Unité 10 – Les Polynômes

Unité 10 – Les Polynômes
L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les opérations et les équations sur les
nombres par l'utilisation de lettres pour les représenter et de signes pour représenter les
relations entre eux.
Les expressions algébriques
Une expression algébrique est un ensemble de lettres et de nombres reliés entre eux par des
symboles d'opération mathématique. Une expression algébrique est formée d'une ou plusieurs
lettres appelées variables ainsi que d'un ou plusieurs nombres appelés coefficients ou
constantes. Lorsque ces expressions algébriques sont reliées par des opérations
mathématiques, généralement par des symboles d'addition (+) et de soustraction (-), chaque
expression est nommée terme.
Les expressions algébriques peuvent être classées selon le nombre de termes qu'elles
contiennent. De plus, on peut effectuer des opérations mathématiques sur les expressions
algébriques. Il est aussi possible de les réduire en termes plus simples.
Variables
En algèbre, on tente de généraliser les calculs en remplaçant très souvent les nombres par des
lettres. Ces lettres se nomment des variables.
y + z
Dans cette expression algébrique, les variables sont y et z.Comme son nom l’indique, la valeur
d’une lettre (d'une variable) peut varier selon la situation et c’est avec cette caractéristique que
l’on veut travailler. On donnera la valeur voulue à cette variable selon le contexte dans lequel
on l’utilise. Dans l'équation précédente, les valeurs des variables sont inconnues. On peut donc
leur donner la valeur que l’on désire.
1) Donnons les valeurs suivantes : y = 6 et z =1 dans l'expression algébrique:
y+z
On remplace les lettres par leur valeur respective:
6+1 = 7
2) Dans un autre contexte, on aurait bien pu attribuer d’autres valeurs pour les mêmes
variables, par exemple y = 9 et z =10.
y+ z
9 + 10 = 19
Constantes et coefficients
Si un chiffre est collé sur une variable, on nomme ce chiffre le coefficient de la variable. Le coefficient et
la variable sont multipliés ensemble.Dans une expression algébrique, on peut aussi avoir un
nombre seul, c'est-à-dire qui n'est pas collé sur une variable. On nomme ce nombre une
constante.
Dans l'équation suivante, le 2 est un coefficient, car il est collé sur la variable x et le 3 est une
constante, car il est seul.
L'expression algébrique ci-dessus signifie: 2 multiplié par X plus 3.
IMPORTANT
Pour exprimer le produit d'un coefficient et d'une ou plusieurs variables, le symbole de multiplication
n'est pas inscrit.
Ainsi, l'expression 3×xest plutôt écrite de la façon suivante: 3x
Les termes
On définit un terme comme une combinaison de coefficients et de variables. Cette combinaison
sous-entend que les coefficients et les variables sont multipliés entre eux.
Chaque terme est séparé par le signe d’addition (+) ou le signe de soustraction (-).
Dans l'expression algébrique qui suit, il y a 5 termes, car ils sont séparés par des signes + ou -.
2ab – 3r + 9u + xy – 7rst
On y retrouve 5 termes différents séparés par des symboles d'addition et de soustraction:
1e terme: 2ab
2e terme: -3r
3e terme: 9u
4e terme: xy
5e terme: -7rst
Les termes semblables
Les termes sont dits semblables lorsqu’ils sont composés des mêmes variables et que ces
mêmes variables sont affectées des mêmes exposants.
4x et 5x sont des termes semblables, car x est la même lettre affectée du même exposant (1).
3xyet3xzne sont pas des termes semblables, car ils n'ont pas les mêmes variables.
12a2b3det2a2b3d2ne sont pas des termes semblables, car la variable d dans les 2 termes
n'a pas le même exposant.
3x²y³et6x²y³sont des termes semblables, car on retrouve les mêmes lettres affectées des
mêmes exposants.
