Cours et exercices - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

S4 Maths 2011-2012 Probabilités 1 Couple de variables aléatoires réelles à densité
Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques -Semestre 4
Probabilités 1
Couples de variables aléatoires réelles à densité
1-Généralités.
Soient ,A,Pun espace probabilisé et X,Yun couple de variables aléatoires réelles (v.a.r.) définies
sur ,A,P. Nous avons déjà étudié le cas de deux v.a.r. discrètes ; nous nous intéressons maintenant au cas
de deux v.a.r. à densité.
On rappelle que la fonction de répartition du couple X,Yest la fonction FX,Ydéfinie par :
FX,Y:20,1
x,yPXxYy
et que pour tout réel a, lim
yFX,Ya,yFXaet lim xFX,Yx,aFYa.
Dans tout ce qui suit, les fonctions de deux variables considérées sont supposées continues et bornées sur
2, sauf éventuellement sur un nombre fini de droites ou d’arcs de courbes définis par des fonctions à dérivées
bornées. Les domaines considérés sont soit 2, soit une partie de 2limitée par des courbes continues.
2-Loi conjointe.Lois marginales.
Soit X,Yun couple de v.a.r. Définir la loi conjointe de X,Y, c’est se donner sa fonction de répartition
FX,Y, ou une densité de probabilité fX,Y, fonction de 2dans vérifiant la relation
FX,Yx,y
x yfX,Yu,vdudv
Une densité de probabilité sur 2est une fonction positive vérifiant
fX,Yx,ydxdy 1.
Proposition.
Pour tout domaine Dde 2, on a PX,YD
DfX,Yx,ydxdy.
Pour tous réels abet cd,
PaXbcYd FX,Yb,dFX,Yb,c FX,Ya,dFX,Ya,c.
Proposition.
Soit X,Yun couple de v.a.r. de densité de probabilité fX,Y. Alors Xet Ysont des v.a.r. à densité, de
densités de probabilité respectives définies par
fXx
fX,Yx,ydy et fYy fX,Yx,ydx.
Les densités fXet fYsont appelées densités marginales de Xet Y.
Preuve.
On a FXxPXxPX,Y,x
x fX,Yu,ydy du, ce qui prouve que la
fonction x
fX,Yx,ydy est une densité de probabilité de X.
On procède de même pour Y.
Stéphane Ducay 1

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3-Lois conditionnelles.
Soit X,Yun couple de v.a.r. de densité de probabilité fX,Y, de densités marginales fXet fY.
Définir la loi de probabilité de Xconditionnelle à Yyreviendrait à calculer P X x/Yy, ce qui
n’aurait pas de sens puisque PYy0. Cherchons la limite de P X x/yhYyhlorsque h
tend vers 0. On a
P X x/yhYyhPXxyhYyh
PyhYyh
yh
yh xfX,Yu,vdu dv
yh
yhfYvdv
1
2h
yh
yh xfX,Yu,vdu dv
1
2h
yh
yhfYvdv .
Si fYest continue en y, alors lim
h0
1
2h
yh
yhfYvdv fYy. Si v xfX,Yu,vdu est continue en y, alors
lim
h0
1
2h
yh
yh xfX,Yu,vdu dv  xfX,Yu,ydu.
Supposons de plus que fYy0. On peut alors définir P X x/Yypar
lim
h0
P X x/yhYyh
xfX,Yu,ydu
fYy
xfX
Yyudu .
La fonction fX
Yy:xfX,Yx,y
fYyest bien une densité de probabilité sur car
fX
Yyxdx 
fX,Yx,ydx
fYyfYy fYy1 ; les propriétés de continuité de fX,Yassurent par ailleurs que
fX
Yyest continue sur sauf éventuellement en un nombre fini de points.
Définitions.
Si fXx0 et fYy0, alors les fonctions
fX
Yy:xfX,Yx,y
fYyet fY
Xx:yfX,Yx,y
fXx
sont des densités de probabilité sur définissant respectivement la loi de Xconditionnelle à Yyet la loi de
Yconditionnelle à Xx. Elles permettent de définir les fonctions de répartition conditionnelles par
FX
YyxP X x/Yy
xfX
Yyudu
et FY
XxyP Y y/Xx
yfY
Xxvdv.
Remarque.
La densité conditionnelle fX
Yya été définie pour des valeurs ytelles que fYy0. Lorsque fYy0, alors
fX,Yx,y0 pour tout réel x; on pose alors fX
Yyx0. De cette façon, pour tous réels xet y, on a
fX,Yx,yfX
YyxfYy.
De même, on a fX,Yx,yfXxfY
Xxx, en posant fY Xxy0 lorsque fXx0.
4-Indépendance de deux v.a.r.à densité.
On a déjà vu que deux v.a.r. Xet Ysont indépendantes si et seulement si pour tous réels xet y, on a
FX,Yx,yPXxYy PXxPYyFXxFYy.
Proposition.
Soient Xet Ydeux v.a.r. à densité. Xet Ysont indépendantes si et seulement si le couple X,Yadmet pour
densité la fonction fX,Ydéfinie pour tous réels xet ypar
fX,Yx,yfXxfYy.
Stéphane Ducay 2

