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Suites de nombres r´eels
1 G´en´eralit´es
Une suite num´erique est une application d´efinie sur N(ou une partie de N) `a valeurs dans Rou C.On note u= (un)n∈N
(ou u= (un)n≥n0) une telle suite.
Une suite u= (un)n∈Nest :
– constante si :
∀n∈N, un+1 =un;
– stationnaire (ou plus pr´ecis´ement stationnaire `a partir d’un certain rang) si :
∃p∈N| ∀n≥p, un+1 =un;
– p´eriodique s’il existe un entier p≥1 tel que :
∀n∈N, un+p=un.
Th´eor`eme 1 L’ensemble RNdes suites r´eelles est une alg`ebre commutative sur R.
D´efinition 1 Soit u= (un)n∈Nune suite num´erique. On dit que (vn)n∈Nest une suite extraite (ou une sous suite) de us’il
existe une application ϕ:N→Nstrictement croissante telle que :
∀n∈N, vn=uϕ(n).
D´efinition 2 On dit que la suite r´eelle uest major´ee [resp. minor´ee] s’il existe un r´eel Mtel que :
∀n∈N, un≤M[resp. M≤un]
D´efinition 3 On dit que la suite num´erique uest born´ee s’il existe un r´eel Mtel que :
∀n∈N,|un| ≤ M
2 Suites convergentes ou divergentes
D´efinition 4 On dit qu’une suite num´erique (un)n∈Nest convergente s’il existe un scalaire `tel que :
∀ε > 0,∃n0∈N| ∀n≥n0,|un−`|< ε. (8)
En utilisant l’in´egalit´e triangulaire dans R,on montre facilement que si une suite converge, alors sa limite `est uniquement
d´etermin´ee.
Th´eor`eme 2 Une suite num´erique convergente est born´ee.
Th´eor`eme 3 Soit (un)n∈Nune suite r´eelle telle que lim
n→+∞(un) = `.
1. Si ` > 0[resp. ` < 0] on a alors un>0[resp. un<0] `a partir d’un certain rang.
2. Si unest positif [resp. n´egatif] `a partir d’un certain rang, on a alors `≥0[resp. `≤0].
Th´eor`eme 4 Soient u= (un)n∈N, v = (vn)n∈Net w= (wn)n∈Ntrois suites r´eelles telles que :
∀n∈N, vn≤un≤wn.
Si lim
n→+∞(vn) = `et lim n→+∞(wn) = `, alors lim n→+∞(un) = `.
Exercice 1 Montrer que pour tout r´eel x, la suite r´eelle d´efinie par un=1
n2
n
P
k=1
[kx]o`u [·]est la partie enti`ere, converge
vers x
2.En d´eduire la densit´e de Qdans R.
D´efinition 5 Une suite num´erique non convergente est dite divergente.
Exercice 2 Soit (un)n∈Nune suite `a valeurs dans Z.Montrer que (un)n∈Nconverge si, et seulement si, elle est stationnaire.
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D´efinition 6 Soit (un)n∈Nune suite r´eelle.
On dit que (un)n∈Ntend vers +∞si :
∀M∈R,∃n0∈N| ∀n≥n0, un> M.
On note alors lim
n→+∞un= +∞ou un→ n→+∞+∞.
On dit que (un)n∈Ntend vers −∞ si :
∀m∈R,∃n0∈N| ∀n≥n0, un< m.
On note alors lim
n→+∞un=−∞ ou un→ n→+∞−∞.
Th´eor`eme 5 Si f: [1,+∞[→Rest une fonction telle que la fonction g:x7−→ xf (x)soit minor´ee par un r´eel λ > 0,
alors la suite r´eelle µn
P
k=1
f(k)¶n≥1 est divergente.
3 Valeurs d’adh´erence
D´efinition 7 On dit qu’un r´eel aest valeur d’adh´erence de us’il est limite d’une suite extraite de u.
Th´eor`eme 6 Une suite convergente a une unique valeur d’adh´erence.
Exercice 3 Montrer qu’une suite p´eriodique convergente est n´ecessairement constante.
Exercice 4 Montrer que si uest une suite num´erique telle que (u2n)n∈N,(u2n+1)n∈Net (u3n)n∈Nsont convergentes, alors
uest convergente.
4 Le crit`ere de Cauchy
D´efinition 8 On dit qu’une suite num´erique (un)n∈Nest de Cauchy si :
∀ε > 0,∃n0∈N| ∀n≥n0,∀m≥n0,|un−um|< ε.
Th´eor`eme 7 Une suite r´eelle est convergente si, et seulement si, elle est de Cauchy.
5 Op´erations sur les suites convergentes
Th´eor`eme 8 Soient uet vdeux suites num´eriques telles que lim
n→+∞(un) = `et lim n→+∞(vn) = `0.