On distingue deux types de termes dans les expressions algébriques. Les termes qui
contiennent des variables sont des termes algébriques alors que ceux qui ne contiennent que
des nombres sont des termes constants.
x² + xy + y² + 4
Dans cette expression algébrique, il y a quatre termes. Il y a un terme constant (+4) et 3 termes
algébriques.
La représentation concrète des termes semblables
Regrouper des termes semblables (Additionner et soustraire des expressions algébriques)
Capsule vidéo
http://www.youtube.com/watch?v=L3wj4kVYgzM
Les Polynômes
Les polynômes sont des expressions algébriques contenant un ou plusieurs termes. Un
polynôme est en fait la somme ou la différence algébrique de plusieurs monômes.
2ab – 3r + 9u + xy – 7rstest un polynôme à 5 termes.
Du monôme au polynôme
Il existe plusieurs types d'expressions algébriques lorsque l'on travaille en algèbre. On les
distingue par le nombre de termes qui les forment.
Les monômes
Les monômes sont des expressions algébriques contenant un seul et unique terme. Les termes
peuvent être constants ou algébriques.
4, 6xy²z³ et 34d sont tous des monômes.
Les binômes
Les binômes sont des expressions algébriques contenant deux termes. Un binôme est en fait la
somme ou la différence algébrique de deux monômes.
6xy²z³ + 4et 34d – 8zsont des binômes puisqu'ils contiennent deux termes reliés par les
symboles + et −.
Les trinômes
Les trinômes sont des expressions algébriques contenant trois termes. Un trinôme est en fait la
somme ou la différence algébrique de trois monômes.
6xy²z³ - 34d + 5est un trinôme puisqu'il contient 3 termes reliés par les symboles + et −.
Additionner des polynômes
Pour additionner un polynôme à un autre, il faut additionner chacun des termes semblables du
second polynôme à ceux du premier et réduire l'expression algébrique obtenue. On obtient
alors un nouveau polynôme correspondant à la somme recherchée.
On peut donc définir trois étapes à suivre pour additionner des polynômes:
1. Regrouper les termes semblables.
2. Additionner les termes constants.
3. Additionner les coefficients des termes algébriques semblables.
On peut utiliser le calcul algébrique ou encore la méthode des tuiles algébriques pour effectuer
l'addition d'expressions algébriques.
On retient que lors de l’addition:
• Seuls les termes semblables peuvent être simplifiés.
• Ce sont les coefficients de chacun des termes semblables qui sont additionnés.
Méthode 1 : Le calcul algébrique
L'addition de deux polynômes est obtenue en additionnant les termes semblables des deux
polynômes. Le résultat obtenu sera sous forme de polynôme.
Premier exemple
(x 3 + x2 + 2x + 1) + (x2 + xy + 3x + y + 3)
Étape 1: Regrouper les termes semblables (les mêmes lettres affectées des mêmes exposants).
3
2
2
x + x + x + xy + 2x + 3x + y + 1 + 3
Étape 2: Additionner les termes constants.
3
2
2
x + x + x + xy + 2x + 3x + y + 4
Étape 3: Additionner les coefficients des termes algébriques semblables.
3
2
x + 2x + xy + 5x + y + 4
La réponse est donc:
3
2
x + 2x + xy + 5x + y + 4
Deuxième exemple
(2x 3 + x2 - 2x + 2) + (x 3 - 3x2 + 4x - 5)
Étape 1: Regrouper les termes semblables (les mêmes lettres affectées des mêmes exposants).
3
3
2
2
2x + x + x + (-3x ) + (-2x) + 4x + 2 - 5
Étape 2: Additionner les termes constants.
3
3
2
2
2x + x + x + (-3x ) + (-2x) + 4x - 3
Étape 3: Additionner les coefficients des termes algébriques semblables.
