Exercice et corrigé -Composants électroniques

Exercice et corrigé -Composants électroniques
Sujet :
Huit composants électroniques identiques et indépendants sont mis en service
simultanément. La probabilité pour qu’un composant soit encore en fonctionnement au
bout d’un an est de 0.7.
On indiquera les valeurs numériques de ces probabilités à 10-3 près.
1) Quelle est la probabilité pour qu’au bout d’un an il y ait encore quatre
composants en fonctionnement ? au moins quatre ?
2) Sachant qu’il y a au moins quatre composants en fonctionnement, quelle est la
probabilité pour qu’il y en ait au plus six ?
Corrigé
Soit la variable aléatoire X :
X= nombre de composants électroniques encore en service au bout d’un an
X suit une loi binomiale B(8 ; 0,7)
1) On demande Proba (X=4) = C84 0, 7 4 0, 34 =0,136
On demande ensuite :
Proba (X≥4) =1-[ Proba (X=0)+ Proba (X=1)+ Proba (X=2)+ Proba (X=3)]
= 1 − ⎡⎣ 0, 38 + C18 0, 7 0, 37 + C28 0, 7 2 0, 36 + C83 0, 7 3 0, 35 ⎤⎦ =0,942
2) On demande
Pr oba ⎡⎣ X ≤ 6 X ≥ 4 ⎤⎦ =
Pr oba ⎡⎣( X ≤ 6 ) ∩ ( X ≥ 4 ) ⎤⎦
Pr oba [ X ≥ 4 ]
=
Pr oba ( X = 4 ) + Pr oba ( X = 5 ) + Pr oba ( X = 6 ) 0,136 + C58 0, 7 5 0, 33 + C68 0, 7 6 0, 32
=
Pr oba [ X ≥ 4 ]
0, 942
=0,729