Couple de variables aléatoires réelles discrètes

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Couple de variables aléatoires réelles discrètes
Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Couple de variables aléatoires réelles discrètes
Soient ,A,Pun espace probabilisé et X,Yun couple de variables aléatoires réelles définies sur
,A,P. Le couple X,Yest discret si et seulement si Xet Ysont deux variables aléatoires réelles discrètes ;
on dira que X,Yun couple de v.a.r. discrètes.
1-Loi conjointe.Lois marginales.
Soit X,Yun couple de v.a.r. discrètes.
Les lois de probabilité de Xet de Ysont la donnée de :
-XXxi,iI, avec Iet YYyj,jJ, avec J;
- pour tous iI,jJ,piPXxiet pjPYyj.
La loi de probabilité de X,Yest la donnée de :
-X,Y XYxi,yj,iI,jJ;
- pour tous iI,jJ,pi,jPX,Yxi,yj PXxiYyj.
Il est possible que certains couples xi,yjsoient de probabilité nulle (valeurs de Xet Yincompatibles).
Définitions.
iL’application PX,Y:XY0,1
xi,yjpi,jest appelée loi conjointe du couple X,Y.
iiLes applications PX:X0,1
xipi
et PY:Y0,1
yjpjsont appelées lois marginales de
X,Y. Ce sont les lois de probabilité PXet PYde Xet Y.
Proposition.
Avec les notations précédentes, on a :
ipour tout iI,pi
jJpi,j.iipour tout jJ,pj iIpi,j.iii iI jJpi,j1.
Preuve.
iPour tout iI,XxiXxi  XxijJ
Yyj
jJ
XxiYyj,
réunion d’éléments deux à deux disjoints,
donc piPXxi
jJPXxiYyj  jJpi,j.
iiLa démonstration est analogue à celle du i.
iiiComme
iIpi iIPXxi1, on a iI jJpi,j1.
Ainsi, la loi conjointe du couple X,Ydétermine complètement chacune des lois marginales. Nous verrons
plus loin que la réciproque n’est pas vraie.
Proposition.
Avec les notations précédentes, pour toutes parties Aet Bde , on a :
PXAYB 
x
i
A
y
j
BPXxiYyj 
x
i
A
y
j
Bpi,j.
Stéphane Ducay 1

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Couple de variables aléatoires réelles discrètes
Représentation de la loi conjointe et des lois marginales.
X\Y y1yjloi de X
x1p1,1 p1,jp1PXx1
xipi,1 pi,jpiPXxi
loi de Y p1PYy1pjPYyj1
Exemple.
Une urne contient 3 boules blanches et 4 boules noires. On tire deux boules de l’urne.
Soit Xla variable aléatoire égale à 1 si la première boule est blanche, à 0 sinon.
Soit Yla variable aléatoire égale à 1 si la deuxième boule est blanche, à 0 sinon.
Déterminons la loi conjointe du couple X,Yet ses lois marginales.
On distingue les deux types de tirage avec ou sans remise.
tirages avec remise tirages sans remise
X\Y0 1 loi de X
016
49 12 49 4
7
112
49 9 49 3
7
loi de Y4
73 71
X\Y0 1 loi de X
02
72 74 7
12
71 73 7
loi de Y4
73 71
On constate que les lois marginales sont identiques dans les deux cas, alors que les lois conjointes sont
différentes. Cela illustre bien le fait que la donnée des seules lois marginales ne suffit pas pour obtenir la loi
conjointe.
2-Lois conditionnelles.
Définitions.
iLoi de X conditionnelle à Yyj, avec pjPYyj0.
C’est l’application PX
Yy
j
:X0,1
xiP X xi/Yyjpi,j
pj
.
iiLoi de Y conditionnelle à Xxi, avec piPXxi0.
C’est l’application PY
Xx
i
:Y0,1
yjP Y yj/Xxipi,j
pi
.
Remarque.
Ces applications sont bien des probabilités. En effet, par exemple,
iIP X xi/Yyj iI
pi,j
pj1 pj
iIpi,j1
pjpj1.
Reprenons l’exemple précédent.
Dans le cas des tirages avec remise, le conditionnement de Xpar n’importe quelle valeur de Yne modifie
pas la loi de X. On dira que Xet Ysont indépendantes en probabilité.
Dans le cas des tirages sans remise, le conditionnement de Xpar une valeur de Ymodifie la loi de X. On
dira que Xet Ysont liés en probabilité.
Stéphane Ducay 2

