document professeur - Académie de Nancy-Metz

Probabilités en terminale
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Taux de participation aux élections
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Comment introduire la « loi normale »
Un début d’ exercice « classique »
Une entreprise pharmaceutique fabrique les
comprimés d’un médicament dans deux
machines distinctes A et B. Après une étude
statistique, elle constate que :
- la masse d’un comprimé qui sort de la machine
de fabrication A suit une loi normale de
paramètres µ = 80,00mg et σ = 0,025 ;
- la masse d’un comprimé qui sort de la machine
de fabrication B suit une loi normale de
paramètres
µ
=
80,00mg
et
σ
=
0,020
………
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Du discret au continu
Objectifs :

Introduire la notion de densité de probabilité.

Présenter un exemple d’une variable aléatoire
dont la loi de probabilité est celle d’une loi
normale.
Exemple : Les poulets
5
Lois à densité
Soit X une variable aléatoire qui à chaque issue
d’un univers Ω associe un élément de l’intervalle I
de ℝ, et soit f une fonction définie sur I.
On dit que
𝑓 est une fonction de densité de la variable
aléatoire si, pour tout intervalle J contenu dans I,
la probabilité de l’événement « 𝑋 ∈ 𝐽 » est l’aire de
l’ensemble des points de coordonnées 𝑥 ; 𝑦 tels
que
𝑥 ∈ 𝐽 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥 .
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Exemples de loi à densité
Loi uniforme
Loi exponentielle


Activité : 1+1=2 ?
7
Comment introduire la loi normale ?
8
Retour à la loi binomiale
Planche de Galton

Xn Binomiale
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
Distribution de B(50 ; 0,5) avec le tableur
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Visualisation de la loi binomiale
Distribution de B(50;0,5) avec GeoGebra
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Moyenne et espérance d’une binomiale
suit la loi binomiale de moyenne
et d’écart –type
On pose
.
sont indépendants de
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Loi binomiale centrée réduite
Soit Zn la variable centrée réduite associée à Xn .
prend des valeurs entières k dans [0 ; n].
prend des valeurs z régulièrement réparties
sur
et l’écart entre deux valeurs
consécutives est égal à .
La représentation graphique de
est un
diagramme en bâtons qui dépend de p et n.
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Binomiale centrée réduite
Illustration pour n = 53 et p = 0,6
Xn binomiale
Zn binomiale centrée réduite
0,12
0,12
0,1
0,1
0,08
0,08
0,06
0,06
0,04
0,04
0,02
0,02
0
0
0
10
20
30
40
50
Tableur
GeoGebra
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Théorème de Moivre-Laplace
On suppose que pour tout ,
suit la loi binomiale
avec
. On pose
.
Alors pour tous réels
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et
tels que
,
Vers le théorème de Moivre-Laplace
A Approche d’une loi binomiale par une loi continue
Dans cette partie, X désigne une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,4.
On considère la variable aléatoire Y définie par Y=
–
.
1. a) Quelles sont les différentes valeurs prises par la variable aléatoire Y ?
b) Compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de Y (on
arrondira à 10−3)
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Vers le théorème de Moivre-Laplace
Représenter graphiquement la loi de probabilité de Y.
On souhaite approcher cette variable aléatoire par une variable
aléatoire continue.
Pour cela, on va d’abord définir l’intervalle I sur lequel Z prend ses
valeurs et la fonction densité de Z définie sur I.
a)
Que vaut
b) Quelle valeur donneriez-vous à
?
?
Représentation
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Vers le théorème de Moivre-Laplace
a)
On décide de choisir comme fonction densité
une fonction
constante sur l’intervalle
–
. Quelle valeur va-t-on attribuer
à sur cet intervalle ?
b) Sur le graphique précédent, représenter sur cet
intervalle.
c) Reprendre les trois questions précédentes pour
les autres valeurs prises par Y .
d) Préciser l’intervalle I de définition de ?
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binomiale centrée
réduite
0,45
0,45
0,4
binomiale centrée réduite
0,4
0,35
0,35
0,3
0,3
0,25
0,25
0,2
0,2
0,15
0,15
0,1
0,1
0,05
0,05
0
0
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normale centrée réduite
Pour comparer deux variables continues et visualiser un
histogramme, à chaque valeur de
on fait correspondre
un rectangle vertical dont
 L'amplitude de la "classe" [zk , zk+1] est .
(écart entre deux valeurs prises par Z).
 La densité de Z sur [zk ; zk+1[ est P(Z = zk)
avec 0 k n – 1.
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Un outil : la loi normale centrée réduite
Une variable aléatoire X suit
la loi normale centrée
réduite, notée N(0,1) si,
pour tous réels a et b tels
que a ≤ b, on a :
Loi normale
GeoGebra
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Une propriété à démontrer
Si X est une variable aléatoire suivant la
loi normale N (0,1) alors, pour tout réel
, il existe un unique réel positif
tel que
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La loi normale N(µ ; σ²)

Une variable aléatoire X suit
une loi normale N(µ ; σ²)
si la variable aléatoire
suit la loi normale N(0 ; 1).
22
Valeurs particulières
Si X suit une loi normale N
alors
près,
près,
près.
Densité de la loi normale
23
Valeurs particulières
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Exemple de mise en œuvre de la loi normale
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Réglage d'une machine d'embouteillage dans une
coopérative
Sur une chaîne d'embouteillage,
la quantité X (en cL) de liquide fournie par la machine
pour remplir chaque bouteille de contenance 110 cL
peut être modélisée par une variable aléatoire de loi
normale de moyenne μ et d’écart-type σ = 2.
La législation impose qu'il y ait moins de 0,1% de
bouteilles contenant moins d'un litre.
À quelle valeur de la moyenne μ doit-on régler la machine
pour respecter cette législation?
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μ ? tel que P(X < 100) < 0,001
μ ? tel que P(X < 100) < 0,001
• On détermine d'abord la valeur z de la loi normale
centrée réduite, telle que P(Z < z) = 0,001.
Avec TI (83 plus et +) : FracNormale(.001,0,1) -3.0902323
Avec CASIO(35+) et + : menu stat ► dist ► NORM ► InvN
►Area :.001 σ : 1 ; μ : 0.
Inverse Normal x = -3.0902
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La contenance des bouteilles étant de 110 cL, quelle est
alors la probabilité qu'une bouteille déborde
lors du remplissage?
P(X>110) ?
𝑃(𝑋 < 100) = 0,5 − 𝑃(100 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 )
Bouteille
Avec TI (83 plus et +) : 0.5-normal Frép(100,105.34,105.34,2))
0.0038
Avec CASIO(35+) et + : Ncd ► Lower : 100 ; Upper: 105.34 σ : 2 ; μ :
105.34.
Normal C.D. prob = 0.19147
.5 - .4962=.0038
μ ≈ 106,18, on obtient P(X > 110) ≈ 0,038.
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Déterminer μ et σ afin qu’il y ait
moins de 0,1% de bouteilles de moins d'un litre
ET moins de 1% de bouteilles qui débordent.
On cherche μ et σ tels que
P(x<100)<0,001 et P(X>110)<0,001)
P(Z > zsup ) = 0,01 ……… zsup ≈ 2,33
P(Z < zinf ) = 0,001……… zinf ≈ − 3,09
110−𝜇
𝜎
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≥ 2,33 et
100−𝜇
𝜎
≤ −3,09