Racine carrée 1) Racine carrée d’un nombre positif a) Définition Soit a un nombre positif. La racine carrée de a (noté √𝑎 ) est le nombre positif dont le carré est a. Pour tout nombre « a » positif, √𝑎 × √𝑎 = 𝑎. Remarque : Le symbole √ est appelé radical. Si a est un nombre strictement négatif alors √𝑎 n’existe pas. Exemple : Cas où √𝑎 est un nombre entier On sait que : Donc 0² = 0 1² = 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5² = 25 √0 = 0 √1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 On dit que : 0, 1, 4, 9, 16, 25, ….sont des carrés parfaits (carré des nombres entiers). Cas où √𝑎 est un nombre rationnel non entier : √0.25 = 0.5 Cas où √𝑎 est un nombre irrationnel : √2, √3 , …… On ne peut obtenir que des valeurs approchées de ces nombres avec la calculatrice. b) Propriétés 2 Pour tout nombre positif a, on a : (√𝑎) = 𝑎. Démonstration : Par définition de la racine carrée. 2 2 Exemples : (√3) = 3, (√12,26) = 12,26….. Pour tout nombre positif a, on a : √𝑎2 = 𝑎. Démonstration : Par définition, √𝑎2 est le nombre qui élevé au carré donne a². Or a est un nombre positif et son carré vaut a², donc √𝑎2 = 𝑎. Remarque : Si a est un nombre positif, alors √(−𝑎)2 existe et on a : √(−𝑎)2 = √𝑎2 = 𝑎. Exemple : √152 = 15 ; √102,62 = 102,6 ; √(−3)² = √3² = 3 ….. 2) Racines carrées et opérations a) Multiplication et division Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur produit. Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, on a : √𝒂√𝒃 = √𝒂𝒃. Démonstration : (√𝑎√𝑏)² = (√𝑎)²(√𝑏)² = 𝑎𝑏. Or, par définition de la racine carrée, √𝑎𝑏 est le seul nombre positif dont le carré est ab. On obtient donc : √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏. Exemples : √3√8 = √3 × 8 = √24, √6 = √2 × 3 = √2√3 Ecrire un nombre 𝒂√𝒃 sous la forme √𝒄 Technique : On écrit a sous la forme √𝑎² (propriété liée à la définition) On utilise la formule √𝑐√𝑑 = √𝑐𝑑 On conclut Exemple : Ecrire 5√3 sous la forme √𝑐 avec c nombre entier positif. 5√3 = √5²√3 = √25√3 = √25 × 3 = √75 Ecrire un nombre √𝒄 sous la forme 𝒂√𝒃 avec b le plus petit possible Technique : On cherche le plus grand carré parfait qui divise c On écrit c sous la forme a²b où a² est le plus grand carré parfait trouvé On utilise la formule √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏 On conclut en utilisant la formule liée à la définition : √𝑎2 = 𝑎 Exemple : Ecrire √72 sous la forme a√𝑏 avec a et b nombres entiers positifs et b le plus petit possible. 36 est le plus grand carré parfait qui divise 72. 72 = 36 × 2 = 6² × 2. On obtient alors : √72 = √6² × 2 = √6²√2 = 6√2. Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur quotient. Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, b≠0 on a : Exemple : √18 √2 18 5 = √ 2 = √9, √9 = √5 √9 = √𝒂 √𝒃 𝒂 = √𝒃. √5 3 Transformer un quotient de racines carrées pour obtenir un dénominateur entier Technique : On transforme le quotient de racines carrées en racine carrée d’un quotient (formule ci-dessus) On simplifie le quotient et on le réécrit comme un quotient de racines carrées On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre se trouvant au dénominateur 2 On conclut en utilisant les formules suivantes : √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏 et (√𝑎) = 𝑎 Exemple : Soit l’expression 𝐵 = √18 . Calculer B et donner le résultat sans radical au √15 dénominateur. 𝐵= √18 √15 18 6 = √15 = √5 = √6 √5 = √6×√5 √5×√5 = √6×5 √5×5 = √30 √25 = √30 5 b) Addition et soustraction Attention : Les propriétés précédentes ne s’étendent pas à l’addition et la soustraction. Exemple : √16 + 5 = √25 = 5 et √16 + √5 = 4 + 3 = 7 donc √16 + 5 ≠ √16 + √5 √225 − 144 = √81 = 9 et √225 − √144 = 25 − 12 = 13 donc √225 − 144 ≠ √225 − √144 3) Equation et carré Propriété : Si a est strictement positif alors l’équation x² = a admet deux solutions √𝑎 et √𝑎. Remarque : Si a = 0, il n’existe qu’un seul nombre tel que x² = 0 : c’est 0. Si a est strictement négatif, alors l’équation x² = a n’admet aucune solution puisque x² est forcement un nombre positif. Résoudre des équations carrées simples Technique : Se ramener à la forme x² = a Utiliser la propriété précédente Exemples :Résoudre l’équation : x² = 121. 121 > 0 donc l’équation x² = 121 admet deux solutions : √121 = 11 et −√121 = −11. Résoudre l’équation : 3𝑥² + 15 = 5𝑥² − 25 2𝑥² = 40 donc 𝑥² = 20. L’équation admet deux solutions : √20 = 2√5 et −√20 = −2√5. Résoudre des équations de la forme (x-b)² = a où a et b sont deux réels Technique : o Si a est négatif : il n’y a pas de solutions o Si a est égal à 0 : il existe une unique solution : x = b. o Si a est positif : On utilise la propriété précédente (on obtient : x-b = √𝑎 ou −√𝑎) On ajoute b de part et d’autre de l’égalité On conclut Exemple : Résoudre l’équation : (x-5)² = 121. 121 > 0 donc l’équation (x-5)² = 121 admet deux solutions : 𝑥 − 5 = √121 et 𝑥 − 5 = −√121 𝑥 = 11 + 5 = 16 𝑜𝑢 𝑥 = −11 + 5 = −6. L’équation (x-5)²=121 admet pour solutions : -6 et 16.