Racine carrée Racine carrée d`un nombre positif Définition Soit a un
Racine carrée
1) Racine carrée d’un nombre positif
a) Définition
Soit a un nombre positif. La racine carrée de a (noté ) est le nombre positif dont le
carré est a.
Pour tout nombre « a » positif, .
Remarque :
Le symbole est appelé radical.
Si a est un nombre strictement négatif alors n’existe pas.
Exemple :
Cas où est un nombre entier
On sait
que :
0² = 0
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
Donc
On dit que : 0, 1, 4, 9, 16, 25, ….sont des carrés parfaits (carré des nombres entiers).
Cas où est un nombre rationnel non entier :
Cas où est un nombre irrationnel : …… On ne peut obtenir que des
valeurs approchées de ces nombres avec la calculatrice.
b) Propriétés
Pour tout nombre positif a, on a : .
Démonstration : Par définition de la racine carrée.
Exemples : , …..
Pour tout nombre positif a, on a : .
Démonstration : Par définition, est le nombre qui élevé au carré donne a². Or a est un
nombre positif et son carré vaut a², donc .
Remarque : Si a est un nombre positif, alors existe et on a :
Exemple : ; ; …..
2) Racines carrées et opérations
a) Multiplication et division
Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur
produit.
Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, on a : .
Démonstration :
. Or, par définition de la racine carrée, est le seul nombre
positif dont le carré est ab. On obtient donc : .
Exemples : ,
Ecrire un nombre sous la forme
Technique :
On écrit a sous la forme (propriété liée à la définition)
On utilise la formule
On conclut
Exemple : Ecrire sous la forme avec c nombre entier positif.
Ecrire un nombre sous la forme avec b le plus petit possible
Technique :
On cherche le plus grand carré parfait qui divise c
On écrit c sous la forme a²b où a² est le plus grand carré parfait trouvé
On utilise la formule
On conclut en utilisant la formule liée à la définition :
Exemple : Ecrire sous la forme a avec a et b nombres entiers positifs et b le plus petit
possible.
36 est le plus grand carré parfait qui divise 72. . On obtient alors :
Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de
leur quotient. Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, b0 on a :
.
Exemple :
,
Transformer un quotient de racines carrées pour obtenir un dénominateur entier
Technique :
On transforme le quotient de racines carrées en racine carrée d’un quotient (formule
ci-dessus)
On simplifie le quotient et on le réécrit comme un quotient de racines carrées
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre se trouvant au
dénominateur
On conclut en utilisant les formules suivantes : et
Exemple : Soit l’expression
. Calculer B et donner le résultat sans radical au
dénominateur.
b) Addition et soustraction
Attention : Les propriétés précédentes ne s’étendent pas à l’addition et la soustraction.
Exemple : et donc
et donc
3) Equation et carré
Propriété : Si a est strictement positif alors l’équation x² = a admet deux solutions et -
.
Remarque :
Si a = 0, il n’existe qu’un seul nombre tel que x² = 0 : c’est 0.
Si a est strictement négatif, alors l’équation x² = a n’admet aucune solution puisque x²
est forcement un nombre positif.
Résoudre des équations carrées simples
Technique :
Se ramener à la forme x² = a
Utiliser la propriété précédente
Exemples :Résoudre l’équation : x² = 121.
121 > 0 donc l’équation x² = 121 admet deux solutions : et .
Résoudre l’équation :
donc . L’équation admet deux solutions : et .
Résoudre des équations de la forme (x-b)² = a où a et b sont deux réels
Technique :
o Si a est négatif : il n’y a pas de solutions
o Si a est égal à 0 : il existe une unique solution : x = b.
o Si a est positif :
On utilise la propriété précédente (on obtient : x-b = ou )
On ajoute b de part et d’autre de l’égalité
On conclut
Exemple : Résoudre l’équation : (x-5)² = 121.
121 > 0 donc l’équation (x-5)² = 121 admet deux solutions : et
.
L’équation (x-5)²=121 admet pour solutions : -6 et 16.
1
/
3
100%
