lois continues

EXEMPLES DE LOIS CONTINUES
1°) Loi de probabilité continue.
Lorsque l'ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire n'est plus fini, mais est un intervalle I, on ne peut plus
définir la probabilité de chaque élément de I (elle serait d'ailleurs nulle). On ne peut plus s'intéresser à P(X = a) mais on
s'intéressera à P( X appartient à un intervalle).
Déf 1 : Soit a un réel et f une fonction qui admet des primitives sur IR.
Si les limites suivantes existent,
⌡
⌠a
+
∞
∞ f (x) dx = lim
t
→
→ +
∞
∞ ⌡
⌠a
t f (x) dx.
⌡
⌠-
∞
∞
a f (x) dx = lim
t
→
→ -
∞
∞ ⌡
⌠ta f (x) d x.
Pour tout réel a, ⌡
⌠-
∞
∞
+
∞
∞ f (x) dx = ⌡
⌠-
∞
∞
a f (x) dx +⌡
⌠-
∞
∞
a f (x) dx .
Déf 2 : On dit que la fonction f définie sur IR est une loi de densité si :
f est définie sur IR, continue sur IR sauf peut-être en quelques points
f est positive sur IR
⌡
⌠-
∞
∞
+
∞
∞ f (x) dx = 1
Déf 3 : On dit que X est une variable aléatoire continue s'il existe une loi de densité f telle que pour tout intervalle
[a ; b] P(X
∈
∈[a ; b] ) = P(a
≤
≤ X
≤
≤ b) = ⌡
⌠a
b f (x) dx .
On démontre que P(a
≤
≤ X
≤
≤ b) = P(a < X
≤
≤ b) = P(a
≤
≤ X < b) = P(a < X < b).
P(a
≤
X
≤
b) est l'aire de la portion de plan comprise entre l'axe des
abscisses, les droites d'équations x = a et x = b et la courbe.
L'aire de la portion de plan comprise entre la courbe et l'axe des
abscisses est égale à 1.
Exemple Soit f définie sur IR par f (x) = cos x pour x
∈
[0 ; π
2 ] et f (x) = 0 sinon.
Démontrer que f est une densité de probabilité et calculer P(0
≤
X
≤
π
3 ).
2°) Loi uniforme.
Le tirage au sort d'un réel dans un intervalle [a ; b] se modélise par une loi continue de densité constante.
Déf 4 : On appelle loi uniforme sur l'intervalle [a ; b], la loi de probabilité continue sur I dont la densité f est la
fonction constante et égale à 1
b – a sur [a ; b] et nulle ailleurs.
Prop 1 : Pour cette loi, la probabilité d'un intervalle [αα ; ββ] inclus dans [a ; b] est égale au quotient de la longueur
de [αα ; ββ] par celle de [a ; b].
P ([αα ; ββ] ) = P ( αα
≤
≤ X
≤
≤ ββ) = ⌡
⌠αα
ββ 1
b – a dx = ββ – αα b – a.
Prop 2 : Pour cette loi, E(X) = a + b
2.
exemple : Le tirage au hasard d'un nombre dans [-2 ; 4] se modélise par la loi uniforme sur [-2; 4] de densité 1
6 .
P(X= 1) = 0 ; P(0
≤
X
≤
3) = 3 – 0
4 – (-2) = 1 2 ; P(X<3) = P(-2
≤
X <3) = 3 – (-2)
6 = 5 6;
P(X >3) = P( 3 < X
≤
4) = 4 – 3
6 = 1 6 . on a bien P(X >3) = 1 – P(X < 3).
oa b

remarque: on a aussi P(0
≤
X
≤
3) = ⌡
⌠03 1
6 dx = 
1
6 x 3
0 = 1
2.
3°) Loi exponentielle ou durée de vie sans vieillissement.
Déf 5 : On dit que la durée de vie d'un appareil est sans vieillissement ou sans mémoire lorsque la probabilité qu'il
fonctionne encore au moins h heures ne dépend que de h et pas du temps t durant lequel il a déjà fonctionné.
pour tous t et h strictement positifs P(X > t)
≠
≠ 0 et PX > t ( X > t + h) = P(X > h).
Prop 3 : Soit λλ un réel strictement positif.
La fonction f définie sur IR par f (x) = 
 λλ e - λλ x si x
∈
∈ [ 0 , +
∞
∞[
0 sinon est une densité de probabilité.
Déf 6 : Soit λλ un réel strictement positif et X une variable aléatoire réelle.
On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre λλ lorsque X est à valeurs positives et suit la loi à densité
continue f définie par f (x) = 
 λλ e - λλ x si x
∈
∈ [ 0 , +
∞
∞[
0 sinon .
Pour tout intervalle [a ; b] de IR+ , P( [a ; b]) = ⌡
⌠ab λλ e - λλ x dx.
exemple : pour λ = 2
P([ 1 ; 2]) = P( 1
≤
X
≤
2) = ⌡
⌠12 2 e – 2 x dx = 
2 e - 2 x
- 2 2
1 =
[ ] - e - 2 x2
1= - e – 4 – (- e - 2) = e – 2 – e – 4.
Prop 4 : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi à densité continue.
X suit une loi exponentielle de paramètre λλ
⇔
⇔ X suit une loi de durée de vie sans vieillissement.
Déf 7 : Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie sur IR par
F(x) = P(X
≤
≤ x) pour tout réel x..
Si X suit une loi à densité continue f, F(x) = ⌡
⌠-
∞
∞
x f (x) dx.
Si X suit une loi exponentielle de paramètre λλ F(x) = 
 ⌡
⌠0x λλ e - λλ x dx = 1 – e - λλ x si x
≥
≥ 0
0 sinon
Déf 8 : Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle fonction de fiabilité de X la fonction R définie sur IR par
R(x) = P(X
≥
≥ x) pour tout réel x..
Si X suit une loi à densité continue f, R(x) = ⌡
⌠x+
∞
∞ f (x) dx = 1 – F(X).
Si X suit une loi exponentielle de paramètre λλ R(x) = 
 e - λλ x si x
≥
≥ 0
1 sinon
Prop 5 : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λλ.
On appelle mode toute valeur de X pour laquelle la densité f est maximum : le mode est 0.
La médiane est la valeur t de X pour laquelle P(X
≤
≤ t) = 1
2t = ln 2
λλ .
L'espérance est E(X) = ⌡
⌠0+
∞
∞ x f (x) dx = ⌡
⌠0+
∞
∞ λλ x e - λλ x dx = 1
λλ.
x
y
o1 1,5