Configurations du plan et de l`espace

1
Séquence 7 – MA20
Configuration du plan
et de l’espace
Séquence 7
Sommaire
1. Prérequis
2. Les théorèmes à connaître, à savoir utiliser
3. Géométrie dans l’espace
4. Exercices d’approfondissement
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Séquence 7 – MA20
1Prérequis
Médiatrice
D
éfinition
Les triangles
Trian
g
les isocèles, équilatéraux, rectan
g
le
s
A
A
I
B
Ᏸ
D
éfinitio
n
S oient A et B deux points du plan. La médiatrice 𝒟
du segment [AB] est la perpendiculaire à la droite
(AB) passant par le milieu I de [AB].
P
ro
p
ri
é
t
é
(
admise
)
:
La médiatrice de [AB] est l’ensemble des points
équidistants à A et à B, c’est-à-dire l’ensemble des
points M du plan tels que : AM = BM.
La médiatrice de [AB] est l’axe de l’unique symé-
trie axiale transformant A en B.
B
Définition
s
Soit un triangle ABC.
Ce triangle est un triangle isocèle de sommet
A si : AB = AC.
Ce triangle est un triangle équilatéral si :
AB = AC = BC.
Ce triangle est un triangle rectangle de som-
met A si : (AB)
⊥
(AC) (le côté [BC] est alors
l’hypoténuse du triangle ABC).
P
ropriét
é
Le triangle ABC est un trian-
gle isocèle de sommet A si et
seulement si : ABC ACB.
==
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Séquence 7 – MA20
D
roites remarquables dans un trian
g
le
Les médiatrices d’un triangle sont concourantes
e
n un point que
l’
on appe
lle
centre
d
u cerc
l
e cir
-
c
onscr
it
au trian
g
le (O ci-dessous)
.
Les médiatrices d’un trian
g
le équila
-
téral sont ses axes de s
y
métrie.
Remarque
L
es hauteurs d’un triangle sont
concourantes en un point que l’on
appe
ll
e
o
r
thoce
n
t
r
e
du triangle (H
ci-contre
)
.
Les bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point
que l’on appelle
ce
n
t
r
e
du
ce
r
c
l
e
in
sc
ri
t
au triangle (I ci-
contre).
A
B
C
G
A
B
C
G
Les médianes d’un triangle sont concourantes en un point que
l’on appelle centre de gravit
é
du triangle (G ci-contre).
À savoir
A
B
C
O
AB
C
H
AB
C
I
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Séquence 7 – MA20
 Exem
pl
es uti
l
es à retenir
Si ABC est un triangle rectangle isocèle tel que AB = AC = a .
Alors BC =
a 2
Si ABC est un triangle équilatéral de côté
a alors les hauteurs
de ABC ont pour longueur
a
3
2
.
Les quadrilatères
C
’est une conséquence du théorème de P
y
tha
g
ore :
BC AB AC
222
= + =+= aa a
22 2
2
Remarque
Exemple A
A
a
aB
C
a 2
Exemple B
AB
I
C
a 3
2
aa
a
C
’est une conséquence du théorème de Pythagore :
BC AB AC
222
= + =+= aa a
22 2
2
Remarque
C
D
é
fini
t
i
o
n
s
Un rectangle est un quadrila-
tère ayant 4 angles droits.
P
ro
p
riétés : Caractéristiques
Soit ABCD un quadrilatère.
ABCD est un rectangle si et seulement si il a 3 angles droits
si et seulement si c’est un parallélogramme ayant 1
angle droit
si et seulement si c’est un parallélogramme ayant ses
diagonales de même longueur.
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Séquence 7 – MA20
P
ropriétés : Caractéristiques
Soit ABCD un quadrilatère.
ABCD est un losange si et seulement si c’est un parallélogramme
ayant ses diagonales perpendiculaires.
D
éfinitio
n
Un losange est un quadrilatère
ayant ses 4 côtés égaux.
D
éfinitio
n
Un carré est un quadrilatère ayant ses 4 côtés
égaux et ses 4 angles droits.
P
ro
p
riétés : Caractéristiques
Soit ABCD un quadrilatère.
ABCD est un carré si et seulement si c’est un parallélogramme dont
les diagonales sont médiatrices l’une de l’autre.
U
n rectan
g
le admet comme axes de s
y
métries, les médiatrices de ses côtés
.
U
n losan
g
e admet comme axes de s
y
métries ses dia
g
onales
.
U
n carré qui est à la
f
ois un rectan
g
le et un losan
g
e admet 4 axes de s
y
métrie.
Remarque
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