Chapitre 2. Le choix optimum du consommateur Problème du

Chapitre 2. Le choix optimum du consommateur
Problème du consommateur : montant de ressources limité, en général un revenu qu’il veut affecter
à sa consommation ; on appelle ces revenus sa contrainte budgétaire [contrainte double : revenu /
prix des biens ]
L’objectif du consommateur est de maximiser l’usage de ces ressources, de maximiser cette
satisfaction
Il cherche à répartir de la meilleure façon possible ces revenus entre les différents biens
Problème type de l’économie => maximiser la satisfaction du consommateur sous la contrainte de
ses revenus ou encore d’assurer l’allocation optimale de ses ressources
Résumé mathématique :
Maximiser U(x1,x2,x3,…,xn)
R=p1x1+p2x2+…+pnxn
U : utilité
R : revenu
Pi : prix du bien Xi
xi : quantité du bien Xi
I – La contrainte budgétaire (dans le cas d’un modèle à deux biens)
A- Equation et droite de budget
R= xpx + ypy (équation du budget du consommateur)
y = -(px/py)x + (R/py) (droite de budget)
pente : - (px/py)
B- Représentation de la droite de budget
[seuls les biens figurant sur la droite de budget font l’objet d’un choix]
C- Déplacements de la droite de budget
a- Variations de R (les prix fixes)
b- Variations des prix
. si px varie :
. si py varie :
II- Optimum du consommateur
1) Eléments du problème
a- Objectif : maximiser sa satisfaction
b- Préférences : carte d’indifférence
 Objectif : atteindre la courbe d’indifférence la plus élevée
c- Contrainte budgétaire
 Déterminer les quantités maximales de biens, X* et Y*, qui maximisent l’utilité sous
contrainte budgétaire
2) Résolution : faire coïncider la contrainte budgétaire et la carte d’indifférence
Solution optimale : celle qui est tangente
1- Point de tangence entre la droite de budget et la courbe d’indifférence la
plus élevée
2- Pente de la droite de budget : - (Px/Py)
3- TMS= - (dy/dx) -> - TMS = pente de la courbe d’indifférence
4- Au point de tangence, pente de la courbe d’indifférence = pente de la
droite de budget
TMS = Px/Py
Au point d’équilibre du consommateur, le taux marginal de substitution
entre deux biens est égal au rapport du prix de ces deux biens.
Pente de la droite = tangente
Pente de la courbe d’indifférence = TMS
III) Déplacements de la position d’équilibre
A- Variation du revenu (à prix inchangés)
B- Variation du prix (d’un des deux biens)
IV) Les différentes déterminations de l’équilibre du consommateur
1- La détermination géométrique ou graphique
2- La méthode de substitution
Système mathématique à résoudre :
1 équation : celle de la courbe d’indifférence = équation de la courbe d’utilité
1 : équation de la contrainte budgétaire
U = f(X,Y) : fonction d’utilité -> représentée par les courbes d’indifférence
R = xp(x) + yp(y)
3 étapes :
1- On remplace dans U, X ou Y par sa valeur dans R
Y = (R/p(y))-(xpx/py)
U=f(x, R/Py – xpx/py)
2- On calcule le point auquel la fonction U atteint son maximum f’(x)=0, f’’(x)<0
Il s’agit de trouver la valeur de x pour que U’=0 et U’’<0
3- On en déduit à partir de R la valeur de Y
 Méthode pour trouver un maxima dans une situation d’équilibre
Exemple :
U(x,y) = xy
R = 2x + 3y
1) y = (R/3) – (2x/3)
2) U(x,y) = x(R/3 – 2x/3) = -(2x²/3) + (R/3)x
U’(x)=-4x/3 + R/3 = 0
x = R/4
U’’ = -4/3<0
3) y = R/3 – R/6 = R/6
3. La méthode du lagrangien
Max [U = U(X,Y)]
R = PxX + PyY
On définit la fonction de Lagrange notée lambda
Λ (X,Y,λ)=U(X,Y) – λ(PxX + PyY – R)
λ = multiplicateur de Lagrange
Il s’agit de maximiser le lagrangien
Λ atteint son maximum s’il satisfait les conditions du premier et du second ordre
Conditions du 1er ordre : dérivée partielle d’une fonction à plusieurs variables, est la dérivée de la
fonction par rapport à une variable
Exemple : f(x1,x2, … , xn)
f’indice x1 = df(x)/dx1
U(x,y) = xy
U’(x)= dU/dx = y(dU/dy)=x
(dΛ/dx) = 0
(dU/dx)-λ p(x)=0
(dΛ/dy) = 0
(dU/dy)-λp(y)= 0 -> xy
(dΛ/dλ) = 0
R – xp(x)-yp(y) = 0
A partir de là, on en déduit x et y.
 Conditions du 2° ordre
 Il faut construire une matrice
Conditions de second ordre
d²λ/dx²
Dindice2 de lambda = d²λ/dxdy
d²λ/dxdλ
d²λ/dydx
d²λ/dxdλ
d²λ/dy²
d²λ/dydλ
d²λ/dλdy
d²λ/dλ²
A partir de là, on en déduit le déterminant