Corrigé td microéconomie

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Professeur : Bachir MAAOUNI
Corrigé TD série 1
Exercice I : préférences et fonction d’utilité
Exercice I :
L’objectif de cet exercice est double : i) chercher à représenter les préférences d’un
consommateur dont on observe un nombre fini de relations de préférence entre deux
paniers de biens ii) appliquer le principe de la transformation monotone croissante d’une
fonction pour mettre en évidence la multiplicité de la représentation des préférences.
1.
Le classement a n’est pas rationnel car incohérent : le consommateur ne peut pas préférer
le panier E à D et en même temps préférer le panier D à E. Il s’agit d’un classement
contradictoire.
Le classement b est rationnel car cohérent : les préférences du consommateur respectent
l’axiome de transitivité : A ≻ C ; C ≻ E ; A ≻ E.
2.
1ère méthode : On remplace x et y de chaque panier dans l’expression de la fonction
d’utilité et on vérifie si l’ordre de classement est respecté ou pas par la fonction d’utilité :
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Exemple: U(A) > U (C) ⇨A ≻ C ; U(A) = U(C) ⇨A ~ C; U(A) < U(C) ⇨C > A.
2ème méthode : on vérifie si les fonctions d’utilité ne constituent pas des transformations
monotones croissantes d’une fonction d’utilité dont on est sûr qu’elle représente la
structure des préférences b.
-U(x, y) = (x.y)1/2 :
La fonction constitue une transformation monotone croissante de la fonction d’utilité
V(x, y) = x.y. Comme la fonction d’utilité V respecte le classement b établi par le
consommateur, sa transformation monotone croissante le respectera aussi. En
conséquence, la structure de préférences b peut être représentée par la fonction d’utilité
(x.y)1/2 .
Rappel : une transformation monotone croissante d’une fonction u est une fonction f(u)
qui associe à chaque nombre u un nombre f(u) de telle sorte que le classement entre les
nombres u soit respecté :
u1> u2⇨f (u1) > f(u2).
Dans le cas de deux paniers A et B. si u (A) > u (B) impliquant que A > B. f est une
transformation monotone croissante ssi f[u(A)] > f[u(B)].
f[u(A)] > f[u(B)] ⇨u (A) > u (B) ⇨A > B.
Par conséquent, la structure des préférences b peut être représentée par la fonction
d’utilité U(x, y) = (x.y)1/2 .
-U(x, y) = xaya:
Comme la fonction d’utilité V(x, y) = x.y représente la structure des préférences b, U(x,
y) = xayareprésentera la même structure des préférences si elle constitue une
transformation monotone croissante de V. Savoir si V est une transformation monotone
croissante ou pas dépend de la valeur du paramètre a.
Si a est positif la fonction d’utilité U est une transformation monotone croissante
de V et donc U(x, y) = xayareprésente la structure des préférences b
Si a est négatif, la structure des préférences b ne peut être représentée par la
fonction d’utilité U(x, y) = xaya.
-U(x, y) = x/y :
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Avec cette fonction l’ordre de classement entre les différents paniers consommés est
inversé. Par conséquent, la structure des préférences b ne peut être représentée par cette
fonction d’utilité.
U(x, y) = (x +2y)/y : cette fonction est une transformation monotone croissante de la
fonction d’utilité V(x, y) = x/y. En effet, V(x, y) = (x +2y)/y = x/y + 2 = U(x, y) + 2.
Comme l’ordre de classement n’est pas modifié en ajoutant un paramètre positif à une
fonction, V est une transformation monotone croissante de U. Par conséquent, elle
représente ou elle va donner le même classement que la fonction U. Puisque la structure
de préférence b ne peut être représentée par la fonction u(x, y) = x/y, elle ne peut être
représentée non plus par la fonction V(x, y) = x/y.
Exercice III :
L’objectif est que les étudiants apprennent à manipuler l’axiomatique des préférences.
Soient deux paniers A (xA, yA) et B (xB, yB).
On dit qu’une relation de préférence respecte l’hypothèse de non-saturation des
préférences, lorsque : pour xA= xB, A > B ssi yA> yBet vice versa
pour yA= yB, A > B ssi xA> xBet vice versa
A > B ssi xA> xBet yA> yBet vice versa
A~ B ssi xA= xBet yA= yB.
1. La relation (5, 10) ≻ (5, 9) vérifie immédiatement la monotonicité.
2. En utilisant les relations (5, 10) ≻ (5, 9) et (5, 9) ~ (4, 10), on obtient par transitivité :
(5, 10) ≻ (4, 10), ce qui vérifie l’hypothèse de monotonicité des préférences.
