qui compte le nombre de tirages effectués. Déterminer la loi de Fn.
1 2 . . . n+1
1/(n+1) 1/(n+1) . . . 1/(n+1)
3. Dans cette question, nest quelconque et on tire successivement des boules dans l’urne
avec remise, et on s’arrête lorsqu’on tire la boule rouge. On note Gnla variable aléatoire
qui compte le nombre de tirages effectués. Quelle est la loi de Gn? Que vaut l’espérance
de Gn?
Loi géométrique de param`
être 1/(n+ 1). Espérance n+ 1.
Exercice 3 (2 points)
On suppose dans cet exercice que les sexes des différents enfants d’une même famille sont
ind´
épendants, et que la probabilité qu’un enfant soit un garçon est égale à 0.5. Un gou-
vernement (autoritaire et sexiste) impose la règle suivante : chaque famille ne peut avoir
qu’un enfant, sauf si le premier est une fille. Dans ce cas, les parents sont autorisés, s’ils
le souhaitent, à avoir un second enfant. L’opposition proteste, et avance l’argument que
cette politique causera un déséquilibre entre le nombre de filles et de garçons dans le pays.
Cet argument est-il valable ? Justifier votre raisonnement en précisant éventuellement les
hypothèses effectuées.
On suppose que toutes les familles ayant une fille en premier choisissent d’avoir un
second enfant. On note Fet Gles va "nombre de filles" et "nombre de garçons" dans une
famille.
G= 1 proba 1/2+1/4
G= 0 proba 1/4
F= 1 proba 1/4
F= 2 proba 1/4
F= 0 proba 1/2
E(F) = E(G) = 3/4: pas de déséquilibre.
On suppose qu’une famille ayant eu une fille en premier décide d’avoir un second enfant
avec probabilité p.
G= 1 proba 1/2 + p/4
G= 0 proba (1/2)(1 −p) + p/4
F= 1 proba (1/2)(1 −p) + p/4
F= 2 proba p/4
F= 0 proba 1/2
E(F) = E(G) = 1/2 + p/4: pas de déséquilibre.
Exercice 4 (4 points)
Xsuit une loi exponentielle E(1/2).
1. Donner les expressions de la densité de X, de la fonction de répartition de Xet faire
une représentation graphique de ces deux fonctions.
Densité de X:
fX(x) = 0 si x < 0
fX(x) = 1
2e−x/2si x ≥0
Fonction de répartition :
FX(x) = 0 si x < 0