Terminale S Devoir à la maison n°6 : corrigé

Terminale S
Devoir à la maison n°6 : corrigé
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Exercice 1 :
→→
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u ; v )
Partie A — Restitution organisée de connaissances
Pré requis l
Soit z un nombre complexe tel que z = a + bi où a et b sont deux nombres réels.
On note z , le nombre complexe défini par z = a - bi
Questions
1. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z' : z × z' = z × z'
On a zz’ = (a + ib)(a’ + ib’) = aa’ + bb’ + i(ba’ + ab’) alors z × z' = aa’ + bb’ - i(ba’ + ab’)
De même z × z' = (a – ib) (a’ – ib’) = aa’ + bb’ - i(ba’ + ab’)
D’où z × z' = z × z'
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul et tout nombre complexe z, zn = z
d’après la question 1,
en posant z’ = z, on a z² = z ²
en posant z’ = z², on a z × z² = z × z² soit z3 = z × z ² = z
n
3
ainsi de proche en proche on montre que pour tout entier naturel n non nul zn = z n
Partie B
On considère l’équation (E) z4 = - 4 où z est un nombre complexe.
1. Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes
– z et z sont aussi solutions de l’équation (E).
on a (-z) 4 = z4 or si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors z4 = - 4 d’où aussi, on
a (-z) 4 = - 4 c'est-à-dire – z est solution de (E)
on sait d’après 1, que pour tout n, zn = z n, comme z4 = - 4 alors on a z4 = - 4 soit z 4 = - 4 or
– 4 est réel donc - 4 = - 4 et par conséquent, z 4 = - 4 ie z est solution de (E)
2. On considère le nombre complexe z0 = l + i
b. Vérifier que z0 est solution de l’équation (E).
si z0 est solution de l’équation (E), alors z04 = - 4.
(1 + i)4 = 1 + 4i + 6i² + 4i3 + i4 = 1 + 4i - 6 - 4i + 1 = - 4 ce qui prouve que 1 + i est solution de (E).
3. Déduire des questions précédentes trois autres solutions de l’équation
D’après le 1, - z0 = - 1 - i et z0 = 1 – i sont aussi solutions et toujours d’après ce qui précède, il est
clair que - z0 = -1 + i est aussi une solution.
Exercice 2 : (spé)
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Soit n un entier naturel non nul ; on considère les entiers suivants : N = 9n + 1 et M = 9n - 1
1. On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2p, avec p entier naturel non nul.
a. Montrer que M et N sont des entiers impairs.
N = 9n + 1 = 18p + 1 = 2 p’ + 1 nombre impair et M = 9n – 1 = 18p - 1 = 2 p’ – 1 nombre impair
b. En remarquant que N = M + 2, déterminer le PGCD de M et N.
N = 9n – 1 + 2 = M + 2, alors PGCD(M,N) = PGCD(M,M+2) = PGCD(2 p’ + 1, 2 p’ – 1) = 1
puisque ces nombres sont impairs.
2. On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2p + 1, avec p entier naturel.
a. Montrer que M et N sont des entiers pairs.
N = 9n + 1 = 18p + 9 + 1 = 18p + 10 = 2(p’ + 1) nombre pair et M = 9n – 1 = 18p – 9 - 1 = 18p – 10
= 2(2 p’ – 1) nombre pair
b. En remarquant que N = M + 2, déterminer le PGCD de M et N.
N = 9n – 1 + 2 = M + 2, alors PGCD(M,N) = PGCD(M,M+2) = PGCD(2(2 p’ + 1), 2(2 p’ – 1)) =
2× PGCD(2 p’ + 1, 2 p’ – 1) = 2.
3. Pour tout entier naturel non nul n, on considère l’entier 81n² - 1
a. Exprimer l’entier 81n² - 1 en fonction des entiers M et N.
81n² - 1 = (9n – 1)(9n + 1) = N×M
b. Démontrer que si n est pair alors 81n² - 1 est impair.
si n est pair alors M et N sont impairs d’après 1a, d’où 81n² - 1 est impair.
C. Démontrer que 81n² - 1 est divisible par 4 si et seulement si n est impair.
si n est impair alors 81n² - 1 = N × M avec N pair et M pair donc N × M est pair et divisible par 4.
Si 81n² - 1 est divisible par 4 alors 81n² - 1 = N×M = 4q donc 4 divise M ou N ou M×N or
PGCD(M,N) = 2 d’après ce qui précède, ce qui signifie que 4 divise M×N et donc Que M et N sont
pairs, ce qui se produit si n est impair.
Exercice 3
.
l
Soit l’équation (E) : = x - 2 où l’inconnue est un réel de l’intervalle ]0 ; +∞[·
x
l
1. Un élève a représenté sur sa calculatrice l’hyperbole d’équati0n y = et la droite d’équation
x
y=x-2
Au vu du graphique ci-dessus obtenu à l’écran de sa calculatrice, combien l’équation (E) semble-telle admettre de solutions sur ]0 ; +∞[ ?
Une seule sur ]0 ; +∞[
l
2. Un second élève considère la fonction g définie sur ]0 ; + ∞[ par : g(x) = x – 2 x
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a. Déterminer les limites de g aux bornes de l’ensemble de définition.
l
l
Comme lim (x - 2) = -2 et lim
= + ∞ alors lim - = - ∞ et par opérations sur les limites,
x
x→0+
x→0+ x
x→0+
lim g(x) = - ∞
x→0+
Comme lim
x→+ oo
lim
x→+ oo
(x – 2) = + ∞ et lim
x→+ oo
l
l
= 0 alors lim - = 0 et par opérations sur les limites,
x
x
x→+ oo
g(x) = + ∞
b. On note g' la fonction dérivée de g. Calculer g'(x).
composée de fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[, g est dérivable sur ]0 ; +∞[
1
g’(x) = 1 +
x²
Montrer que g est strictement croissante sur ]0 ; +∞[·
1
g’(x) = 1 + > 0 sur ]0 ; +∞[, donc g est strictement croissante sur ]0 ; +∞[·
x²
C. En déduire le nombre de solutions de l’équation (E) et en donner, à l’aide de la calculatrice, un
encadrement d'amplitude 10-2
La fonction g étant continue et strictement croissante sur]0 ; +∞[ d’une valeur négative vers une
valeur positive, d’après le théorème de la bijection, il existe une unique valeur α de ]0 ; +∞[ telle
que g(α) = 0
La calculatrice donne : 2,41< α < 2,42
3. Un troisième élève dit : « Je peux résoudre l’équation (E) algébriquement ».
Justifier, en résolvant l’équation (E), que ce troisième élève a raison.
l
= x – 2 (E)
x
Comme sur ]0 ; +∞[, x > 0 d’où (E) devient 1 = x² - 2x soit x² - 2x – 1 = 0
Trinôme du second degré avec a = 1, b = -2 et c = -1
∆ = b² - 4ac = (-2)² - 4 × 1 × (-1) = 8
-b - ∆
-b + ∆
Il y a deux solutions réelles à cette équation, x’ =
et x’’ =
soit encore
2a
2a
2-2 2
x’ =
= 1 - 2 qui ne convient pas car négative et x’’ = 1 + 2 qui convient
2
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