Période du 6 au 11 avril 2015 Fiche d`exercices n°17 Exercice 1 La

Période du 6 au 11 avril 2015 Lois à densité I :Lois uniforme et exponentielle.
Fiche d’exercices n°17
Exercice 1
La durée de vie, exprimée en jours, d’un certain type avions est une variable aléatoire qui suit une
loi exponentielle de paramètre 0,002.
1. Calculez la probabilité pour qu’un avion ait une défaillance avant 500 jours - après 800 jours.
2. Quel est le taux moyen de défaillance entre 500 et 800 jours 1
Exercice 2
Un point M est pris au hasard sur un demi-cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1.
On suppose que l’angle θ= AOM suit la loi uniforme sur [0,π].
Quelle est la probabilité pque le triangle AOM ait une aire inférieure à 1
4?
Exercice 3
1. Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ=1,5.
a ) Construire la courbe de la densité fde la loi de X et hachurer les domaines représentant les
événements : a)X 60, 8 ; b)1,5 6X63.
b ) Calculer à 0,01 prés leurs probabilités.
2. Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre λ=2
a ) Calculer t1tel que p(X >t1)=0,95
b ) Calculer t2tel que p(X 6t2)=0,5. Comment appelle-t-on ce nombre t2?
Exercice 4
1. X suit une loi exponentielle de paramètre λ.
a ) Démontrer l’égalité suivante : p(X >t)=e−λt.
b ) En déduire que, pour set tréels positifs, l’égalité suivante est vraie
p(X>t)(X >s+t)=p(X >s) (loi de durée de vie sans vieillissement).
2. La durée d’attente exprimée en minutes à chaque caisse d’un supermarché est une variable
aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif λ.
3. a ) Déterminer une expression exacte de λsachant que p(T 610) =0,7.
On prendra, pour la suite de l’exercice, la valeur 0,12 comme valeur approchée de λ.
b ) Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle p(T>10)(T >15)
c ) Sachant qu’un client a déjà attendu 10 minutes à une caisse, déterminer la probabilité que
son attente totale ne dépasse pas 15 minutes.
Exercice 5
Une étude statistique à montré que la durée de vie en années X d’un disque dur DD est une variable
aléatoire suivant une loi exponentielle et que la durée de vie moyenne d’un DD est de 5 ans.
1. Déterminer le paramètre λde la loi exponentielle suivie par X.
2. Le disque dur DD est garanti deux ans. Quelle proportion, à 0,001 près de disques durs DD sera
retournées au fournisseur pour cause de panne ?
3. Calculer P¡X>3¢et interpréter ce résultat.
4. Sachant qu’un disque dur DD n’est plus sous garantie, quelle est la probabilité, à 0,001 près,
que sa durée de vie totale dépasse 5 ans.
1. Le taux moyen de défaillance entre les instants t1et t2est le quotient de la probabilité pour qu’un avion ait sa
première panne entre les instants t1et t2divisée par la durée t2−t1.
Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth 1