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Preuve.
Xet Ysont indépendantes si et seulement si
FX,Yx,yFXxFYy
xfXudu yfYvdv  x yfXufYvdv du, ce qui signifie
(par définition) que le couple X,Yadmet pour densité la fonction définie par fX,Yx,yfXxfYy.
Remarques.
a) Si Xet Ysont indépendantes, les lois conditionnelles sont égales aux lois marginales :
fX
YyfXsi fYy0 et fY
XxfYsi fXx0.
b) Si un couple X,Yadmet une densité de la forme fX,Yx,ygxhy, alors Xet Ysont
indépendantes, de densités de probabilité respectives fXget fYhà une constante multiplicative près.
5-Somme de deux v.a.r.à densité indépendantes.
Soit X,Yun couple de v.a.r. de densité de probabilité fX,Y, de densités marginales fXet fY.
Posons ZXY. La fonction de répartition de Zest définie par :
FZzPZz
D
z
fX,Yx,ydxdy, avec Dzx,y2/xyz,
zxfX,Yx,ydy dx  zfX,Yx,txdt dx  z fX,Yx,txdx dt.
On peut intervertir le rôle de Xet Y.
Proposition.
La somme XYadmet pour densité de probabilité la fonction fZdéfinie par
fZz
fX,Yx,zxdx  fX,Yzy,ydy.
Proposition.
Si Xet Ysont indépendantes, alors la somme XYadmet pour densité de probabilité la fonction fZdéfinie
par
fZz
fXxfYzxdx  fXzyfYydy.
De façon analogue au cas discret, on dit que fZfXYest le produit de convolution de Xet de Yet on note
fXYfXfYfYfX.
Exemple.Somme de deux v.a.r.indépendantes Uniformes sur 0,1.
Soient Xet Ydeux v.a.r. indépendantes de lois Uniformes sur 0,1. On a :
fXx1 si x0,1
0 si x0,1et fYy1 si y0,1 0 si y0,1.
Pour tout z,fXYz
fXxfYzxdx 
0
1fYzxdx 
z
z1fYudu
z1
zfYudu,
d’où fXYz
0 si z,0
zsi z0,1
2zsi z1,2
0 si z2,
-2 -1 0 1 2 3 4
0.5
1.0
z
f(z)
Proposition.
1) Si Xet Ysont deux v.a.r. indépendantes de lois Normales N1;1et N2;2, alors XYsuit la loi
N12;1
22 2.
2) Si Xet Ysont deux v.a.r. indépendantes de lois de Chi-deux 2p1et 2p2, alors XYsuit la loi de
Chi-deux 2p1p2.
3) Si Xet Ysont deux v.a.r. indépendantes de lois Gamma Ga,p1et Ga,p2, alors XYsuit la loi
Gamma Ga,p1p2.
Stéphane Ducay 3