3
2
3x + (-2x ) + 2x - 3
La réponse est donc:
3
2
3x - 2x + 2x – 3
Méthode 2: Les tuiles algébriques
Pour aider à mieux visualiser l'addition de polynômes, on peut la représenter à l’aide des tuiles
algébriques. Lorsqu’on utilise les tuiles algébriques, il faut représenter tout d’abord chaque
expression algébrique par un assemblage de tuiles. On rassemble par la suite les tuiles
identiques et on fait l’addition de ces tuiles identiques.
Soit les deux polynômes suivants avec leur représentation des tuiles algébriques:
x 3 + x² + 2x + 1
x² + xy + 3x + y + 3
L’addition de ces deux polynômes sera représentée de la façon suivante avec les tuiles algébriques.
3
( x + x² + 2x + 1 ) + ( x² + xy + 3x + y + 3 )
On doit regrouper les tuiles identiques.
On fait l’addition des tuiles.
x³ + 2x² + xy + 5x + y + 4
La soustraction d'expressions algébriques
Pour soustraire un polynôme à un autre, il faut additionner l'opposé de chacun des termes
semblables du second polynôme à ceux du premier et réduire l'expression algébrique obtenue.
On obtient alors un nouveau polynôme correspondant à la somme recherchée.
On peut donc définir trois étapes à suivre pour soustraire des polynômes:
1. Regrouper les termes semblables.
2. Soustraire les termes constants.
3. Soustraire les coefficients des termes algébriques semblables.
On peut utiliser le calcul algébrique ou encore la méthode des tuiles algébriques pour effectuer
l'addition d'expressions algébriques.
On retient que lors de la soustraction:
• Seuls les termes semblables peuvent être simplifiés.
• Ce sont les coefficients de chacun des termes semblables qui sont soustraits.
Méthode 1 : Le calcul algébrique
La soustraction de deux polynômes est obtenue en soustrayant les termes semblables des deux
polynômes. Le résultat obtenu sera sous forme de polynôme.
Premier exemple
(2x3 + 3x + 2) - (x3 + 2x – 4)
Les parenthèses distinguent les deux polynômes que l'on doit soustraire. Afin de les enlever, le
négatif devant la deuxième parenthèse doit être distribué à chacun des termes à l'intérieur de
la parenthèse.
On obtient alors l'expression suivante:
3
3
2x + 3x + 2 - x - 2x + 4
On peut ensuite réduire l'expression. Pour ce faire, on suit les étapes suivantes:
Étape 1: Regrouper les termes semblables (les mêmes lettres affectées des mêmes exposants).
3
3
2x - x + 3x- 2x + 2 + 4
Étape 2: Soustraire les termes constants.
3
3
2x - x + 3x- 2x + 6
Étape 3: Soustraire les coefficients des termes algébriques semblables.
3
x +x+ 6
La réponse est donc:
3
x +x+6
Deuxième exemple
(5x2 - 11xy + 6x - 13) - (-2x2 + y2 - 8xy + 12)
On obtient alors l'expression suivante:
2
2
2
5x - 11xy + 6x - 13 + 2x - y + 8xy - 12
On peut ensuite réduire l'expression. Pour ce faire, on suit les étapes suivantes:
Étape 1: Regrouper les termes semblables (les mêmes lettres affectées des mêmes exposants).
2
2
2
5x + 2x - 11xy + 8xy + 6x - y - 13- 12
Étape 2: Soustraire les termes constants.
2
2
2
5x + 2x - 11xy + 8xy + 6x - y - 25
Étape 3: Soustraire les coefficients des termes algébriques semblables.
2
2
7x - 3xy + 6x - y - 25
La réponse est donc:
2
7x - 3xy + 6x - y2 - 25
On peut vérifier si l'expression de départ est équivalente à l'expression réduite, on peut
remplacer chaque variable par une valeur choisie et calculer la valeur de chaque expression. Si
les expressions obtenues sont de même valeur, cela indique qu'elles sont équivalentes.
