Un peu d`histoire… La notion de dérivée a vu le

Cours de mathématique en TS d’ Eric ZERBIB , professeur au lycée Pardailhan à Auch, 32000 - 1 -
Un peu d’histoire…
La notion de dérivée a vu le jour au XVII
e
siècle dans les écrits de Leibniz et de
Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme « le quotient ultime de deux
accroissements évanescents ».
C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du XVII
e
siècle, a le
premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les
appelait « touchantes »; le marquis de l’Hospital participera aussi à la fin du XVII
e
siècle à étoffer cette nouvelle théorie, notamment en utilisant la dérivée pour
calculer une limite dans le cas de formes indéterminées particulières.
Gottfried Wilhelm von Leibniz Jean Le Rond d'Alembert.
C'est au XVIII
e
siècle que d’Alembert introduit la définition plus rigoureuse du
nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme
semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de
d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problème : n'est pas encore construit
formellement C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIX
e
siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé.
C'est à Lagrange (fin du XVIII
e
siècle) que l'on doit la notation f’(x), aujourd'hui tout
à fait usuelle, pour désigner le nombre dérivé de f en .

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I- Nombre dérivé
Approche intuitive
On se donne une courbe d’une fonction continue
Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-à-
dire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Si l'on trace la courbe et sa tangente et que
l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente.
Si on se donne une abscisse a pour laquelle la fonction f est dérivable, on appelle nombre dérivé de f en a le
coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Ce réel donne de précieuses informations
sur le comportement local d'une fonction. Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle,
cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante.
Lorsque le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point.
a. Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x
0
∈ I. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(1) )fininombre(a
h)x(f)hx(f
lim
00
0h
=
−
+
→
(2) Pour tout h tel que x
0
+h ∈ I
0)h(limavec)h(hhl)x(f)hx(f
0h
00
=++=+
→
ϕϕ
b. Remarque
Si on pose x = x
0
+ h dans (1) on obtient de manière équivalente a
xx )x(f)x(f
lim
0
0
xx
0
=
−
−
→
c. Définitions
On dit que f est dérivable en x
0
si l’une des deux propositions précédentes est vérifiée. Le nombre a s’appelle
nombre dérivé de f en x
0
, on le note f’(x
0
).
d. Exemple
Montrons que la fonction cube est dérivable en 1.
Pour cela utilisons la deuxième proposition :
(1+h)
3
= 1 + 3h + 3h² + h
3
= 1 + 3h + h(3h+h²) avec 0²)hh3(lim
0h
=+
→
, d’où la fonction cube est bien dérivable
en 1, et on retrouve que a = f’(1) = 3 ( rappel : (x
3
)’=3x² )
Contre-exemple
Montrons que la fonction valeur absolue de x n’est pas dérivable en 0.
Pour cela utilisons la forme équivalente de (1) :

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1
x
x
lim
0
x
)0(f)x(f
lim
1
x
x
lim
x
x
lim
0x )0(f)x(f
lim
00x
00x0x
−=
−
=
−
−
===
−
−
−−
+++
→
→→
La limite à droite étant différente de la limite à gauche, la limite en 0 n’existe donc pas. D’où f n’est pas
dérivable en ce point. En x = 0 la courbe admet deux demi tangentes, c’est ce qu’on appelle un « point
anguleux ».
e. Interprétation graphique
Si f est dérivable en x
0
, la courbe représentative de f admet en A(x
0
,f(x
0
)) une tangente T dont le coefficient
directeur est f’(x
0
) = a.
Une équation de la tangente en x
0
est : y = f’(x
0
)(x-x
0
) + f(x
0
)
f. Dérivées successives
Si la fonction dérivée f’ est elle-même dérivable sur I, la fonction dérivée de f’ est appelée dérivée seconde et
est notée f’’ . Si la dérivée seconde est dérivable sa dérivée est notée f’’’… jusqu’à la dérivée d’ordre n qui se
note f
(n).
(notation de Lagrange)
En physique on utilise la notation de Leibniz ( ou écriture différentielle) df
dx qui équivaut, plus rigoureusement
à d(f(x))
dx pour f’(x), d²f dx² pour f’’… d
n
f
dx
n
pour f
(n)
. Par exemple, en cinématique, lorsque f(t) est la distance
parcourue par un mobile depuis l’instant origine jusqu’à l’instant t, les nombres df(t)
dt et d²f(t) dt² représentent
respectivement la vitesse instantanée et l’accélération instantanée du mobile à l’instant t.
2. Tableau des dérivées usuelles
Fonction
f(x)= Fonction dérivée f’(x) = Conditions
a 0 x ∈ IR
ax a x ∈ IR
ax
n
anx
n-1
n ∈ IN
*
, x ∈ IR
1
x - 1 x² x ∈ IR
*
x 1
2x x ∈ IR
*+
cosx -sinx x ∈ IR
sinx cosx x ∈ IR
tanx 1+tan²x ou 1
cos²x
x ≠ π
2+k π, k ∈ ZZ