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On peut généraliser les résultats de ce paragraphe à la somme de nvariables aléatoires indépendantes. On
a en particulier les résultats suivants.
Proposition.
1) Si X1,X2, ..., Xnsont des v.a.r. indépendantes de lois Normales N1;1,N2;2, ..., Nn;n,
alors X1X2Xnsuit la loi N12n;1
22 2n
2.
2) Si X1,X2, ..., Xnsont des v.a.r. indépendantes de lois de Chi-deux 2p1,2p2, ..., 2pn, alors
X1X2Xnsuit la loi de Chi-deux 2p1p2pn.
3) Si Xet Ysont deux v.a.r. indépendantes de lois Gamma Ga,p1,Ga,p2, ..., Ga,pn, alors
X1X2Xnsuit la loi Gamma Ga,p1p2pn.
6-Linéarité de l’espérance mathématique.
On a pu noter une analogie entre les formules définissant l’espérance mathématique de v;a.r. discrètes et à
densité. En gros, on remplace les séries par des intégrales, et les probabilités ponctuelles PXxpar des
probabilités infinitésimales fxdx.
Cette analogie s’explique par l’existence d’une théorie de l’intégration qui unifie ces deux cas. Cette
théorie n’est pas au programme de ce cours. Elle est cependant indispensable si l’on veut établir correctement
une propriété aussi naturelle que la linéarité de l’espérance mathématique.
En effet, il est facile de trouver des exemples de v.a.r. Xet Yadmettant des densités et une espérance
mathématique, et telles que XYn’est pas de densité (par exemple, Xde loi Uniforme sur 0,1,Y1X).
On admettra lors le résultat plus général suivant.
Proposition.
Soient Xet Ydeux v.a.r. définies sur un même espace probabilisé ,A,P, admettant une espérance
mathématique. Soit un réel. Alors XYet Xadmettent une espérance mathématique et on a
EXYEXEYet EXEX.
Ainsi, l’espérance mathématique est une forme linéaire sur l’espace vectoriel des v.a.r. définies sur
,A,Pet admettant une espérance mathématique.
7-Covariance de deux v.a.r.à densité.
Les résultats (et leur preuve) sont analogues à ceux du cas de v.a.r. discrètes.
Proposition.
Si Xet Ysont deux v.a.r. à densité admettant une espérance mathématique, alors XYadmet une
espérance mathématique donnée par EXYEXEY.
Proposition.
Si Xet Ysont deux v.a.r. à densité admettant une espérance mathématique et un moment d’ordre 2 (i.e.
EX2et EY2existent), alors XY admet une espérance mathématique donnée par
EXY
2
xyfX,Yx,ydxdy.
Corollaire.
Si Xet Ysont deux v.a.r. à densité admettant un moment d’ordre 2, alors XYadmet un moment d’ordre
2.
Définition.
Soient Xet Ydeux v.a.r. à densité admettant un moment d’ordre 2. On appelle covariance de X et Y le réel
CovX,YEXEXYEY.
Stéphane Ducay 4

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Proposition.
iCovX,YEXYEXEY.
iiVarXYVarXVarY2CovX,Y.
Remarque.
Pour toutes v.a.r. à densité X,Xet Yadmettant un moment d’ordre 2, pour tous réels et , on a :
CovXX,YCovX,YCovX,Y
CovX,YCovY,X
CovX,XEX2EX2VarX.
La covariance est donc une forme bilinéaire symétrique sur l’espace vectoriel des v.a.r. admettant un
moment d’ordre 2 ; sa forme quadratique associée est la variance.
Il en résulte, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, que :
|CovX,Y|VarXVarYXY.
Définition.
On appelle coefficient de corrélation linéaire de X et Y le réel X,YCovX,Y
XY.
De l’inégalité de Cauchy-Schwarz on déduit que 1X,Y1. De plus, si |X,Y|1, il existe un réel 
tel que VarXY0, et donc un réel atel que PXYa1.
Proposition.
Soient Xet Ydeux v.a.r. à densité indépendantes admettant un moment d’ordre 2. Alors
iEXYEXEY, i.e. CovX,Y0.
iiVarXYVarXVarY.
Ainsi, si Xet Ysont indépendantes, alors CovX,Y0. Mais la réciproque est fausse.
8-Exercices.
Exercice 1.
Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes de même loi Exponentielle de paramètre 0.
Déterminer la densité de probabilité de la variable aléatoire ZXY.
Exercice 2.
Considérons l’expérience qui consiste à choisir au hasard un nombre Xdans 0,1puis
un nombre Ydans 0,X.
1) Quelle est la loi de probabilité de X? de Yconditionnelle à Xx?
2) En déduire la densité de probabilité du couple X,Y, puis celle de Y.
Exercice 3.
Soit X,Yun couple de variables aléatoires de densité de probabilité fX,Ydéfinie par
fX,Yx,y1
2e
x2
2
xyy
2
pour tout couple x,yde 2.
1) Vérifier que fX,Yest bien une densité de probabilité.
2) Déterminer les lois de probabilité marginales de Xet Y. Reconnaitre des lois usuelles.
3) Les variables aléatoires Xet Ysont-elles indépendantes ?
4) Déterminer la loi de Yconditionnelle à Xx.
Stéphane Ducay 5