Si on vérifie le premier exemple ci-dessus:
3
3
3
(2x + 3x + 2) - (x + 2x - 4) = x + x + 6
On choisit une valeur pour les variables. Par exemple, si x = 2
2(2)3 + 3(2) + 2 - 23 - 2(2) + 4 = (2)3 + 2 + 6
16 + 6 + 2 - 8 - 4 + 4 = 8 + 2 + 6
16 = 16Les deux expressions sont donc équivalentes.
Méthode 2 : Les tuiles algébriques
Pour aider à mieux visualiser la soustraction de polynômes, on peut la représenter à l’aide des
tuiles algébriques. Lorsqu’on utilise les tuiles algébriques, il faut représenter tout d’abord
chaque expression algébrique par un assemblage de tuiles. On rassemble par la suite les tuiles
identiques et on fait la soustraction de ces tuiles identiques.
Soit les deux polynômes suivants avec leur représentation en tuiles algébriques:
3
2x + 3x + 2
x3 + 2x - 4
On remarque qu'une valeur positive est représentée par une tuile de couleur pleine alors
qu'une valeur négative est plutôt représentée par une tuile hachurée.
La soustraction de ces deux polynômes sera représentée de la façon suivante avec les tuiles
algébriques.
3
3
(2x + 3x + 2) - (x + 2x - 4)
En distribuant le négatif au deuxième polynôme, les valeurs des termes changent de signes.
On regroupe maintenant les termes semblables comme lors d’une addition.
On fait l’addition des tuiles. Une tuile de couleur pleine et une tuile hachurée s’annulent entre
elles.
x3 + x + 6
(Additionner et soustraire des expressions algébriques) Capsule vidéo
https://www.youtube.com/watch?v=b29QNHI6sg0#t=382
La multiplication d'expressions algébriques
Il est possible de réduire une expression algébrique en multipliant les termes qu'elle contient.
Multiplier deux polynômes ensemble revient à multiplier chacun des termes du premier
polynôme par chacun des termes du second.
On peut définir trois étapes à suivre pour la multiplication d'expressions algébriques:
1. Réduire l'expression, s'il y a lieu, en additionnant ou en soustrayant les termes semblables
(avant d'effectuer la multiplication).
2. Effectuer les multiplications.
3. Réduire l'expression obtenue, s'il y a lieu, en additionnant ou en soustrayant les termes
semblables.
Pour effectuer la multiplication d'expressions algébriques, deux règles importantes sont à
suivre:
A. On multiplie les nombres entre eux et les variables entre elles.
3x • 4y = 3 • 4 • x • y = 12xy
B. Lorsque l'on multiplie ensemble deux variables identiques, on additionne leur exposant.
x2y3 • x3y7 = x2 • x3 • y3 • y7 = x(2+3) • y(3+7)= x5y10
Tous les termes, qu'ils soient semblables ou non, peuvent être multipliés entre eux. Par contre,
seuls les termes semblables peuvent être additionnés ou soustraits ensemble. Il est rare qu'une
équation soit formée uniquement que de multiplications. Il faudra, dans ce cas, respecter la
priorité des opérations lors de la réduction de l'expression algébrique. Pour multiplier des
expressions algébriques, il est essentiel de bien maîtriser les propriétés et les lois des
exposants.
Multiplication d’un monôme par un monôme
Lorsqu’on multiplie un monôme par un monôme, on multiplie les coefficients ensemble et on
additionne les exposants des variables identiques.
Multiplication d'un terme constant par un monôme
Lorsqu’on multiplie un terme constant par un monôme, on multiplie le coefficient du monôme
par le terme constant.
Avec le calcul algébrique
Soit le terme constant -3 et le monôme 4xy2. On effectue la multiplication :
−3⋅4xy²
On multiplie le terme constant avec le coefficient du monôme : −3×4=−12
On inscrit la réponse finale en ajoutant les variables mises de côté temporairement:
−3⋅4xy²=−12xy²
Avec les tuiles algébriques
Soit le terme constant 3 et le monôme x. On effectue la multiplication 3⋅x. On peut
représenter cette multiplication de la manière suivante:
Ici, les trois cases vertes représentent le terme constant 3 et le rectangle rose représente le
monôme x.
