L3 - 2012/2013 - TD 2 Mercredi 26 septembre Mathématiques

L3 - 2012/2013 - TD 2 Mercredi 26 septembre Mathématiques Discrètes
Exercice 1 -Nombres de surjections d’un ensemble à néléments sur
un ensemble à kéléments.
On se propose d’établir une formule exprimant le nombre de surjections,
noté s(n, k), d’un ensemble à néléments sur un ensemble à kéléments.
1.1 Quel est le cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble à nélé-
ments dans un ensemble à kéléments ?
1.2 Justifier que s(n, k) = 0 lorsque k > n. Que vaut s(n, n)?
1.3 Démontrer que :
s(n, k) =
k
X
j=0
(−1)jk
j(k−j)n.
On pourra utiliser la formule du crible en considérant Ei,16i6k, où Eiest
l’ensemble des applications de {1, ..., n}dans {1, ..., k}n’atteignant pas i.
Exercice 2 -Indépendance de variables discrètes
Soient X1, ..., Xndes variables aléatoires définies sur un espace probabilisé
(Ω,T, P ), à valeurs respectivement dans des espaces probabilisables (Ω1,T1),...,
(Ωn,Tn). Ces variables sont indépendantes si pour tout (E1, E2, ..., En)dans
T1× T2· · · Tn, on a :
P(∩n
i=1(Xi∈Ei)) =
n
Y
i=1
P(Xi∈Ei).
Dans le cas où les variables sont discrètes et chaque tribu Ticontient tous
les singletons, démontrer que les variables X1, ..., Xnsont indépendantes si et
seulement si pour tout (x1, ..., xn)dans Ω1×Ω2· · · Ωn,P(∩n
i=1(Xi=xi)) =
Qn
i=1 P(Xi=xi).
Exercice 3 -Indépendance
Soit Uet Vdeux variables aléatoires indépendantes sur un même espace de
probabilités à valeurs dans {−1,1}et de mêmes lois définies par:
P(U=−1) = 1
3et P(U= 1) = 2 3
Soient Xet Yles variables aléatoires définies par: X=Uet Y=UV
3.1 Quelle est la loi de la variable aléatoire (X, Y )? Les variables Xet Y
sont-elles indépendantes?
3.2 Les variables X2et Y2sont-elles indépendantes?
Exercice 4 -Min, Max et comparaison
Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes définies sur le même
espace de probabilité de même loi géométrique de paramètre p.
B. Barbot 1 E.N.S. de Cachan

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4.1 Calculer P(Y≥X)en particulier pour p=1
2.
4.2 Calculer P(Y=X)en particulier pour p=1
2.
4.3 Montrer que P(Y > X) = P(X > Y )
On définit les variables aléatoires Uet Vpar
U= max(X, Y )et V= min(X, Y )
4.4 Pour tous (u, v)∈NCalculer P(U≤u, V ≥v)
4.5 Calculer les lois des variables aléatoires Uet V.
Exercice 5 -Rumeur
Une information est transmise dans une population. Chaque individu trans-
met la bonne information avec probabilité p, la négation de l’information est
transmise avec probabilité 1−p. Soit pnla probabilité que l’information soit
correcte après nrépétitions.
5.1 Calculer la valeur pnen fonction de pet de n.
5.2 Calculer limn→∞ pn. Conclure.
Exercice 6 -Lois
6.1 Préliminaires : La formule de VanderMonde. En développant l’expression
(X+Y)m(X+Y)n= (X+Y)m+nà l’aide de la formule du binôme de Newton,
démontrer, pour tous entiers naturels k, m, n (k≤m+n) l’égalité :
k
X
j=0 m
j n k−j=n+m k.
Retrouver cette égalité par des considérations ensemblistes (partitionnez l’ensemble
{1,2, ..., n +m}par {1,2, ..., n}et {n+ 1, ..., n +m}).
6.2 Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes de lois binomiales
de second paramètre p. Donner la loi de probabilité de X+Y.
6.3 Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes de lois respectives
de Poisson de paramètres λet µ.
Donner la loi de probabilité de X+Y.
Exercice 7 -Loi binomiale négative de paramètres net p
On joue à pile (obtenu avec probabilité p) ou face (obtenu avec probabilité
q= 1 −p) jusqu‘à avoir obtenu nfois Pile. On considère la variable aléatoire X
qui compte le nombre de jets nécessaires.
7.1 Déterminer la loi de X.
7.2 En déduire l’identité
X
k>nk−1
n−1pnqk−n= 1.
On retrouve ainsi un cas particulier de la formule du binôme généralisée.
B. Barbot 2 E.N.S. de Cachan