L3 - 2012/2013 - TD 2 Mercredi 26 septembre Mathématiques Discrètes Exercice 1 - Nombres de surjections d’un ensemble à n éléments sur un ensemble à k éléments. On se propose d’établir une formule exprimant le nombre de surjections, noté s(n, k), d’un ensemble à n éléments sur un ensemble à k éléments. 1.1 Quel est le cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble à n éléments dans un ensemble à k éléments ? 1.2 Justifier que s(n, k) = 0 lorsque k > n. Que vaut s(n, n) ? 1.3 Démontrer que : s(n, k) = k X (−1)j j=0 k (k − j)n . j On pourra utiliser la formule du crible en considérant Ei ,1 6 i 6 k, où Ei est l’ensemble des applications de {1, ..., n} dans {1, ..., k} n’atteignant pas i. Exercice 2 - Indépendance de variables discrètes Soient X1 , ..., Xn des variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, T , P ), à valeurs respectivement dans des espaces probabilisables (Ω1 , T1 ),..., (Ωn , Tn ). Ces variables sont indépendantes si pour tout (E1 , E2 , ..., En ) dans T1 × T2 · · · Tn , on a : P (∩ni=1 (Xi ∈ Ei )) = n Y P (Xi ∈ Ei ). i=1 Dans le cas où les variables sont discrètes et chaque tribu Ti contient tous les singletons, démontrer que les variables X1 , ..., Xn sont indépendantes si et seulement si pour tout (x1 , ..., xn ) dans Ω1 × Ω2 · · · Ωn , P (∩ni=1 (Xi = xi )) = Qn i=1 P (Xi = xi ). Exercice 3 - Indépendance Soit U et V deux variables aléatoires indépendantes sur un même espace de probabilités à valeurs dans {−1, 1} et de mêmes lois définies par: P(U = −1) = 1 2 et P(U = 1) = 3 3 Soient X et Y les variables aléatoires définies par: X = U et Y = U V 3.1 Quelle est la loi de la variable aléatoire (X, Y )? Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 3.2 Les variables X 2 et Y 2 sont-elles indépendantes? Exercice 4 - Min, Max et comparaison Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace de probabilité de même loi géométrique de paramètre p. B. Barbot 1 E.N.S. de Cachan L3 - 2012/2013 - TD 2 Mercredi 26 septembre Mathématiques Discrètes 4.1 Calculer P(Y ≥ X) en particulier pour p = 12 . 4.2 Calculer P(Y = X) en particulier pour p = 12 . 4.3 Montrer que P(Y > X) = P(X > Y ) On définit les variables aléatoires U et V par U = max(X, Y ) et V = min(X, Y ) 4.4 Pour tous (u, v) ∈ N Calculer P(U ≤ u, V ≥ v) 4.5 Calculer les lois des variables aléatoires U et V . Exercice 5 - Rumeur Une information est transmise dans une population. Chaque individu transmet la bonne information avec probabilité p, la négation de l’information est transmise avec probabilité 1 − p. Soit pn la probabilité que l’information soit correcte après n répétitions. 5.1 Calculer la valeur pn en fonction de p et de n. 5.2 Calculer limn→∞ pn . Conclure. Exercice 6 - Lois 6.1 Préliminaires : La formule de VanderMonde. En développant l’expression (X + Y )m (X + Y )n = (X + Y )m+n à l’aide de la formule du binôme de Newton, démontrer, pour tous entiers naturels k, m, n (k ≤ m + n) l’égalité : k X m n n+m = . j k−j k j=0 Retrouver cette égalité par des considérations ensemblistes (partitionnez l’ensemble {1, 2, ..., n + m} par {1, 2, ..., n} et {n + 1, ..., n + m}). 6.2 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois binomiales de second paramètre p. Donner la loi de probabilité de X + Y . 6.3 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives de Poisson de paramètres λ et µ. Donner la loi de probabilité de X + Y . Exercice 7 - Loi binomiale négative de paramètres n et p On joue à pile (obtenu avec probabilité p) ou face (obtenu avec probabilité q = 1 − p) jusqu‘à avoir obtenu n fois Pile. On considère la variable aléatoire X qui compte le nombre de jets nécessaires. 7.1 Déterminer la loi de X. 7.2 En déduire l’identité X k − 1 k>n n−1 pn q k−n = 1. On retrouve ainsi un cas particulier de la formule du binôme généralisée. B. Barbot 2 E.N.S. de Cachan