On multiplie chaque terme de la colonne par chaque terme de la ligne. Le produit obtenu est
représenté par la surface délimitée par le rectangle formé.
Comme le rectangle est formé par trois monômes x, la réponse est 3x.
Multiplication d'un monôme par un monôme
Lorsqu’on multiplie deux monômes ensemble, on multiplie les coefficients des deux monômes
et on additionne les exposants affectant les variables identiques.
Avec le calcul algébrique
Soit les deux monômes suivants : -3x
-3x
3 4
y ⋅4xy2
3 4
y et 4xy2. On effectue la multiplication :
On multiplie ensemble les coefficients: −3×4=−12
(3+1)
On additionne les exposants des mêmes variables : x
et y(4+2)
On inscrit la réponse finale:
-3x3y4⋅4xy2=−12x4y6
Voici la démarche détaillée:
-3x3y4⋅4xy2
=(− 3⋅4)⋅( x3⋅x)⋅(y4⋅y2)
=(−12)⋅(x3+1)⋅(y4+2)
=(− 12)⋅(x4)⋅(y6)
=−12x4y6
Avec les tuiles algébriques
Soit un monôme x et un autre monôme x. On effectue la multiplication x⋅x. On peut représenter cette
multiplication de la manière suivante:
Ici, les deux rectangles roses représentent les monômes x.
On multiplie chaque terme de la colonne par chaque terme de la ligne. Le produit obtenu est représenté
par la surface délimitée par le rectangle formé.
2
Comme le rectangle est formé par la combinaison de deux monômes x, la réponse est x .
Multiplication d’un monôme par un polynôme
Pour chacune des multiplications, il faut multiplier les coefficients entre eux.Pour chacune des
multiplications, il faut additionner les exposants des mêmes variables.Il est important de mettre
entre parenthèses le polynôme.
Avec le calcul algébrique
3 4
Soit le monôme -3x y et le binôme 4xy
binôme entre parenthèses:
-3x3y4⋅(4xy2+2xy)
2
+ 2xy. On effectue la multiplication en plaçant le
On applique la distributivité de la multiplication sur l’addition et le monôme multiplie alors
chacun des termes du binôme.
La démarche détaillée se déroule de la façon suivante:
(-3x3y4⋅4xy2)+(-3x3y4⋅2xy)
=(− 12x4y6)+(−6x4y5)
La réponse est donc:
−12x4y6−6x4y5
Avec les tuiles algébriques
Soit le monôme x et le binôme (y + 2). On effectue la multiplication x⋅(y+2). On peut
représenter cette multiplication de la manière suivante:
Ici, la colonne représente le monôme x et la ligne représente le polynôme (y + 2), soit le
rectangle bleu pour la variable y et les deux carrés verts pour le chiffre 2.
On multiplie chaque terme de la colonne par chaque terme de la ligne. Le produit obtenu est
représenté par la surface délimitée par le rectangle formé.
Comme les rectangles sont formés par la combinaison des variables x et y, et par deux
monômes x, la réponse est xy+2x.
Multiplication d’un polynôme par un polynôme
Lorsqu’on multiplie un polynôme par un polynôme, on applique la distributivité de la
multiplication sur l’addition et chacun des termes du premier binôme multiplie chacun des
termes du deuxième binôme.
Pour chacune des multiplications, il faut multiplier ensemble les coefficients. Pour chacune des
multiplications, il faut additionner les exposants des mêmes variables.Il est important de mettre
des parenthèses autour de chaque polynôme.
Avec le calcul algébrique
3 4
Soit le polynôme -3x y + y et le binôme 4xy
plaçant les deux polynômes entre parenthèses:
2
+ 2xy. On effectue la multiplication en
(-3x3y4+y)⋅(4xy2+2xy)
On applique la distributivité de la multiplication sur l’addition et chacun des termes du premier
binôme multiplie chacun des termes du deuxième binôme.
