chap8. Lois de probabilités à densité Lois de probabilités à densité

chap8. Lois de probabilités à densité
I Loi à densité sur un intervalle
1) Variable aléatoire continue
Jusqu'ici, les variables aléatoires étudiées prenaient un nombre fini de valeurs.
Or pour d'autres expériences aléatoires, les issues peuvent prendre pour valeur un
nombre quelconque d'un intervalle I de ℝ ; il s'agit alors de variables aléatoire continues.
Ex. Le temps d'attente téléphonique à un service, le poids à la naissance, ... sont des
variables continues.
2) Densité ou fonction
fonction de densité sur un intervalle [ * ; + ].
Déf. On appelle fonction de densité sur un intervalle [ - ; . ], toute fonction / définie,
continue et positive sur [ - ; . ] telle que l'intégrale de cette fonction sur [ - ; . ] est égale
3
à 1 c'est à dire 04 /12) 52 = 1.
9
Ex. Soit la fonction / définie sur [ 0 ; 2 ] par /12) = :.
Cette fonction est positive et continue sur [ 0 ; 2 ].
Une primitive de / est =12) = ...
:
et 0> /12) 52 = ...
Cette fonction est une fonction de densité sur [ 0 ; 2 ].
Déf. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [ - ; . ], munie d'une fonction de densité /.
On définit la loi de probabilité sur [ - ; . ] en associant à tout intervalle [ @; 5 ] inclus dans
[ - ; . ] la probabilité que appartiennent à [ @ ; 5 ] calculée par :
F
B1C ∈ [ @ ; 5 ]) = B1@ ≤ C ≤ 5) = 0G /12) 52.
Propriétés. Pour tout nombre réel @ de [ - ; . ], B1I@J) = 0.
Pour tout réel @ de [ - ; . ], B1C ∈ [@ ; . ]) = 1 − B1C ∈ [- ; @ ])
soit B1@ ≤ C ≤ .) = 1 − B1- ≤ C ≤ @)
c) Loi uniforme sur un intervalle [ * ; + ]
Déf et conséquence. On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [ - ; . ],
lorsque la fonction de densité est constante sur [ - ; . ].
Par conséquent, la fonction de densité / de la loi uniforme sur l'intervalle [ - ; . ] est
définie par :
L
/ 12 ) = 3M4.
Propriétés
Pour tout intervalle [ @ ; 5 ] de [ - ; . ], on a :
F
B1C ∈ [ @ ; 5 ]) = N
G
1
5−@
52 =
.−.−-
L'espérance de la loi uniforme sur [ - ; . ] est définie par :
3
1
1
. : -:
.+- -+.
O1C) = N 2/12) 52 =
N 2 52 =
=
P − Q=
.
−
.
−
2
2
2
2
4
4
3
À RETENIR
B1@ ≤ C ≤ 5 ) =
E1X)=
FMG
3M4
-
II Loi normale W1X ; Y )
4m3
:
centre de .
[ - ;. ]
1) La loi normale centrée réduite
a) Approche d'une densité par la loi binomiale
On considère une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale ℬ1] ; ^ ) d'espérance
_ = ]^ et d'écart type a = b]^11 − ^) avec 0 < ^ < 1.
fMg
Soit la variable aléatoire Z définie par e =
Alors B1- ≤ C ≤ .) = B1@ ≤ e ≤ 5) où @ =
2
h
4Mg
h
et 5 =
3Mg
h
1
Lorsque le nombre d'épreuves ] prend de grandes valeurs et la probabilité de succès ^ est
fMg
proche de 0,5, la transformation associée à l'égalité e =
transforme d'abord l'aire 1
h
en l'aire 2 , tout en la divisant par a. On obtient alors un diagramme ayant une forme de
courbe en "cloche", et en multipliant la hauteur des rectangles par a, la courbe est très
proche de la courbe de la fonction de Gauss.
Déf. Dire qu’une variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite, notée o1 0 ; 1 )
signifie que sa densité de probabilité est la fonction définie sur ℝ par /12) =
Propriétés
/ est continue sur ℝ.
Elle a pour limite 0 en +∞ et −∞.
Sa courbe s’appelle courbe de Gauss ou courbe en cloche.
L’aire totale sous la courbe est égale à 1 ;
elle représente B1e ∈] − ∞ ; +∞ [)
B1e ∈] − ∞ ; 0 ]) = B1 e ∈ [ 0 ; +∞ [ =
B1e ≤ 0) = B1e ≥ 0) =
B1 - ≤ e ≤ .) =
L
L
√:q
r
L
:
:
t
s
3 L
M
04 :q r t
√
52
Remarque :
B1- ≤ e ≤ .) = B1- < e < .) = B1- ≤ e < .) = B1- < e ≤ .)
Les calculatrice donnent directement B1- ≤ C ≤ .)
Attention. Les calculatrices ne fournissent pas B1C ≤ 2) mais B1- ≤ C ≤ .)
st
t
M
Calculs de probabilités
B1e ≤ −w) = 1 − B1e > −w)
= 1 − B1e ≤ w)
B1e ≥ w)
B1e ≤ −w)
−w
À connaître
w
P1−1,96 ≤ C ≤ 1.96) ≈ 0.95
II Loi normale W1 } ; ~• )
Déf. Dire qu’une variable aléatoire X suit une loi normale o1 _ ; a : ) signifie que la
variable aléatoire e =
fMg
h
suit la loi normale o1 0 ; 1 )
Propriété. Si une variable aléatoire X suit une loi normale o1 _ ; a : ), alors son espérance
est _ et sa variance est a : soit son écart-type est a.
Remarque : Z est la variable aléatoire centrée réduite de X.
Influence des paramètres
Courbe représentative de la fonction de densité lorsque a = 1 : elle admet la droite
d'équation 2 = _ pour axe de symétrie.
Courbe représentative de la fonction densité lorsque _ = 3 : plus l'écart-type est grand,
plus la cloche est élargie.
À connaître. Les intervalles un, deux, trois sigmas
Propriété
X est une variable aléatoire qui suit o1 _ ; a : ) et e =
Z suit la loi normale centrée réduite W1X ; Y )..
fMg
h
B1_ − a ≤ C ≤ _ + a) ≈ 0,68
B1_ − 2a ≤ C ≤ _ + 2a) ≈ 0,95
B1_ − 3a ≤ C ≤ _ + 3a) ≈ 0,997
B1_ − a ≤ C ≤ _ + a) = B ƒ−1 ≤
fMg
h
≤ 1„ = B1−1 ≤ e ≤ 1) ≈ 0,68
B1_ − 2a ≤ C ≤ _ + 2a) = B1−2 ≤ e ≤ 2) ≈ 0,95
B1_ − 3a ≤ C ≤ _ + 3a) = B1−3 ≤ e ≤ 3) ≈ 0,997
B1 - ≤ e ≤ .)
Ti NormalFréqp1a,b,_, a)
Calculatrice : Loi o1 _ ; a : )
NormCD1a,b,a, _)