MATHÉMATIQUES 1 PROBLEME d`ordre n à w(M)

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CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE 1998
Mathématiques 1 1/4
SESSION 1998
A001
CONCOURS C O Y M U N S POLYTECHWIOUES
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE
MATHÉMATIQUES
TSI
1
DURI%: 4 heures
L 'usage des calculatricesprogrammables et alphanumériques est autorisé sous réserve
des dispositions définies dans la circulaire "'86-228 du 28 juillet 1986.
Il est rappelé aux candidats qu'il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction
des copies.
PROBLEME
Si n est un entier naturel, on note M,, @) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à
coefficients réels.
On note mi,j, l'élément ligne i et colonne j d'une matrice M de M,, @).
On note Id la matrice identité de M,, (IR).
On appelle matrice semi-magique d'ordre n, une matrice M de M,, @) telle qu'il existe un
n
n
réel, notéa(M) vérifiant Vi ~ [ l , n ] , zrni,j
w(M)
j=1
n
On appelle trace de M le réel, noté Tr(M) = xrni,iOn note SM,,l'ensemble des matrices
i=l
semi-magiques d'ordre n.
On appelle matrice magique d'ordre n, une matrice M de M,, @), ayant les propriétés
suivantes :
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M est semi-magique et a(M) = Tr(M) = g m i , i et
O (M)
Zmij
=
i 41.n], jdl ,n].i+ j = n + ~
i=l
On note MG,, l'ensemble des matrices magiques d'ordre n.
Si M est un élément de M,, @), on note M la matrice transposée de M .
Un vecteur colonne X, non nul sera dit vecteur propre de M associé à la valeur propre R si et
seulement si MX = RX .
1.
Montrer que M est semi-magique si et seulement si V =
Ii/
( l'dément ligne i de V
est 1.) est vecteur propre commun de M et 'M ,associé à la même valeur propre.
II.
Déduire du résultat précédent que l'ensemble des matrices semi-magiques est une R
algèbre, incluse dans M,, (IR). Montrer que MG,, est un espace vectoriel de R.
III. On désigne par E la matrice à coefficients réels telle que 'di E [17n],'dJE [l,n] ei,j= 1.
Montrer que E est magique . Montrer que:
'dp 2 1, EP = nP-'E.
IV. Montrer que: pour toute matrice semi-magique M de M,, @) on a :
EM = O-(M)E = ME.
V.
Dans cette question, on impose n=3 .
1. Montrer que toute matrice de MG, est la somme d'une matrice magique symétrique
et d'une matrice magique antisymétrique et que cette décomposition est unique.
2. Construire toutes les matrices magques antisymétriques de MG,.
3. Construire toutes les matrices magiques symétriques de MG, de trace nulle.
1
En remarquant que M - -Tr(M)E a une trace nulle, en déduire toutes les matrices
3
magiques symétriques de MG,, Donner une base de l'espace des matrices magiques
de MG,.
4. On se propose de démontrer que si M est magique de MG,, alors pour tout entier p
impair, MP est magique.
4.1. Soit M, une matrice magique de trace nulle.
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On admettra le résultat suivant qu'on ne demande pas de démontrer :il existe un
polynôme P d u troisième degré P(X) = X3+ aX2+ bX + c tel que
P(M) = M3 +a2
+ bM+cXd = O
et de plus, le réel (z est égal à - Tr(M) ;
Montrer que l'hypothèse c f O entraîne que M est inversible et que la relation
démontrée en IV conduit à une contra&ction.
En déduire l'existence d'un réel h tel que M3 = ;1M et que pour tout entier p,
impair MP est magique.
1
4.2 Soit M une matrice magique de MG,; On pose Mo = M - -Tr(M)E .
3
Calculer MP et montrer que pour tout p impair, MP est magique.
V.I. Dans cette question, on impose n=4 et on considère la matrice magique d'ordre 4
de MG,,
2 0 0 0
O 1 1 0
1. Vérifier A' = A + 21d.
2. Montrer qu'il existe deux entiers positifs a, et b, tels que AP = a,A
+ bpId .
3. Démontrer que pour tout p 1 2, A P ne peut pas être magique.
EXERCICE 1
Soit a et b deux réels distincts, on désigne par F l'espace vectoriel des fonctions de [ a, b ]
dans R de classe C" .
b
1.
Montrer que l'application q :F x F + R définie par : q (f, g) =< f, g >= If(t)g(t)dt est
a
un produit scalaire euclidien sur F .
2. On impose a = O et b = 27r. Calculer
{
6"
sin(pt) sin(qt)dt pour p et q entiers naturels;
En déduire que la famille G = t f fi(t) = sin(it), i
3.
E
[1,II]}
est libre dans F.
7r
On impose a = O et b = - . On désigne par Vect (G) le sous espace vectoriel engendré
2
par G.
i=n
i=n
Soit f = z x i < un Clément de F et g = X y i f , un autre Clément de F.
i=l
i=l
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Montrer qu'il existe une matrice A carrée d'ordre n telle que :
A
L
q (f'g) =< f,g >= !f(t)g(t)dt='XAY
avec
O
-.
-.-
X=
et
ai,j -
f fi(t)fj(t)dt.
La famille G est-elle une famille orthogonale pour le produit scalaire cp ?
4.
En faisant un changement de base convenable dans l'espace Vect (G), montrer qu'il
existe une matrice inversible P qu'on ne demande pas d'expliciter telle que * PAP = Id
où Id désigne la matrice identité. En déduire que la matrice carrée d'ordre n
A
1
- fsin(it) sin(jt)dt a un détexminant strictement positif.
EXERCICE II
E désigne l'espace vectoriel IR3,munis de sa structure euclidienne et orienté par le choix d'une base.
On rappelle que si r est une rotation de E, alors
pour tout couple de vecteurs (x,y) E E2,on a r(x A y) = r(x) A r(y) .
On rappelle que si r est une rotation d'axe orienté par w unitaire et d'angle 8, alors pour tout
vecteur x orthogonal à 0, on a r(x) = xcOs(8) + Sin(8) w A x .
On considère l'endomorphisme r 0 R 0 r-' de E OÙ R est une rotation d'axe orienté par Q unitaire
et d'angle B et r est une rotation d'axe orienté par w unitaire de E. On se propose de montrer que
r 0 R 0 r-l est une rotation d'axe orienté par r(C2) et d'angle 8.
1. Montrer que r 0 R 0 r-l est une rotation de E.
2. Montrer que r(S2)est invariant par r 0 R 0 r-' .On désigne par p l'angle de cette rotation .
3. Si C2 = w ,préciser l'angle et l'axe de la rotation r 0 R 0 r-'
.
4. Onimpose S ~ A ~ + O .
4.1 Montrer que si x est orthogonal à r(S2) on a :
roRor-'(x)=xcos(8)+sin(8) r(SZ)r\x.
4.2 Montrer que pour tout vecteur x orthogonal à r(f2) on a :
r 0 R 0 r-l (x) = xcos(p) + sin(q) r(n) A x .
4.3 En déduire 8 = q et conclure.