La démarche détaillée se déroule de la façon suivante:
(-3x3y4⋅4xy2)+(-3x3y4⋅2xy)+(y⋅4xy2)+(y⋅2xy)
=(− 12x4y6)+(− 6x4y5)+(4xy3)+(2xy2)
La réponse est donc:
−12x4y6−−6x4y5+4xy3+2xy2
Avec les tuiles algébriques
Soit les polynômes (x + 1) et (x + 3). On effectue la multiplication (x+1)⋅(x+3). On peut
représenter cette multiplication de la manière suivante:
Ici, la colonne représente le polynôme (x + 1), car la variable x est représentée par le rectangle
rose et le chiffre 1 est représenté par le carré vert; et la ligne représente le polynôme (x + 3),
soit le rectangle bleu pour la variable x et les trois carrés verts pour le chiffre 3.
On multiplie chaque terme de la colonne par chaque terme de la ligne. Le produit obtenu est
représenté par la surface délimitée par le rectangle formé.
La réponse obtenue est: x2+4x+3
Aussitôt que l’on multiplie un polynôme par un autre polynôme, chacun des termes du premier
polynôme doit multiplier chacun des termes du deuxième polynôme.
(−3x3y4+1)⋅(4xy2+2xy−9x+2y)
=(−3x3y4⋅4xy2)+(−3x3y4⋅2xy)+(−3x3y4⋅−9x)+(−3x3y4⋅2y)+(1⋅4xy2)+(1⋅2xy)+(
1⋅−9x)+(1⋅2y)
=(−12x4y6)+(−6x4y5)+(27x4y4)+(−6x3y5)+(4xy2)+(2xy)+(−9x)+(2y)
=−12x4y6−6x4y5+27x4y4−6x3y5+4xy2+2xy−9x+2y
(Multiplier des expressions algébriques) Capsule vidéo
https://www.youtube.com/watch?v=fXZ2XktfJjw
La division d'expressions algébriques
Il est possible de réduire une expression algébrique en divisant les termes qu'elle contient.Pour
effectuer la division d'expressions algébriques, il y a deux règles importantes à suivre:
1. On divise les coefficients ensemble.
2. On soustrait les exposants d'une même base, nombre ou variable.
Tous les termes, qu'ils soient semblables ou non, peuvent être divisés entre eux. Par contre,
seuls les termes semblables peuvent être additionnés ou soustraits ensemble.Il est rare qu'une
équation soit formée uniquement que de divisions. Il faudra, dans ce cas, respecter la priorité
des opérations lors de la réduction de l'expression algébrique.Pour diviser des expressions
algébriques, il est essentiel de bien maîtriser les propriétés et les opérations sur les exposants.
La division d’un monôme par un terme constant
Lorsqu’on divise un monôme par un terme constant, on divise le coefficient par le terme constant.
12xy2÷3=12xy2=4xy2
3
La division d’un monôme par un monôme
Lorsqu’on divise un monôme par un monôme, on divise les coefficients. On soustrait les
exposants des mêmes bases.
x3y4=x3−1y4−2=x2y2
xy2
25x3y9z÷5x3y6=25x3y9z=5x3−3y9−6z=5y3z
5x3y6
La division d’un polynôme par un monôme
Lorsqu’on divise un polynôme par un monôme, on divise chacun des termes du polynôme par le
monôme. Pour chacune des divisions, on divise les coefficients et on soustrait les exposants des
mêmes bases.
On divise chacun des termes du polynôme par le monôme.
On peut réécrire cette division de la façon suivante :
2
8 6
2
8 6
12xy +6x y =12xy +6x y
−3x3y4−3x3y4−3x3y4
Pour chacune des divisions, on divise les coefficients et on soustrait les exposants des mêmes variables.
