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Suites de nombres réels
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Généralités
Une suite numérique est une application définie sur N (ou une partie de N) à valeurs dans R ou C. On note u = (un )n∈N
(ou u = (un )n≥n0 ) une telle suite.
Une suite u = (un )n∈N est :
– constante si :
∀n ∈ N, un+1 = un ;
– stationnaire (ou plus précisément stationnaire à partir d’un certain rang) si :
∃p ∈ N | ∀n ≥ p, un+1 = un ;
– périodique s’il existe un entier p ≥ 1 tel que :
∀n ∈ N, un+p = un .
Théorème 1 L’ensemble RN des suites réelles est une algèbre commutative sur R.
Définition 1 Soit u = (un )n∈N une suite numérique. On dit que (vn )n∈N est une suite extraite (ou une sous suite) de u s’il
existe une application ϕ : N → N strictement croissante telle que :
∀n ∈ N, vn = uϕ(n) .
Définition 2 On dit que la suite réelle u est majorée [resp. minorée] s’il existe un réel M tel que :
∀n ∈ N, un ≤ M [resp. M ≤ un ]
Définition 3 On dit que la suite numérique u est bornée s’il existe un réel M tel que :
∀n ∈ N, |un | ≤ M
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Suites convergentes ou divergentes
Définition 4 On dit qu’une suite numérique (un )n∈N est convergente s’il existe un scalaire ` tel que :
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , |un − `| < ε.
(8)
En utilisant l’inégalité triangulaire dans R, on montre facilement que si une suite converge, alors sa limite ` est uniquement
déterminée.
Théorème 2 Une suite numérique convergente est bornée.
Théorème 3 Soit (un )n∈N une suite réelle telle que
lim (un ) = `.
n→+∞
1. Si ` > 0 [resp. ` < 0] on a alors un > 0 [resp. un < 0] à partir d’un certain rang.
2. Si un est positif [resp. négatif ] à partir d’un certain rang, on a alors ` ≥ 0 [resp. ` ≤ 0].
Théorème 4 Soient u = (un )n∈N , v = (vn )n∈N et w = (wn )n∈N trois suites réelles telles que :
∀n ∈ N, vn ≤ un ≤ wn .
Si
lim (vn ) = ` et
n→+∞
lim (wn ) = `, alors
n→+∞
lim (un ) = `.
n→+∞
Exercice 1 Montrer que pour tout réel x, la suite réelle définie par un =
vers
x
. En déduire la densité de Q dans R.
2
n
1 P
[kx]où [·] est la partie entière, converge
2
n k=1
Définition 5 Une suite numérique non convergente est dite divergente.
Exercice 2 Soit (un )n∈N une suite à valeurs dans Z. Montrer que (un )n∈N converge si, et seulement si, elle est stationnaire.
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Définition 6 Soit (un )n∈N une suite réelle.
On dit que (un )n∈N tend vers +∞ si :
∀M ∈ R, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , un > M.
On note alors
lim un = +∞ ou un
n→+∞
→
n→+∞
On dit que (un )n∈N tend vers −∞ si :
On note alors
lim un = −∞ ou un
n→+∞
+∞.
∀m ∈ R, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , un < m.
→
n→+∞
−∞.
Théorème 5 Si f µ
: [1, +∞[ →
¶ R est une fonction telle que la fonction g : x 7−→ xf (x) soit minorée par un réel λ > 0,
n
P
alors la suite réelle
f (k)
est divergente.
k=1
3
n≥1
Valeurs d’adhérence
Définition 7 On dit qu’un réel a est valeur d’adhérence de u s’il est limite d’une suite extraite de u.
Théorème 6 Une suite convergente a une unique valeur d’adhérence.
Exercice 3 Montrer qu’une suite périodique convergente est nécessairement constante.
Exercice 4 Montrer que si u est une suite numérique telle que (u2n )n∈N , (u2n+1 )n∈N et (u3n )n∈N sont convergentes, alors
u est convergente.
4
Le critère de Cauchy
Définition 8 On dit qu’une suite numérique (un )n∈N est de Cauchy si :
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 , |un − um | < ε.
Théorème 7 Une suite réelle est convergente si, et seulement si, elle est de Cauchy.
5
Opérations sur les suites convergentes
Théorème 8 Soient u et v deux suites numériques telles que
lim (un ) = ` et
n→+∞
lim (vn ) = `0 .
n→+∞
1. Les suites u + v et u · v sont convergentes vers respectivement ` + `0 et ` · `0 .
