TRIGONOMETRIE ANGLES SAVOIR FAIRE : • Conversion des

TRIGONOMETRIE
ANGLES
SAVOIR FAIRE :
• Conversion des degrés en radians : × π
180
• Conversion des radians en degrés : × 180
π
• Trouver la mesure principale p de x :
• en degrés : p∈]–180 ; 180] et p = x – k360,
où k est l’entier le plus proche de x
360.
• en radians : p∈]–π ; π] et p = x – k2π,
où k est l’entier le plus proche de x
2π.
PERIODICITE : 2π
ππ
π
cos(x + 2π) = cos x
sin(x + 2π) = sin x
PREMIERES RELATIONS
cos²x + sin²x = 1
–1 ≤ cos x ≤ 1
–1 ≤ sin x ≤ 1
tan x = sinx
cosx
TRIANGLE RECTANGLE
cos x = côté adjacent à x
hypoténuse
sin x = côté opposé à x
hypoténuse
tan x = côté opposé à x
côté adjacent à x
VALEURS TYPIQUES
ANGLES ASSOCIES
OPPOSES : X et –X
cos(–x) = cos x
sin(–x) = –sin x
SUPPLEMENTAIRES : X et π
ππ
π – X
cos(π – x) = – cos x
sin(π – x) = sin x
ANGLES DE DIFFERENCE π
ππ
π : X et X + π
ππ
π
cos(x + π) = –cos x
sin(x + π) = –sin x
ANGLES COMPLEMENTAIRES : X et π
ππ
π/2 – X
cos(π/2 – x) = sin x
sin(π/2 – x) = cos x
ANGLES DE DIFFERENCE π
ππ
π/2 : X et X + π
ππ
π/2
cos(x + π/2) = –sin x
sin(x +
π
/2) = cos x

FORMULAIRE DE TRIGONOMETRIE
ADDITION
cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb
cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb
sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa
sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa
MULTIPLICATION PAR 2
cos2a = cos²a – sin²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a
sin2a = 2sina cosa
2
2cos1
²sinet
2
2cos1
²cos a a
a
a
−
=
+
=
ANGLE INSCRIT
Théorème de l’angle inscrit (angles de
vecteurs) : si A, B, M sont sur un cercle de
centre O, on a : (
→
OA,
→
OB) = 2(
→
MA,
→
MB).
On dit que l’angle au centre est le double de
l’angle inscrit.
Conséquence pour les angles géométriques :
• si M1 et M2 sont sur le même cercle de
centre O, du même côté de (AB) que O
alors :   
M M O
1 2
1
2
= =
• si M1 et M3 sont sur le même cercle de
centre O, de part et d’autre de (AB),
alors :
M M
1 3
= −π
On dit encore que deux angles inscrits qui
interceptent la même corde sont égaux ou
supplémentaires, et que le plus petit est la
moitié de l’angle au centre.
RELATIONS METRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE
Notations habituelles :
a = BC, b = AC, c = AB
Demi–périmètre : p = a + b + c
2
Médianes, hauteurs : ma, mb, mc, ha, hb, hc.
R : rayon du cercle circonscrit
r : rayon du cercle inscrit
S : aire du triangle
S = pr
RELATIONS D’AL KASHI
a² = b² + c² – 2bccosA
b² = a² + c² – 2accosB
c² = a² + b² – 2abcosC
LES FORMULES DE L’AIRE
S = 1
2 ab sin C = 1 2 ac sin B = 1 2 bc sin A = abc 4R
LA REGLE DES 3 SINUS
R2
C
sin
c
B
sin
b
A
sin
a===
LE THEOREME DE LA MEDIANE
b² + c² = 2ma² + a²
2

EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
cosx = cosa
+−=
+=
π
π
2
2
kax
ou
kax
sinx = sina
+−=
+=
ππ
π
2
2
kax
ou
kax
LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS
LA FONCTION SINUS
Dsin = IR
sinus est impaire: courbe symétrique par rapport à O.
sinus de période 2π : invariance de la courbe par
translation de 2π i .
Etude sur [0 ;π].
Dérivée : (sinx)’ = cosx
x 0
π
/2
π
cosx
+ 0
–
sinx 1
0 0
LA FONCTION COSINUS
Dcos = IR
cosinus est paire : courbe symétrique par rapport à (Oy).
cosinus de période 2π : invariance de la courbe par
translation de 2π
i.
Etude sur [0 ;π].
Dérivée : (cosx)’ = –sinx
x 0
π
–
sinx
–
cosx 1
–1
01
1
01
1