12xy2+ 6x8y6= (−4x1−3y2−4)+(− 2x8−3y6−4)
−3x3y4−3x3y4
(− 4x1−3 y2−4) + (−2x8−3 y6−4)=−4x−2y−2−2x5y2
On réécrit la réponse pour qu'il n'y ait aucun exposant négatif.La réponse est donc:
5 2
4−2x y
x2y2
On ne doit jamais laisser des exposants négatifs dans les réponses. On doit utiliser une
propriété des exposants pour les rendre positifs. S’ils sont au dénominateur, ils vont au
numérateur et vice-versa.
On écrit cela ainsi:
a−n=1
an
(Diviser des expressions algébriques) Capsule vidéo
https://www.youtube.com/watch?v=H1Y3SDxnf6w#t=13
Les facteurs et la décomposition en facteurs
On peut décomposer un monôme en un produit de ses facteurs. On peut aussi trouver le PGFC
de deux monômes.
Exemple :
2a
3a2b
Le PGFC à
= 2 ⋅a
= 3⋅a⋅ a ⋅ b
2a et 3a2b est a
Exemple :
6m2n
9mn
= 2 ⋅3⋅m⋅ m ⋅n
= 3 ⋅3⋅m⋅n
Le PGFC est 3mn
Cette opération s’appelle la décomposition en facteurs ou factorisation.
Décompose en facteurs
4t
12
4t + 12
= 2⋅2⋅ t
= 2⋅2⋅3
Le PGFC est4
Divise le binôme par le PGFC pour trouver l’autre facteur
4t + 12 = t + 3
4
4 ⋅(t + 3) = (4 ⋅ t) + (4⋅ 3) = 4t + 12
– 10a2 + 25a
=
3⋅5⋅a⋅a⋅a
=
2⋅5⋅a⋅a
=5⋅5⋅a
Décompose en facteurs15a
15a3
10a2
25a
3
Le PGFCest5a
15a3 – 10a2 + 25a = 3a2 – 2a + 5
5a
Les deux facteurs du trinôme15a
La mise en évidence simple
3
– 10a2 + 25asont (5a) ⋅ (3a2 – 2a + 5)
La mise en évidence simple est un procédé qui permet de décomposer un polynôme en deux
facteurs, l'un étant un monôme et l'autre un polynôme. La mise en évidence simple permet de
mettre en évidence un facteur qui est commun à tous les termes d'un polynôme. Elle s’appuie
sur la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction.
Pour réaliser une mise en évidence simple, on doit :
1. Repérer le plus grand facteur commun (PGFC) à tous les termes d'un polynôme.
2. Mettre ce facteur en évidence en divisant chacun des termes du polynôme par le plus grand
facteur commun.
La mise en évidence simple est toujours la première opération à effectuer lorsqu’on factorise
un polynôme.
Soit le polynôme suivant:
2
10x + 15x
1. Repérer le PGFC:
Le plus grand facteur commun des coefficients est 5. Pour les variables, x est commun aux deux termes
et son plus petit exposant est 1.
Le facteur mis en évidence sera donc 5x.
2. Diviser tous les termes du polynôme par le plus grand facteur commun:
10x2+ 15x= 10x2 +15x = 2x+3
5x
5x5x
Réponse:
Lors de la mise en évidence simple, on obtient 5x(2x+3).
Soit le polynôme suivant:
8x3+4x2y+16x2
1. Repérer le plus grand facteur commun:
Le plus grand facteur commun des coefficients est 4. Pour les variables, x est commun aux trois
termes et son plus petit exposant est 2.
