L`aléatoire disparaît il dans les grands nombres ?

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L’aléatoire disparaît il dans les
grands nombres ?
Exposé pour les mercredis de la
science
Laurent Serlet
La loi des grands nombres de
Kolmogorov
La loi des grands nombres de
Kolmogorov
Pour un grand nombre
d’expériences
aléatoires
indépendantes :
fréquence asymptotique
d’un événement
→ probabilité
Approche causale
Approche causale
Ex: lancer 600 fois un dé;
nombre de 5 obtenus ≅ 100
Ici proba connue à l’avance par
analyse de l’expérience
Approche fréquentiste
Permet d’estimer une probabilité inconnue
Approche fréquentiste
Permet d’estimer une probabilité inconnue
„
Sondages
Approche fréquentiste
Permet d’estimer une probabilité inconnue
„
„
Sondages
Simulations
L’exemple historique : aiguille
de Buffon (1777)
L’exemple historique : aiguille
de Buffon (1777)
„
Pour l=d,
proba de toucher deux lames=2/π
L’exemple historique : aiguille
de Buffon (1777)
„
Pour l=d,
proba de toucher deux lames=2/π
„
“Application”: estimer π
L’exemple historique : aiguille
de Buffon (1777)
„
Pour l=d,
proba de toucher deux lames=2/π
„
„
“Application”: estimer π
En 1901 Lazzarini
lance 3408 fois et
trouve
π=355/113
=3,1415929
Fiabilité ?
Version moderne
Version moderne
Version moderne
„
S’arrêter au bon moment ?
Version moderne
„
„
S’arrêter au bon moment ?
Constatation: la convergence est lente
Gains aléatoires
„
Si les gains valent g(1),..,g(n)
avec probas p(1),…,p(n) alors
la moyenne est
m=g(1)p(1)+…+g(n)p(n)
Gains aléatoires
„
„
Si les gains valent g(1),..,g(n)
avec probas p(1),…,p(n) alors
la moyenne est
m=g(1)p(1)+…+g(n)p(n)
Pour une bonne machine à
sous et pour une mise de 1$,
m≈0,9
Pertes (presque) sûres
„
LGN :
total des gains sur n parties / n
→m
Pertes (presque) sûres
„
LGN :
total des gains sur n parties / n
→m
„
En jouant toutes les 6 secondes,
perte par heure ≈ 60 $
Laquelle choisir ?
„
Comment choisir la
machine qui a le
meilleur gain
moyen?
Laquelle choisir ?
„
„
Comment choisir la
machine qui a le
meilleur gain
moyen?
Autre contexte :
traitements
pharmaceutiques
Grands nombres dans le texte
„
Fréquences des
lettres dans un texte
Grands nombres dans le texte
„
„
Fréquences des
lettres dans un texte
Décryptage d’un
code par subtitution
Fréquence des couples
„
Pour les couples de lettres
consécutives
Fréquence des couples
„
„
Pour les couples de lettres
consécutives
Un message codé par
substitution par des prisonniers
(Diaconnis)
Fréquence des couples
„
„
„
Pour les couples de lettres
consécutives
Un message codé par
substitution par des prisonniers
(Diaconnis)
Décodage : trouver la
correspondance entre lettres et
symboles qui approche le mieux
les transitions « réelles »
Chercher au hasard?
„
L’espace à explorer
est grand
Chercher au hasard?
„
„
L’espace à explorer
est grand
Utiliser une méthode
d’exploration qui
utilise le hasard
(MCMC)
Chercher au hasard?
„
„
L’espace à explorer
est grand
Utiliser une méthode
d’exploration qui
utilise le hasard
(MCMC)
Fluctuations dans l’estimation
d’une probabilité
Fluctuations dans l’estimation
d’une probabilité
„
Dans un sondage sur n personnes pour
estimer la probabilité p, l’erreur est de
l’ordre de
p(1− p)
n
Où W suit une loi normale
W
Quelle confiance en un
sondage?
„
Avec proba 95%,
-2≤W≤2
Quelle confiance en un
sondage?
Avec proba 95%,
-2≤W≤2
d’où, pour n=1000,
erreur sur p≤ 0,03
„
Quelle confiance en un
sondage?
Avec proba 95%,
-2≤W≤2
d’où, pour n=1000,
erreur sur p≤ 0,03
Si le sondage dit
« p=48,5% »
l’intervalle de confiance est
[45,5 ; 51,5 ]
„
Et s’il n’y a que des
fluctuations?
Et s’il n’y a que des
fluctuations?
„
marche aléatoire (1d) : pas de tendance
centrale
Encore…
La même chose en 2d
„
À chaque pas : en
haut ou en bas ou à
droite ou à gauche,
avec proba 1/4
La même chose en 2d
„
À chaque pas : en
haut ou en bas ou à
droite ou à gauche,
avec proba 1/4
Encore…
La même en 3d
La même en 3d
„
„
Quel est le comportement à long terme ?
Dépend il de la dimension ?
Mouvement brownien
„
1827 : Brown
observe ce
mouvement
Mouvement brownien
„
„
1827 : Brown
observe ce
mouvement
1905 : explication
par Einstein
La même chose
mais par simulation
Un modèle de part de marché
Un modèle de part de marché
„
„
Deux technologies
concurrentes
Airbus/Boeing
Un modèle de part de marché
„
„
„
Deux technologies
concurrentes
Airbus/Boeing
Achat selon parts de
marché existantes
Un modèle de part de marché
„
„
„
Deux technologies
concurrentes
Airbus/Boeing
Achat selon parts de
marché existantes
Encore…
Encore…
Encore…
Encore…
En favorisant le challenger
En favorisant le challenger
„
Les probas
favorisent le plus
petit constructeur
En favorisant le challenger
„
Les probas
favorisent le plus
petit constructeur
Encore…
Encore…
„
Les parts de marché s’équilibrent
Encore…
„
„
Les parts de marché s’équilibrent
Idem en achat par lots
Autres modèles avec
interactions
Autres modèles avec
interactions
„
Marches aléatoires
renforcées
Autres modèles avec
interactions
„
„
Marches aléatoires
renforcées
Marches aléatoires
auto-évitantes
Autres modèles avec
interactions
„
„
Marches aléatoires
renforcées
Marches aléatoires
auto-évitantes
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