2. Dans le cas réel, les suites min {u, v} = (min {un , vn })n∈N et max {u, v} = (max {un , vn })n∈N sont convergentes vers
respectivement min {`, `0 } et max {`, `0 } .
µ ¶
u
un
`
3. Si `0 6= 0, il existe alors un entier n0 tel que la suite =
soit définie et cette suite converge vers 0 .
v
vn n≥n0
`
¡√ ¢
√
4. Dans le cas réel, si ` > 0, il existe un entier n0 tel que un > 0 pour tout n ≥ n0 et la suite u =
un n≥n0 converge
√
vers `.
Théorème 9 Soient u et v deux suites réelles telles que
lim (un ) = ` et
n→+∞
lim (vn ) = `0 .
n→+∞
1. Si ` > `0 on a alors un > vn à partir d’un certain rang.
2. Si à partir d’un certain rang, un ≤ vn alors ` ≤ `0 .
3. Si M est un majorant de la suite u, alors ` ≤ M.
4. Si m est un minorant de la suite u, alors ` ≥ m.
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Comparaison des suites
Définition 9 Soient u = (un )n∈N et v = (vn )n∈N deux suites réelles. On dit que :
1. la suite u est dominée par la suite v, s’il existe un entier n0 ≥ 0 et une suite bornée (ϕn )n≥n0 tels que :
∀n ≥ n0 , un = ϕn vn
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2. la suite u est négligeable devant la suite v, s’il existe un entier n0 ≥ 0 et une suite (εn )n≥n0 convergente vers 0 tels
que :
∀n ≥ n0 , un = εn vn
3. la suite u est équivalente à la suite v, s’il existe un entier n0 ≥ 0 et une suite (ϕn )n≥n0 convergente vers 1 tels que :
∀n ≥ n0 , un = ϕn vn
On notera un = O (vn ) pour signifier que u est dominée par v, un = o (vn ) pour signifier que u est négligeable devant v
et un v vn pour signifier que u est équivalente à v.
+∞
Théorème 10 Si u = (un )n∈N et v = (vn )n∈N sont deux suites réelles équivalents, alors elles sont de même nature, c’est-àdire que u converge si, et seulement si v converge. En cas de convergence de l’une des deux suites, on a lim un = lim vn .
n→+∞
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n→+∞
Suites monotones
Définition 10 On dit qu’une suite réelle u est :
– croissante si : ∀n ≥ 0, un+1 ≥ un ,
– décroissante si : ∀n ≥ 0, un+1 ≤ un ,
– monotone si elle est croissante ou décroissante.
Théorème 11 Une suite réelle croissante [resp. décroissante] u est convergente si, et seulement si, elle est majorée [resp.
minorée] et dans ce cas on a lim un = sup un [resp. lim un = inf un ] Sinon on a lim un = +∞. [resp. lim un =
n→+∞
n→+∞
n∈N
n→+∞
n∈N
n→+∞
−∞].
Théorème 12 De toute suite réelle on peut extraire une suite monotone.
Théorème 13 (Bolzano-Weierstrass) De toute suite bornée de nombres réels on peut extraire une sous-suite convergente.
Théorème 14 Une suite réelle est convergente si, et seulement si, elle est bornée et n’a qu’une seule valeur d’adhérence.
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Suites adjacentes
Définition 11 Deux suites réelles u et v sont adjacentes si la suite u est croissante, la suite v est décroissante et si la suite
v − u est convergente vers 0.
Théorème 15 Deux suites réelles adjacentes u et v convergent vers la même limite `, avec :
∀n ∈ N, ∀m ∈ N, un ≤ ` ≤ vm .
Théorème 16 Soit f : [1, +∞[ → R une fonction continue décroissante telle que
nulle en 1. Les suites réelles définies par
lim f (x) = 0 et F la primitive de f
x→+∞

n
P


f (k) − F (n + 1)
 un =
∀n ≥ 1,
k=1
n
P


f (k) − F (n)
 vn =
k=1
convergent vers une même limite.
Théorème 17 Si ([an , bn ])n∈N est une suite de segments emboı̂tés (c’est-à-dire que an < bn et [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ] pour
\
[an , bn ] = {`} .
tout n ∈ N) telle que lim (bn − an ) = 0, alors il existe un réel ` tel que
n→+∞
n∈N
Le théorème des suites adjacentes nous permet de retrouver le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Le théorème des suites adjacentes permet également de montrer que R n’est pas dénombrable en utilisant en utilisant le
principe de trichotomie.
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