TRIGONOMETRIE ANGLES SAVOIR FAIRE : • Conversion des

TRIGONOMETRIE
ANGLES
SAVOIR FAIRE :
π
180
180
• Conversion des radians en degrés : ×
π
• Trouver la mesure principale p de x :
• en degrés : p∈]–180 ; 180] et p = x – k360,
x
où k est l’entier le plus proche de
.
360
• en radians : p∈]–π ; π] et p = x – k2π,
x
où k est l’entier le plus proche de .
2π
PERIODICITE : 2π
π
cos(x + 2π) = cos x
sin(x + 2π) = sin x
• Conversion des degrés en radians : ×
PREMIERES RELATIONS
cos²x + sin²x = 1
–1 ≤ cos x ≤ 1
–1 ≤ sin x ≤ 1
sinx
tan x =
cosx
TRIANGLE RECTANGLE
côté adjacent à x
cos x =
hypoténuse
côté opposé à x
sin x =
hypoténuse
côté opposé à x
tan x =
côté adjacent à x
ANGLES ASSOCIES
OPPOSES : X et –X
cos(–x) = cos x
sin(–x) = –sin x
SUPPLEMENTAIRES : X et π – X
cos(π – x) = – cos x
sin(π – x) = sin x
ANGLES DE DIFFERENCE π : X et X + π
cos(x + π) = –cos x
sin(x + π) = –sin x
ANGLES COMPLEMENTAIRES : X et π/2 – X
cos(π/2 – x) = sin x
sin(π/2 – x) = cos x
ANGLES DE DIFFERENCE π/2 : X et X + π/2
cos(x + π/2) = –sin x
sin(x + π/2) = cos x
VALEURS TYPIQUES
FORMULAIRE DE TRIGONOMETRIE
ADDITION
MULTIPLICATION PAR 2
cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb
cos2a = cos²a – sin²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a
cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb
sin2a = 2sina cosa
sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa
1 + cos 2a
1 − cos 2a
cos ² a =
et sin ² a =
sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa
2
2
ANGLE INSCRIT
Théorème de l’angle inscrit (angles de
vecteurs) : si A, B,
M →
sont sur un
cercle
de
→
→
→
centre O, on a : (OA, OB) = 2(MA, MB).
On dit que l’angle au centre est le double de
l’angle inscrit.
Conséquence pour les angles géométriques :
• si M1 et M2 sont sur le même cercle de
centre O, du même côté de (AB) que O
=M
= 1O
alors : M
1
2
2
• si M1 et M3 sont sur le même cercle de
centre O, de part et d’autre de (AB),
= π−M
alors : M
1
3
On dit encore que deux angles inscrits qui
interceptent la même corde sont égaux ou
supplémentaires, et que le plus petit est la
moitié de l’angle au centre.
RELATIONS METRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE
Notations habituelles :
a = BC, b = AC, c = AB
a+b+c
Demi–périmètre : p =
2
Médianes, hauteurs : ma, mb, mc, ha, hb, hc.
R : rayon du cercle circonscrit
r : rayon du cercle inscrit
S : aire du triangle
S = pr
RELATIONS D’AL KASHI
a² = b² + c² – 2bccosA
b² = a² + c² – 2accosB
c² = a² + b² – 2abcosC
LA REGLE DES 3 SINUS
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
LES FORMULES DE L’AIRE
1
1
1
abc
S = ab sin C = ac sin B = bc sin A =
2
2
2
4R
LE THEOREME DE LA MEDIANE
a²
b² + c² = 2ma² +
2
EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
cosx = cosa
sinx = sina
 x = a + k 2π
 x = a + k 2π


ou
ou


 x = π − a + k 2π
 x = − a + k 2π


LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS
LA FONCTION SINUS
Dsin = IR
sinus est impaire: courbe symétrique par rapport à O.
sinus de période 2π : invariance de la courbe par
translation de 2π i .
Etude sur [0 ;π].
Dérivée : (sinx)’ = cosx
x
0
π/2
π
cosx
+
0
–
sinx
1
0
0
LA FONCTION COSINUS
Dcos = IR
cosinus est paire : courbe symétrique par rapport à (Oy).
cosinus de période 2π : invariance de la courbe par
translation de 2π i .
Etude sur [0 ;π].
Dérivée : (cosx)’ = –sinx
x
0
π
–sinx
–
cosx
1
–1
1
1
0
1
0
1