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3. Opérations sur les dérivées
Nom Règle Conditions
Linéarité (λu+µv)’=λu’+µv’ Quels que soient les fonctions u et v dérivables
et les réels λ et µ
Produit (uv)’=uv’+u’v Quelles que soient les fonctions u et v dérivables
Inverse (1/u)’= -u’
u²
Pour tout x tel que u(x) ≠ 0 et u dérivable
Quotient (u/v)’=vu’-uv’
v² u et v dérivables et v(x) ≠ 0
Puissance (u
n
)’= nu’u
n-1
∀ n∈ZZ
*
, et même ∀ n ∈ IR si u est strictement positive
Racine ( u)’= u’
2 u Pour tout x tel que u(x) > 0
Composée (vou)’(x) =u’(x) × v’(u(x)) Si u est dérivable sur I et v dérivable sur u(I) alors
vou est dérivable sur I
(sinu)’=u’cosu u dérivable
(cosu)’=-u’sinu u dérivable
4. Dérivabilité et continuité
Propriété : Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I
En effet si f est dérivable en x
0
lim
x → x
0
f(x)-f(x
0
)
x-x
0
= a donc lim
x → x
0
f(x) = lim
x → x
0
[a(x-x
0
) + f(x
0
)]= f(x
0
) ce qui prouve
que f est continue en x
0
.
La réciproque est fausse !!!
Contre-exemple : la fonction racine est continue en 0 ( 0 = 0 = lim
x → 0
x) mais n’est pas dérivable en 0
( lim
x → 0
x - 0
x-0 = lim
x → 0
1x = +∞ )
5. Applications de la fonction dérivée
a. DERIVEE ET SENS DE VARIATION
Théorème 1
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
• Si f est croissante sur I, alors pour tout x de I , f ’( x ) ≥ 0
• Si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I , f ’( x ) ≤ 0
• Si f est constante sur I, alors pour tout x de I , f ’( x ) = 0
Démonstration : ( de la première propriété … les deux autres se démontrent de la même façon )
Soit x ∈ I et h ∈ IR* tel que x + h ∈ I .
f est croissante sur I ; elle conserve donc le sens des inégalités.
Ainsi les différences f ( x + h ) – f ( x ) et ( x + h ) – x ont le même signe .
On en déduit que le rapport f(x+h) – f(x)
h est toujours positif .
f est dérivable en x donc f(x+h) – f(x)
h admet une limite finie f’(x) quand h tend vers 0.
Si l’on donne à h des valeurs proches de 0, alors f(x+h) – f(x)
h prend des valeurs positives et sa limite en 0 est
donc nécessairement positive . On a donc f ’ ( x ) ≥ 0.

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Théorème 2 (admis)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
• Si pour tout x de I , f ’( x ) ≥ 0 , alors f est croissante sur I.
• Si pour tout x de I , f ’( x ) ≤ 0 , alors f est décroissante sur I.
• Si pour tout x de I , f ’( x ) = 0 , alors f est constante sur I .
Remarque : Si la dérivée f’ est strictement positive sur I , sauf peut-être en un nombre fini de réels où elle
s’annule, alors f est strictement croissante sur I . Si la dérivée f’ est strictement négative sur I , sauf peut-être
en un nombre fini de réels où elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I .
Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par f : x → x
3
+ 9
f est une fonction polynôme , elle est donc dérivable sur IR et pour tout réel x , f’ ( x ) = 3 x ²
- f ’ ( 0 ) = 0
- Pour tout réel x ≠ 0 , f ’ ( x ) > 0 .
Ainsi f est strictement croissante sur IR .
b. EXTREMUM LOCAL
Soit f une fonction dérivable sur I et x
0
∈ I. Dire que f(x
0
) est un maximum local (resp minimum local) de f
signifie que l’on peut trouver un intervalle ouvert J ⊂ I tel que x
0
∈ J et que pour tout x ∈ J f(x) ≤ f(x
0
) ( resp
f(x) ≥ f(x
0
)) . Dire que f(x
0
) est un extremum local signifie que f(x
0
) est un maximum local ou un minimum
local.
Théorème1 (admis) : Soit f une fonction dérivable sur I et x
0
∈ I. Si f(x
0
) est un extremum local alors f’(x
0
) = 0
Remarque : La réciproque est fausse !!!
Contre-exemple : f(x) = x
3
f’(x) = 3x² f’(0) = 0 mais f(0) n’est pas un extremum local !
Théorème2 (admis) : Soit f une fonction dérivable sur I et x
0
∈ I. Si f’ s’annule en changeant de signe alors
f(x
0
) est un extremum local.
6. Fonctions trigonométriques
Fonctions sinus et cosinus
Elles sont définies sur IR.
∀ x ∈ IR, sin(x+2π) = sinx, cos(x+2π) = cosx , donc elles sont périodiques de période 2π. On peut réduire
l’intervalle d’étude à [-π ;π[ et compléter par translation de vecteur 2π
→
i .
∀ x ∈ IR, sin(-x) = sinx donc la fonction sinus est impaire. Sa courbe représentative est symétrique par rapport
à O
∀ x ∈ IR, cos(-x) = cosx donc la fonction cosinus est paire. Sa courbe représentative est symétrique par rapport
à (Oy).
∀ x ∈ IR, (sinx)’ = cosx , donc la dérivée est positive sur [0 ;π
2] et négative sur [π 2 ;π], donc la fonction est
croissante sur [0 ;π
2] et décroissante sur [π 2 ;π].