité d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.4 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II Dévéloppements limités 4
II.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.2 Dévéloppements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.3 Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.4 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.5 Dérivation et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
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I Fonction exponentielle
On chercha à approximer la fonction x→exp(x) par des fonctions successivement du premier, deuxième et
troisième degré.
On pose f(x) = ex, fonction dérivable autant de fois que l’on veut sur R.
I.1 Développement limité d’ordre 1
Propriété 1
Au voisinage de 0, ex= 1 + x+xǫ(x) où lim
x→0ǫ(x) = 0.
En effet, La définition du nombre dérivé de la fonction fen 0 nous donne :
f(x) = f(0) + f′(0)x+xǫ(x) où lim
x→0x= 0
Or, on a : (f(x) = exdonc f(0) = 1
f′(x) = exdonc f′(0) = 1 D’où le résultat trouvé dans la propriété.
I.2 Développement limité d’ordre 2
Propriété 2
Au voisinage de 0, ex= 1 + x+x2
2+x2ǫ(x) où lim
x→0ǫ(x) = 0.
On peut démontrer cette propriété grâce, entre autre, à des intégrations successives :
•La fonction exponentielle étant croissante sur R, on a :
∀t∈[−1 ; 1 ], e−1≤et≤e1
•On intègre cette double inégalité de 0 à xpour x∈[−1 ; 1 ] :
Zx
0
1
edt ≤Zx
0
etdt ≤Zx
0
e dt
t
ex
0
≤[et]x
0≤[et]x 0
x
e≤ex−1≤ex
•On intègre à nouveau cette double inégalité de 0 à tpour t∈[−1 ; 1 ] :
Zt
0
x
edx ≤Zt
0
(ex−1) dx ≤Zt
0
ex dx
"x2
2e#t
0
≤[ex−x]t
0≤"ex2
2#t
0
t2
2e≤et−t−1≤et2 2
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•On intègre une dernière fois cette double inégalité de 0 à xpour x∈[−1 ; 1 ] :
Zx
0
t2
2edt ≤Zx
0
(et−t−1) dt ≤Zx
0
et2
2dt
"t3
6e#x
0
≤"et−t2
2−t#x
0
≤"et3
6#x
0
x3
6e≤ex−x2 2−x−1≤ex3 6
•Pour x6= 0, on pose ǫ(x) =
ex− x2
2+x+ 1!
x2. D’après l’inégalité précédente, x2étant positif, on
obtient : x
6e≤ǫ(t)≤ex 6
Or, lim
x→0
x
6e= lim
x→0
ex
6e= 0 donc, d’après le théorème des gendarmes : lim
x→0ǫ(x) = 0.
•D’où la conclusion :
∀x∈[−1 ; 0 [ ∪] 0 ; 1 ], ex= 1 + x+x2
2+x2ǫ(x) où lim
x→0ǫ(x) = 0.
I.3 Développement limité d’ordre 3
Propriété 3
Au voisinage de 0, ex= 1 + x+x2
2+x3 6+x3ǫ(x) où lim
x→0ǫ(x) = 0.
•On intègre de nouveau la dernière inégalité trouvée précédemment de 0 à tpour t∈[−1 ; 1 ] :
Zt
0
x3
6edx ≤Zt
0 ex−x2
2−x−1!dx ≤Zt
0
ex3
6dx
"x4
24e#t
0
≤"ex−x3
6−x2 2−x#t
0
≤"ex4
24 #t
0
t4
24e≤et−t3 6−t2 2−t−1≤et4 24
•Pour t6= 0, on pose ǫ(t) =
et− t3
6+t2 2+t+ 1!
t3. D’après l’inégalité précédente, on obtient :
t
24e≤ǫ(t)≤et 24 pour t > 0
et
24 ≤ǫ(t)≤t 24epour t < 0
Or, lim
t→0
t
24e= lim
t→0
et
24 = 0 donc, d’après le théorème des gendarmes : lim
t→0ǫ(t) = 0.
•D’où la conclusion :
∀t∈[−1 ; 0 [ ∪] 0 ; 1 ], et= 1 + t+t2
2+t3 6+t2ǫ(t) où lim
t→0ǫ(t) = 0.
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I.4 Interprétation graphique
Graphiquement, on obtient à différents ordres des approximations de la fonction exponentielle au voisinage
de 0.
Plus l’ordre est élevée, meilleure est l’approximation !
1 2−1−2−3
1
2
3
y= exp(x)
y= 1 + x
y= 1 + x+x2
2
y= 1 + x+x2
2+x3 6
II Dévéloppements limités
II.1 Généralités
Définition 1
Soit fune fonction numérique définie sur un intervalle Ide Rcontenant 0.
On dit que fadmet un développement limité à l’ordre nau voisinage de 0s’il existe un polynôme Pnde
degré inférieur ou égal à ntel que pour tout x∈I:
f(x) = Pn(x) + xnǫ(x)où lim
x→0ǫ(x) = 0.
ou sous forme développée
f(x) = a0+a1x1+a2x2+···+anxn+xnǫ(x).
On dit que Pn(x)est la partie régulière du développement limité et xnǫ(x)est le le reste.
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II.2 Dévéloppements limités usuels
Au voisinage de zéro, on a :
•ex= 1 + x+x2
2! +x3 3! +x4 4! +x5 5! +···+xn n!+xnǫ(x).
•1
1 + x= 1 −x+x2−x3+x4−x5+···+ (−1)nxn+xnǫ(x).
•ln(1 + x) = x−x2
2+x3 3−x4 4+···+ (−1)n+1 xn n+xnǫ(x).
•cos x= 1 −x2
2+x4 4! −x6 6! +x8 8! +···+ (−1)nx2n (2n)! +xnǫ(x).
•sin x=x−x3
3! +x5 5! −x7 7! +···+ (−1)nx2n+1 2n+ 1! +xnǫ(x).
•(1 + x)α= 1 + αx +α(α−1)
2x2+α(α−1)(α−2) 3! x3+···+α(α−1)(α−2) ···(α−n+ 1) n!xn+xnǫ(x).
Remarque 1
La partie régulière du développement limité en 0 d’une fonction paire (respectivement impaire) est un
polynôme constitué de monômes de degré pair (respectivement impair).
Dans le reste du chapitre, on considère les fonctiions fet gadmettant à l’ordre nau point 0 des dévelop-
pements limités de parties régulières P(x) et Q(x).
II.3 Opérations algébriques
Propriété 4
♦f+gadmet un développement limité à l’ordre ndont la partie régulière est P(x) + Q(x).
♦f×gadmet un développement limité à l’ordre ndont la partie régulière P(x)×Q(x) en
supprimant tous les termes de degré strictement supérieurs à n.
Exemple
Développement limité à l’ordre 3de ex
1 + x:
➔A l’ordre 3, on a 
ex= 1 + x+x2
2+x3 6+x3ǫ1(x) avec lim
x→0ǫ1(x) = 0
1
1 + x= 1 −x+x2−x3+x3ǫ2(x) avec lim
x→0ǫ2(x) = 0
➔donc ex
1 + x=ex×1 1 + x=1 + x+x2 2+x3 6+x3ǫ1(x)1−x+x2−x3+x3ǫ2(x)
= 1 −x+x2−x3+x−x2+x3+x2
2−x3 2+x3 6+x3ǫ(x)
= 1 + x2
2−x3 3+x3ǫ(x)avec lim
x7→0ǫ(x) = 0.
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