2
Le facteur mis en évidence sera donc 4x
2. Diviser tous les termes du polynôme par le plus grand facteur commun:
8x3+4x2y+16x2=8x3+4x2y+16x2 = 2x+y+4
4x24x24x24x2
Réponse:
Lors de la mise en évidence simple, on obtient (4x
2
)(2x+y+4)
(La mise en évidence simple) Capsule vidéo
Partie 1
https://www.youtube.com/watch?v=u_vlYmdh2tc#t=177
Partie 2
https://www.youtube.com/watch?v=JN6G17gpVcA#t=117
(La mise en évidence double) Capsule vidéo
https://www.youtube.com/watch?v=nFZqoMT_Fd0#t=189
La décomposition de trinômes en facteurs
La technique du produit-somme
On peut factoriser un trinôme de la forme ax
2
+bx+c par la recherche de la somme et du produit.
Pour factoriser un trinôme par la technique somme produit, on doit suivre les étapes suivantes:
1. Chercher deux nombres m et n dont le produit est égal à la valeur de a multipliée par c et la
somme est égale à la valeur de b.
Produit =a⋅c=m⋅n Somme =b=m+n
2. Décomposer le terme bx dans le trinôme par les 2 nombres trouvés, c'est-à-dire bx=mx+nx.
Cette méthode peut s'avérer difficile si les valeurs de a, b et c sont des fractions ou des nombres
entiers assez élevés (tant positifs que négatifs).
De plus, si le discriminant du trinôme ax2+bx+c est négatif, il ne sera pas possible de le factoriser.
2
On appelle discriminant d'un trinôme, sous la forme ax2+bx+c, la valeur de l'expression b
4ac
Remarque: Il arrive que l'on rencontre le symbole Δ plutôt que l'expression b
symbole correspond à la lettre grecque delta.
2
Calculez le discriminant du trinôme 2x
− 4x + 7
Dans ce trinôme, a=2, b=−4 et c=7
2
Ainsi, on obtient b
− 4ac = (−4)2 − (4⋅2⋅7)
Ce qui vaut 16−56=−40.
2
− 4ac. Ce
−
Soit le trinôme suivant:
2
x +4x–32
1. On cherche le produit et la somme:
a=1b=4c=−32
Produit: 1⋅−32=− 32=m⋅n
Somme: 4=m+n
2. On cherche deux nombres qui multipliés donnent −32 et qui additionnés donnent 4.
Les facteurs de −32 sont:
(−1 et 32),(1 et −32),(−2 et 16),(2 et −16),(− 4 et 8),(4 et −8)
On remarque que −4⋅8=−32 et −4+8=4, donc les deux nombres que l'on cherchait sont
m=− 4 et n=8.
3. On décompose le terme bx dans le trinôme avec les deux nombres trouvés.
x2+4x–32
=x2−4x+8x–32
= (x2−4x)(8x –32)
= x (x – 4) 8 (x – 4)
=(x−4)(x+8)
2
Les deux facteurs du trinôme x
+4x–32sont(x−4)(x+8)
Soit le trinôme suivant:
2
6x +16x+8
1.On cherche le produit et la somme:
a=6b=16c=8
Produit: 6⋅8=48=m⋅n
Somme: 16=m+n
2. On cherche deux nombres qui multipliés donnent 48 et qui additionnés donnent 16
Les facteurs de 48 sont:
(1 et 48),(2 et 24),(3 et 16) (4 et 12) (6 et 8)
On remarque que 4 ⋅12 =48 et 4 +12 =16, donc les deux nombres que l'on cherchait sont
m=4 et n=12
3. On décompose le terme bx dans le trinôme avec les deux nombres trouvés.
6x2+ 16x + 8
= 6x2+ 12x + 4x+ 8
= (6x2+ 12x)(4x+ 8)
= 6x (x + 2) 4 (x + 2)
= (x + 2) (6x + 4)
Les deux facteurs du trinôme6x
2
+ 16x + 8sont(x + 2) (6x + 4)
(Factorisation par produit et somme) Capsule vidéo
https://www.youtube.com/watch?v=gMuIBDm1Rx0
https://www.youtube.com/watch?v=Spn8mSCiCUs
https://www.youtube.com/watch?v=SMrLGiQRJ7U
https://www.youtube.com/watch?v=3cFcrJkdsE4