Unité 10 – Les Polynômes

Unité 10 – Les Polynômes
L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les opérations et les équations sur les
nombres par l'utilisation de lettres pour les représenter et de signes pour représenter les
relations entre eux.
Les expressions algébriques
Une expression algébrique est un ensemble de lettres et de nombres reliés entre eux par des
symboles d'opération mathématique. Une expression algébrique est formée d'une ou plusieurs
lettres appelées variables ainsi que d'un ou plusieurs nombres appelés coefficients ou
constantes. Lorsque ces expressions algébriques sont reliées par des opérations
mathématiques, généralement par des symboles d'addition (+) et de soustraction ( -), chaque
expression est nommée terme.
Les expressions algébriques peuvent être classées selon le nombre de termes qu'elles
contiennent. De plus, on peut effectuer des opérations mathématiques sur les expressions
algébriques. Il est aussi possible de les réduire en termes plus simples.
Variables
En algèbre, on tente de généraliser les calculs en remplaçant très souvent les nombres par des
lettres. Ces lettres se nomment des variables.
y + z
Dans cette expression algébrique, les variables sont yet z.Comme son nom l’indique, la valeur
d’une lettre (d'une variable) peut varier selon la situation et c’est avec cette caractéristique que
l’on veut travailler. On donnera la valeur voulue à cette variable selon le contexte dans lequel
on l’utilise. Dans l'équation précédente, les valeurs des variables sont inconnues. On peut donc
leur donner la valeur que l’on désire.

1) Donnons les valeurs suivantes : y= 6 et z=1 dans l'expression algébrique:
y + z
On remplace les lettres par leur valeur respective:
6+1 = 7
2) Dans un autre contexte, on aurait bien pu attribuer d’autres valeurs pour les mêmes
variables, par exemple y= 9 et z=10.
y+ z
9 + 10 = 19
Constantes et coefficients
Si un chiffre est collé sur une variable, on nomme ce chiffre le coefficient de la variable.Le coefficient et
la variable sont multipliés ensemble.Dans une expression algébrique, on peut aussi avoir un
nombre seul, c'est-à-dire qui n'est pas collé sur une variable. On nomme ce nombre une
constante.
Dans l'équation suivante, le 2 est un coefficient, car il est collé sur la variable xet le 3 est une
constante, car il est seul.
L'expression algébrique ci-dessus signifie: 2 multiplié par Xplus 3.
IMPORTANT
Pour exprimer le produit d'un coefficient et d'une ou plusieurs variables, le symbole de multiplication
n'est pas inscrit.
Ainsi, l'expression 3×xest plutôt écrite de la façon suivante: 3x

Les termes
On définit un terme comme une combinaison de coefficients et de variables. Cette combinaison
sous-entend que les coefficients et les variables sont multipliés entre eux.
Chaque terme est séparé par le signe d’addition (+) ou le signe de soustraction (-).
Dans l'expression algébrique qui suit, il y a 5 termes, car ils sont séparés par des signes +ou -.
2ab – 3r + 9u + xy – 7rst
On y retrouve 5 termes différents séparés par des symboles d'addition et de soustraction:
1eterme: 2ab
2eterme: -3r
3eterme: 9u
4eterme: xy
5eterme: -7rst
Les termes semblables
Les termes sont dits semblables lorsqu’ils sont composés des mêmes variables et que ces
mêmes variables sont affectées des mêmes exposants.
4x et 5x sont des termes semblables, car xest la même lettre affectée du même exposant (1).
3xyet3xzne sont pas des termes semblables, car ils n'ont pas les mêmes variables.
12a2b3det2a2b3d2ne sont pas des termes semblables, car la variable ddans les 2 termes
n'a pas le même exposant.
3x²y³et6x²y³sont des termes semblables, car on retrouve les mêmes lettres affectées des
mêmes exposants.
On distingue deux types de termes dans les expressions algébriques. Les termes qui
contiennent des variables sont des termes algébriques alors que ceux qui ne contiennent que
des nombres sont des termes constants.
x² + xy + y² + 4
Dans cette expression algébrique, il y a quatre termes. Il y a un terme constant (+4) et 3 termes
algébriques.

La représentation concrète des termes semblables
Regrouper des termes semblables (Additionner et soustraire des expressions algébriques)
Capsule vidéo
http://www.youtube.com/watch?v=L3wj4kVYgzM
Les Polynômes
Les polynômes sont des expressions algébriques contenant un ou plusieurs termes. Un
polynôme est en fait la somme ou la différence algébrique de plusieurs monômes.
2ab – 3r + 9u + xy – 7rstest un polynôme à 5 termes.

Du monôme au polynôme
Il existe plusieurs types d'expressions algébriques lorsque l'on travaille en algèbre. On les
distingue par le nombre de termes qui les forment.
Les monômes
Les monômes sont des expressions algébriques contenant un seul et unique terme. Les termes
peuvent être constants ou algébriques.
4,6xy²z³et 34d sont tous des monômes.
Les binômes
Les binômes sont des expressions algébriques contenant deux termes. Un binôme est en fait la
somme ou la différence algébrique de deux monômes.
6xy²z³+ 4et 34d – 8zsont des binômes puisqu'ils contiennent deux termes reliés par les
symboles +et −.
Les trinômes
Les trinômes sont des expressions algébriques contenant trois termes. Un trinôme est en fait la
somme ou la différence algébrique de trois monômes.
6xy²z³- 34d + 5est un trinôme puisqu'il contient 3 termes reliés par les symboles + et −.
Additionner des polynômes
Pour additionner un polynôme à un autre, il faut additionner chacun des termes semblables du
second polynôme à ceux du premier et réduire l'expression algébrique obtenue. On obtient
alors un nouveau polynôme correspondant à la somme recherchée.
On peut donc définir trois étapes à suivre pour additionner des polynômes:
1. Regrouper les termes semblables.
2. Additionner les termes constants.
3. Additionner les coefficients des termes algébriques semblables.
On peut utiliser le calcul algébrique ou encore la méthode des tuiles algébriques pour effectuer
l'addition d'expressions algébriques.
On retient que lors de l’addition:
• Seuls les termes semblables peuvent être simplifiés.