Liban 2013. Enseignement spécifique

Liban 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On considère la suite numérique (vn)définie pour tout entier naturel npar
⎧
⎨
⎩
v0=1
vn+1 =9
6−vn
.
Partie A
1) On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel ndonné, tous les termes de la suite, du rang
0au rang n.Parmilestroisalgorithmessuivants,unseulconvient.Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme No1
Variable s :
vest un réel
iet nsont des entiers naturels
Début de l’algorithme :
Lire n
vprend la valeur 1
Pour ivariant de 1ànfaire
vprend la valeur 9
6−v
Fin pour
Afficher v
Fin algorithme
Algorithme No2
Variable s :
vest un réel
iet nsont des entiers naturels
Début de l’algorithme :
Lire n
Pour ivariant de 1ànfaire
vprend la valeur 1
Afficher v
vprend la valeur 9
6−v
Fin pour
Fin algorithme
Algorithme No3
Variable s :
vest un réel
iet nsont des entiers naturels
Début de l’algorithme :
Lire n
vprend la valeur 1
Pour ivariant de 1ànfaire
Afficher v
vprend la valeur 9
6−v
Fin pour
Fin algorithme
2) Pour n=10,onobtientl’affichagesuivant:
1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714
Pour n=100,lesdernierstermesaffichéessont:
2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn)?
3) a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,0<v
n<3.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n,vn+1 −vn=(3 −vn)2
6−vn
.
La suite (vn)est-elle monotone ?
c) Démontrer que la suite (vn)est convergente.
Partie B. Recherche de la limite de la suite (vn)
On considère la suite (wn)définie pour tout nentier naturel par
wn=1
vn −3.
1) Démontrer que (wn)est une suite arithmétique de raison −
1
3.
2) En déduire l’expression de (wn),puiscellede(vn)en fonction de n.
3) Déterminer la limite de la suite (vn).
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

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EXERCICE 4
Partie A
1) •L’algorithme no1n’affichequ’unseultermedelasuiteetneconvientdoncpas.
•L’algorithme no2remetàchaqueétapelavaleur1dans vavant d’afficher.
L’algorithme no2faitdoncafficher1,1,1...ce qui est faux.
•On doit maintenant noter que malheureusement, l’algorithmen
o3n’affichequelestermesv0,v1,...,vn−1et n’affiche
pas vn.L’algorithmen
o3neconvientpasnonplus.C’estnéanmoinsl’algorithmeleplus proche de ce que l’on veut.
D’ailleurs dans la question suivante, quand n=10,onadixvaleursàl’affichagec’est-à-direv0,v1, ..., v9et pas v10.
Un algorithme répondant à la question serait
Algorithme No3bis
Variable s :
vest un réel
iet nsont des entiers naturels
Début de l’algorithme :
Lire n
vprend la valeur 1
Pour ivariant de 1ànfaire
Afficher v
vprend la valeur 9
6−v
Fin pour
Afficher v
Fin algorithme
2) Il semblerait que la suite (vn)n∈Nsoit strictement croissante et converge vers un réel proche de 3.
3) a) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n,0<v
n<3.
•v0=1et 0<1<3.Donc0<v
0<3.L’encadrementàdémontrerestvraiquandn=0.
•Soit n!0.Supposonsque0<v
n<3et montrons que 0<v n+1<3.
0<v
n<3⇒−3<−vn<0⇒3<6−vn<6
⇒1
6<1 6−vn
<1
3(par stricte décroissance de la fonction inverse sur ]0, +∞[)
⇒9
6<9 6−vn
<9
3
⇒0<v
n+1<3.
On a montré par récurrence que
pour tout entier naturel n,0<v
n<3.
b) Soit nun entier naturel.
vn+1−vn=9
6−vn
−vn=9−vn(6−vn)
6−vn
=v2
n−6vn+9
6−vn
=(vn−3)2
6−vn
.
Pour tout entier naturel n,vn+1−vn=(vn−3)2
6−vn
.
Soit nun entier naturel. D’après la question vn<3et en particulier, 6−vn>0et aussi (vn−3)2>0.
On en déduit que pour tout entier naturel n,onavn+1−vn>0et donc
la suite (vn)est strictement croissante.
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c) La suite (vn)est croissante d’après la question 3)b) et majorée par 3d’après la question 3)a).
On en déduit que la suite (vn)converge.
La suite (vn)est convergente.
Partie B. Recherche de la limite de la suite (vn)
1) Puisque pour tout entier naturel n,onavn̸=3,lasuite(wn)n∈Nest bien définie.
Soit nun entier naturel.
wn+1=1
vn+1−3=1
9
6−vn
−3
=1
!9−3(6−vn)
6−vn"=1
!3vn−9
6−vn"=6−vn
3(vn−3),
puis
wn+1−wn=6−vn
3(vn−3)−1 vn−3=6−vn−3 3(vn−3)=−(vn−3) 3(vn−3)=−
1
3.
Donc, pour tout entier naturel n,wn+1−wn=−
1
3et on en déduit que
la suite (wn)est arithmétique de raison r=−
1
3.
2) Déjà, w0=1
v0−3=1 1−3=−
1
2.Maisalors,pourtoutentiernatureln,
wn=w0+nr =−
1
2−n 3=−
2n +3
6,
puis
vn=3+1
wn
=3−6
2n +3
Pour tout entier naturel n,vn=3−6
2n +3.
3) lim
n→+∞
(2n +3)=+∞puis en prenant l’inverse, lim
n→+∞
1
2n +3=0et donc
lim
n→+∞
vn=3−6×0=3.
lim
n→+∞
vn=3.
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