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Couple de variables aléatoires réelles discrètes
tirages avec remise tirages sans remise
X/Y0 0 1
loi PX
Y04
73 7
X/Y1 0 1
loi PX
Y14
73 7
Y/X0 0 1
loi PY
X04
73 7
Y/X1 0 1
loi PY
X14
73 7
X/Y0 0 1
loi PX
Y01
21 2
X/Y1 0 1
loi PX
Y12
31 3
Y/X0 0 1
loi PY
X01
21 2
Y/X1 0 1
loi PY
X12
31 3
Proposition.
Xet Ysont indépendantes si et seulement si pour tous iI,jJ,
PXxiYyj PXxiPYyj, i.e. pi,jpipj.
Preuve.
Appliquant la définition d’indépendance de 2 v.a.r. (donnée dans le chapitre 4) avec Axiet Byj,
on obtient pi,jpipjpour tous iI,jJ.
Réciproquement, si pour tous iI,jJ,pi,jpipj, alors pour tous ABet BB, on a
PXAYB 
x
i
,y
j
ABPXxiYyj  x
i
,y
j
ABPXxiPYyj
x
i
APXxi
y
j
BPYyjPXAPYB, i.e. Xet Ysont indépendantes.
Cela signifie aussi que P X xi/Yyjpi,j
pjpiPXxi.
Proposition.
Si Xet Ysont deux v.a.r. discrètes indépendantes, et si fet gsont deux fonctions numériques dont les
domaines de définition contiennent respectivement Xet Y, alors les v.a.r. discrètes fXet gYsont
indépendantes.
3-Linéarité de l’espérance mathématique.
Proposition.
Si Xet Ysont deux v.a.r. discrètes admettant une espérance mathématique, alors XYadmet une
espérance mathématique donnée par EXYEXEY.
Preuve.
EX
iIxipi iIxi jJpij 
i,jIJxipi,jet EY
jJyjpj
i,jIJyjpi,j,
donc EXEY
i,jIJxiyjpi,j.
Posons ZXYet Kzi,jIJ/xiyjzpour tout zZ Z.
La famille Kz,zZest une partition de IJdonc
EXEY
z
Z
i,jK
z
xiyjpi,j
z
Z
z
i,jK
z
pi,j
z
Z
zPZzEZ
et ainsi EXEYEZEXY.
(Dans le cas où IJest infini, i.e. XYest infini, il faut justifier l’existence de EZ, i.e. la
convergence de
z
Z
|z|PZz. Il suffit de ”remonter” le calcul précédent en utilisant l’inégalité triangulaire
et l’existence de EXet EY.)
Stéphane Ducay 3

