Cours de maths - Terminale ES - Probabilités : lois à

I – Loi à densité sur un intervalle
Contrairement à une variable aléatoire discrète, une variable aléatoire continue X prend un nombre infini de
valeurs dans un intervalle de .
Lois de probabilité à densité
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Définition 1: On appelle fonction de densité sur un intervalle
;,a b a b
, une fonction f telle que :
Exemple de variable aléatoire continue
On lance une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on mesure la distance d entre le point d'impact et le
centre de la cible (en mètres). Le réel d peut prendre une infinité de valeurs dans l'intervalle
0;1
.
(On suppose que l'on dispose d'un outil de mesure "aussi précis que nécessaire".)
Définition 2: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans
;ab
, munie d'une fonction de densité
f sur
;ab
. On dit que P est la loi de probabilité de densité f lorsque pour tout intervalle
;cd
inclus dans
;ab
,
;P X c d
est l'aire sous la courbe Cf représentative de f limitée
par les droites d'équations
xc
et
xd
.
.
• f est continue sur
;ab
• Pour tout
; , ( ) 0x a b f x
•
( ) 1
b
af x dx 
Cf
; ( )
d
c
P X c d f x dx
2yx
Propriété 1: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans
;ab
, munie d'une fonction de densité f
sur
;ab
.
(1) Pour tout
;;c d a b
,
0 ; 1P X c d  
et
; ( ) 1
b
a
P X a b f x dx  
(2) Pour tout
; , 0 et c a b P X c P X c P X c     
(3) Si
; ; alors ; ; ; ;c d e f P X c d e f P X c d P X e f        
(4) Pour tout
; , ; ; 1c a b P X a c P X c b    

II – Loi uniforme
La loi uniforme modélise l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un réel au hasard dans un intervalle
;ab
.
On déduit de l'activité 2 la définition suivante.
 III – Espérance mathématique d'une variable aléatoire
IV – Loi normale centrée réduite
Remarque : La fonction de densité de la loi normale centrée réduite f :
2
2
1
2
x
xe
n'a pas de primitive
explicite. On utilise donc la calculatrice pour calculer une aire sous cette courbe.
Définition 3: On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur
;ab
lorsqu'elle admet comme
densité de probabilité la fonction f définie sur
;ab
par :
1
( ) ,f x a b
ba
Cf
a
b
Propriété 2: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
;ab
.
Pour tout
;;c d a b
,
;dc P X c d ba
Définition 4: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans
;ab
, munie d'une fonction de densité f
sur
;ab
. On appelle espérance mathématique de X le nombre
()EX
tel que:
( ) ( )
b
a
E X x f x dx
Propriété 3: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
;ab
.
() 2
ab
EX 
Définition 5: On dit qu'une variable aléatoire continue suit la loi normale centrée réduite, notée  (0 ; 1),
lorsqu'elle a pour densité la fonction f définie sur par :
Cf
2
2
1
() 2
x
f x e

 Remarque : La courbe Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées donc :
( 0) ( 0) 0,5P X P X   
Conséquence :
( 2) ( 0) ( 2 0) 0,5 0,48 0,02P X P X P X          
( 1) ( 0) (0 1) 0,5 0,34 0,84P X P X P X        
 V – Loi normale
Remarques : • La fonction de densité de la loi normale  ( ; 2) est la fonction f :
2
1
2
1
2
x
xe
.
• La courbe représentative de f est symétrique par rapport à la droite d'équation
x
.
Définition 6: On dit qu'une variable aléatoire continue X suit la loi normale  ( ; 2) lorsque la variable
aléatoire
X
suit la loi normale centrée réduite  (0 ; 1).
x
Propriété 4: Si la variable aléatoire continue X suit la loi normale  ( ; 2) alors son espérance est :
()EX
Définition 7: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale  ( ; 2).
On appelle écart-type de X le nombre noté
et variance de X le nombre noté
()VX
tel que :
2
()VX

Interprétation de l'écart-type
Plus l'écart-type
est grand, plus les valeurs de X sont dispersées autour de l'espérance
.
3
1,5
1
Propriété 5: Si la variable aléatoire continue X suit la loi normale  ( ; 2) alors :
( ) 0,68
( 2 2 ) 0,95
( 3 3 ) 0,997
PX
PX
PX