1. Les suites u+vet u·vsont convergentes vers respectivement `+`0et `·`0.
2. Dans le cas r´eel, les suites min {u, v}= (min {un, vn})n∈Net max {u, v}= (max {un, vn})n∈Nsont convergentes vers
respectivement min {`, `0}et max {`, `0}.
3. Si `06= 0,il existe alors un entier n0tel que la suite u
v=µun vn¶n≥n0
soit d´efinie et cette suite converge vers `
`0.
4. Dans le cas r´eel, si ` > 0,il existe un entier n0tel que un>0pour tout n≥n0et la suite √u=¡√un¢n≥n0converge
vers √`.
Th´eor`eme 9 Soient uet vdeux suites r´eelles telles que lim
n→+∞(un) = `et lim n→+∞(vn) = `0.
1. Si ` > `0on a alors un> vn`a partir d’un certain rang.
2. Si `a partir d’un certain rang, un≤vnalors `≤`0.
3. Si Mest un majorant de la suite u, alors `≤M.
4. Si mest un minorant de la suite u, alors `≥m.
6 Comparaison des suites
D´efinition 9 Soient u= (un)n∈Net v= (vn)n∈Ndeux suites r´eelles. On dit que :
1. la suite uest domin´ee par la suite v, s’il existe un entier n0≥0et une suite born´ee (ϕn)n≥n0tels que :
∀n≥n0, un=ϕnvn
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2. la suite uest n´egligeable devant la suite v, s’il existe un entier n0≥0et une suite (εn)n≥n0convergente vers 0tels
que :
∀n≥n0, un=εnvn
3. la suite uest ´equivalente `a la suite v, s’il existe un entier n0≥0et une suite (ϕn)n≥n0convergente vers 1tels que :
∀n≥n0, un=ϕnvn
On notera un=O(vn) pour signifier que uest domin´ee par v, un=o(vn) pour signifier que uest n´egligeable devant v
et unv
+∞vnpour signifier que uest ´equivalente `a v.
Th´eor`eme 10 Si u= (un)n∈Net v= (vn)n∈Nsont deux suites r´eelles ´equivalents, alors elles sont de mˆeme nature, c’est-`a-
dire que uconverge si, et seulement si vconverge. En cas de convergence de l’une des deux suites, on a lim
n→+∞un= lim n→+∞vn.
7 Suites monotones
D´efinition 10 On dit qu’une suite r´eelle uest :
– croissante si : ∀n≥0, un+1 ≥un,
– d´ecroissante si : ∀n≥0, un+1 ≤un,
– monotone si elle est croissante ou d´ecroissante.
Th´eor`eme 11 Une suite r´eelle croissante [resp. d´ecroissante] uest convergente si, et seulement si, elle est major´ee [resp.
minor´ee] et dans ce cas on a lim
n→+∞un= sup
n∈N
un[resp. lim
n→+∞un= inf
n∈Nun] Sinon on a lim
n→+∞un= +∞.[resp. lim n→+∞un=
−∞].
Th´eor`eme 12 De toute suite r´eelle on peut extraire une suite monotone.
Th´eor`eme 13 (Bolzano-Weierstrass) De toute suite born´ee de nombres r´eels on peut extraire une sous-suite convergente.
Th´eor`eme 14 Une suite r´eelle est convergente si, et seulement si, elle est born´ee et n’a qu’une seule valeur d’adh´erence.
8 Suites adjacentes
D´efinition 11 Deux suites r´eelles uet vsont adjacentes si la suite uest croissante, la suite vest d´ecroissante et si la suite
v−uest convergente vers 0.
Th´eor`eme 15 Deux suites r´eelles adjacentes uet vconvergent vers la mˆeme limite `, avec :
∀n∈N,∀m∈N, un≤`≤vm.
Th´eor`eme 16 Soit f: [1,+∞[→Rune fonction continue d´ecroissante telle que lim
x→+∞f(x) = 0 et Fla primitive de f
nulle en 1.Les suites r´eelles d´efinies par
∀n≥1,
un=
n
P
k=1
f(k)−F(n+ 1)
vn=
n
P
k=1
f(k)−F(n)
convergent vers une mˆeme limite.
Th´eor`eme 17 Si ([an, bn])n∈Nest une suite de segments emboˆıt´es (c’est-`a-dire que an< bnet [an+1, bn+1]⊂[an, bn]pour
tout n∈N) telle que lim
n→+∞(bn−an) = 0,alors il existe un r´eel `tel que \
n∈N
[an, bn] = {`}.
Le th´eor`eme des suites adjacentes nous permet de retrouver le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.
Le th´eor`eme des suites adjacentes permet ´egalement de montrer que Rn’est pas d´enombrable en utilisant en utilisant le
principe de trichotomie.
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