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Couple de variables aléatoires réelles discrètes
Corollaire.
Soient Xet Ydeux v.a.r. discrètes définies sur un même espace probabilisé ,A,P, admettant une
espérance mathématique. Soit un réel. Alors XYet Xadmettent une espérance mathématique et on a
EXYEXEYet EXEX.
Ainsi, l’espérance mathématique est une forme linéaire sur l’espace vectoriel des v.a.r. discrètes définies
sur ,A,Pet admettant une espérance mathématique.
Proposition.
Si Xet Yadmettent une espérance mathématique EXet EY, et si XY, alors EXEY.
Réciproquement, si Yadmet une espérance mathématique EYet si |X||Y|, alors Xadmet une espérance
mathématique.
Preuve.
Pour le premier résultat, il suffit de considérer la v.a. positive ZYX, puis d’utiliser la linéarité de
l’espérance mathématique. Le deuxième résultat, un peu technique, est admis.
4-Covariance de deux v.a.r.discrètes.
Il s’agit se quantifier le lien en probabilité des composantes Xet Ydu couple X,Y.
Proposition.
Si Xet Ysont deux v.a.r. discrètes admettant une espérance mathématique et un moment d’ordre 2 (i.e.
EX2et EY2existent), alors XY admet une espérance mathématique donnée par EXY
i,jIJxiyjpi,j.
Preuve.
Un raisonnement analogue à celui de la preuve précédente donne la formule en cas d’existence de EXY.
Montrons que cette série est absolument convergente.
De |xi||yj|20 on déduit l’inégalité |xiyj|xi
2yj 2
2;
Par hypothèse, EX2
iIxi
2pi
i,jIJxi
2pi,jet EY2
jJyj
2pj
i,jIJyj
2pi,j.
On en déduit que
i,jIJ|xiyj|pi,j i,jIJ
xi
2yj 2
2pi,jEX2EY2 2.
Corollaire.
Si Xet Ysont 2 v.a.r. discrètes admettant un moment d’ordre 2, alors XYadmet un moment d’ordre 2.
Preuve.
Il suffit de remarquer que XY2X2Y22XY et d’utiliser la linéarité de l’espérance mathématique.
Définition.
Soient Xet Ydeux v.a.r. discrètes admettant un moment d’ordre 2. On appelle covariance de X et Y le réel
CovX,YEXEXYEY.
Proposition.
iCovX,YEXYEXEY.iiVarXYVarXVarY2CovX,Y.
Preuve.
iDe la linéarité de l’espérance mathématique on déduit
CovX,YEXY YEXXEYEXEY
EXYEXEYEYEXEXEYEXYEXEY.
iiPar définition, VarXYEXYEXY2. De plus,
XYEXY2XEXYEY2
XEX2YEY22XEXYEY, d’où le résultat.
Stéphane Ducay 4

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Couple de variables aléatoires réelles discrètes
Remarque.
Pour toutes v.a.r. discrètes X,Xet Yadmettant un moment d’ordre 2, pour tous réels et , on a :
CovXX,YCovX,YCovX,Y
CovX,YCovY,X
CovX,XEX2EX2VarX.
La covariance est donc une forme bilinéaire symétrique sur l’espace vectoriel des v.a.r. discrètes admettant
un moment d’ordre 2 ; sa forme quadratique associée est la variance, qui est positive mais non nécessairement
définie (VarX0 équivaut à Xconstante).
Il en résulte, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, que :
|CovX,Y|VarXVarYXY.
Définition.
On appelle coefficient de corrélation linéaire de X et Y le réel X,YCovX,Y
XY.
De l’inégalité de Cauchy-Schwarz on déduit que 1X,Y1. De plus, si |X,Y|1, il existe un réel 
tel que VarXY0, et donc un réel atel que PXYa1 ; ainsi, Yest une fonction affine de X.
Réciproquement, on peut vérifier que si Yest une fonction affine de X, alors |X,Y|1.
Proposition.
Soient Xet Ydeux v.a.r. discrètes indépendantes admettant un moment d’ordre 2. Alors
iEXYEXEY, i.e. CovX,Y0.
iiVarXYVarXVarY.
Preuve.
iEXY
i,jIJxiyjpi,j i,jIJxiyjpipj
iIxipi jJyjpjEXEY,
et donc CovX,YEXYEXEY0.
iiVarXYVarXVarY2CovX,YVarXVarY.
Ainsi, si Xet Ysont indépendantes, alors CovX,Y0. Mais la réciproque est fausse.
Exemple.
Soit Xla v.a.r. à valeurs dans 1,0,1telle que PX1PX11
4et PX01 2, et soit
YX2. On a EXYEX3EX11
401 211 40, et donc EXYEXEY0 et
CovX,Y0.
Mais PX0Y1 P0 et PX0PY11
21 21 4, donc Xet Yne sont pas
indépendantes.
Proposition.
Soient X1,X2, ..., Xndes variables aléatoires réelles discrètes admettant un moment d’ordre 2.
iVar
i1
nXi
i1
nVarXi2
1ijnCovXi,Xj.
iiSi X1,X2, ..., Xnsont indépendantes, alors Var
i1
nXi
i1
nVarXi.
5-Somme de deux v.a.r.discrètes indépendantes.
Lorsque Xet Ysont deux v.a.r. discrètes indépendantes, la loi de probabilité de XYpeut se calculer à
partir des lois de Xet Y. Sans l’hypothèse d’indépendance, on doit utiliser la loi conjointe de X,Y.
Stéphane Ducay 5