3. De même en utilisant les relations (4, 10) ≻ (3, 11) et (3, 11) ≻ (4, 9), on obtient par
transitivité :
(4, 10) ≻ (4, 9).
4. En utilisant les relations (4, 10) ~ (5, 9) ; (4, 10) ≻ (3, 11) et (3, 11) ≻ (4, 9), on
obtient par transitivité :
On a (4, 10) ≻ (3, 11) et (4, 10) ~ (5, 9), on en déduit que (5, 9) ≻ (3, 11).
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On peut alors écrire :
(5, 9) ≻ (3, 11)
Puisque (3, 11) ≻ (4, 9)
Cela implique par transitivité que : (5, 9) ≻ (4, 9).
5. En utilisant la relation que l’on vient de trouver (5, 9) ≻ (4, 9) et la relation (5, 10) ≻
(5, 9) on obtient par transitivité : (5, 10) ≻ (4, 9). Ce qui encore une fois vérifie
l’hypothèse de la monotonicité.
Exercice IV :
Dans cet exercice, pour savoir si les préférences des différents consommateurs sont
identiques ou différentes, il suffit de voir si la fonction d’utilité d’un agent est ou non une
transformation monotone croissante de la fonction d’utilité des autres.
1. On remarque que UA= (UF)1/2 et UB= (UF)2. Puisque les fonctions d’utilité UAet
UBsont des transformations monotones croissantes de la fonction UF, on peut en
déduire que les préférences des agents A, B et F sont identiques.
Remarque : UB= (UF)2= (UA)4
2. On remarque que UE= (UD)1/2. Donc, UEest une transformation monotone
croissante de la fonction UD. Par conséquent, les agents D et E ont les mêmes
préférences.
Corrigé TD série 2
Exercice 1 : convexité des préférences
1.
Une courbe d’indifférence relie l’ensemble des paniers procurant un même niveau
d’utilité au consommateur. Ici le consommateur est indifférent entre les paniers (0, 5), (5,
0) ; (3, 4) ; et (4, 3). Ils lui procurent donc un même niveau de satisfaction et par
conséquent appartiennent à la même courbe d’indifférence.
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2.
Cet agent exprime des préférences concaves (voir graphique), ce qui ne correspond pas à
l’hypothèse classique de la convexité des préférences. Ce consommateur préfère donc les
paniers composés de quantités « extrêmes » aux paniers composés de quantités
intermédiaires (rappel de l’hypothèse de convexité des préférences)
3.
Pour le montrer mathématiquement, il suffit de trouver parmi les paniers donnés dans
l’énoncé, un panier qui soit une combinaison linéaire de deux autres paniers et qui soit
une combinaison linéaire (moyenne pondérée) de deux autres paniers et qui soit moins
préféré que ces deux paniers.
Ainsi, on peut voir sur le graphique que le panier (3, 2) est une combinaison linéaire des
paniers (0,5) et (5,0) puisqu’il se situe sur le segment de droite passant par ces deux
paniers. Mathématiquement l’ensemble des combinaisons linéaires des deux paniers (0,5)
et (5,0) s’écrit : [(t x 0 + (1 – t) x 5], (t x 5 + (1 – t) x 0]) = [5(1 – t), 5t), avec 0 < t < 1.
On vérifie aisément que pour t égal à 2/5, on obtient les coordonnées du panier (3,2). Il
est donc bien une combinaison linéaire des paniers (0,5) et (5,0).
Or, on sait que :
(0,5) > (3,2) et (0,5) ~ (5,0), ce qui implique que (5,0) ~ (3,2)Le consommateur préfère
donc les paniers « extrêmes » (0,5) et (5,0) au panier intermédiaire (3,2).
Exercice 2 : De la fonction d’utilité à la carte d’indifférence
1.
Pour obtenir l’équation d’une courbe d’indifférence quelconque, il suffit de fixer l’utilité
à un niveau quelconque Ūet d’exprimer y en fonction de x et du niveau Ū:
Ū= 3x + 4y y = 0,25 Ū– 0,75x
Ainsi pour les trois niveaux d’utilité 30, 40 et 50, on obtient les équations de coures
d’indifférence suivantes :
Ū= 30 y = 7,5 – 0,75x
Ū= 40 y = 10 – 0,75x
Ū= 50 y = 12,5 – 0,75x
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