racines carrees

3ème – Chapitre 08 Racines carrées
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R
RA AC CI IN NE ES S C CA AR RR RE EE ES S
1) Définition
définition
Si a désigne un nombre positif, on appelle "racine carrée de a", notée a, le nombre positif dont le carré
est a.
exemples
39  car 932
525  car 2552
Remarque : On ne peut pas toujours donner une valeur décimale exacte de la racine carrée d'un nombre
positif, par exemple 2 :
2 est le nombre positif dont le carré vaut 2 :
22 2. On ne peut pas donner de valeur décimale
exacte de 2. On a 414,12  (c'est une valeur approchée de 2 au millième).
Conséquence
Si a désigne un nombre positif, on a :
aa 
2
aa 
2
2) Propriétés des racines carrées
Règles de calcul
Si a et b désignent deux nombres positifs :
a) baba  (ce qui s'écrit plus simplement abba )
b) si 0b, b
a
b
a
preuve : voir activité 7 p.28-29
exemples
1) Ecrire les nombres suivants sous la forme ba , où a et b sont des entiers : 75 et 28 .
32575 
32575 
3575 

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7428 
7428 
7228 
2) Ecrire les nombres suivants sous la forme a, où a est un entier : 53 et 6
12 .
5953 
5953 
4553 
6
12
6
12 
2
6
12 
ATTENTION !
Il n'y a aucune règle concernant la somme ou la différence de racines carrées.
On peut toutefois calculer certaines sommes :
Exemple
Ecrire le nombre suivant sous la forme ab, où a et b sont des nombres entiers :
350 232 618A
50 25 2 25 2 5 2
32 16 2 16 2 4 2
18 9 2 9 2 3 2 
352 242 632
15 2 8 2 18 2
25 2
A
A
A
3) Equations x² = a
propriété
L'équation 2
x
a, où x est l'inconnue et a est un nombre :
 a deux solutions si 0a : a et a ;
 a une seule solution si 0a : 0 ;
 n'a pas de solution si 0a

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démonstration :
Si 0a :
2
2
2
2
0
0
0
xa
xa
xa
xaxa
L'équation 0xa a pour solution a. L'équation 0xa
 a pour solution a.
L'équation de départ a deux solutions : a et a.
Si 0a, alors 0x (équation produit).
Si 0a, alors l'équation n'admet pas de solutions car le carré d'un nombre ne peut pas être négatif.
exemples
L'équation 25x a deux solutions : 5 et 5 .
L'équation 23x n'a pas de solutions.