Sujet d`examen et correction

Université de Nice-Sophia-Antipolis
ANNEE UNIVERSITAIRE 2014-2015
FILIERE : MASS
Année d’étude : L2, 2e session
Probabilités
Durée : 2h
Nom de l’enseignant auteur du sujet : Julien Barré
Type d’épreuve : écrite
SUJET
Calculatrices autorisées, documents interdits, sauf les tables de la loi normale distribuées
avec le sujet.
Exercice 1 (4 points)
On suppose dans cet exercice que les sexes des différents enfants d’une même famille sont
indépendants, et que la probabilité qu’un enfant soit un garçon est égale à 0.5. Pour une
famille den enfants, on note An l’événement "Il y a des enfants des deux sexes dans la
famille" et Bn l’événement "Il y a au plus un garçon dans la famille".
1. On considère dans cette question une famille de 3 enfants. Calculer P(A3 ), P(B3 ), et
P(A3 ∩ B3 ). A3 et B3 sont-ils indépendants ?
P(A3 ) = 3/4 ; P(B3 ) = 1/2 ; P(A3 ∩ B3 ) = 3/8
Oui.
2. Calculer P(An ), P(Bn ), et P(An ∩ Bn ). An et Bn sont-ils indépendants ?
P(An ) = 1 − 2(1/2)n ; P(Bn ) = (n + 1)(1/2)n ; P(A3 ∩ B3 ) = n(1/2)n
Non, sauf si n = 3 (n + 1 = 2n−1 ).
Exercice 2 (4 points)
Une urne contient n boules banches et une boule rouge.
1. Dans cette question, n = 3 et on tire successivement des boules dans l’urne sans remise, et on s’arrête lorsqu’on tire la boule rouge. On note F3 la variable aléatoire qui
compte le nombre de tirages effectués. Déterminer la loi de F3 , puis son espérance et sa
variance.
1
1/4
2
1/4
3
1/4
4
1/4
2. Dans cette question, n est quelconque et on tire successivement des boules dans l’urne
sans remise, et on s’arrête lorsqu’on tire la boule rouge. On note Fn la variable aléatoire
qui compte le nombre de tirages effectués. Déterminer la loi de Fn .
1
1/(n+1)
2
...
n+1
1/(n+1) . . . 1/(n+1)
3. Dans cette question, n est quelconque et on tire successivement des boules dans l’urne
avec remise, et on s’arrête lorsqu’on tire la boule rouge. On note Gn la variable aléatoire
qui compte le nombre de tirages effectués. Quelle est la loi de Gn ? Que vaut l’espérance
de Gn ?
Loi géométrique de paramềtre 1/(n + 1). Espérance n + 1.
Exercice 3 (2 points)
On suppose dans cet exercice que les sexes des différents enfants d’une même famille sont
indé́pendants, et que la probabilité qu’un enfant soit un garçon est égale à 0.5. Un gouvernement (autoritaire et sexiste) impose la règle suivante : chaque famille ne peut avoir
qu’un enfant, sauf si le premier est une fille. Dans ce cas, les parents sont autorisés, s’ils
le souhaitent, à avoir un second enfant. L’opposition proteste, et avance l’argument que
cette politique causera un déséquilibre entre le nombre de filles et de garçons dans le pays.
Cet argument est-il valable ? Justifier votre raisonnement en précisant éventuellement les
hypothèses effectuées.
On suppose que toutes les familles ayant une fille en premier choisissent d’avoir un
second enfant. On note F et G les va "nombre de filles" et "nombre de garçons" dans une
famille.
G = 1 proba 1/2 + 1/4
G = 0 proba 1/4
F = 1 proba 1/4
F = 2 proba 1/4
F = 0 proba 1/2
E(F ) = E(G) = 3/4 : pas de déséquilibre.
On suppose qu’une famille ayant eu une fille en premier décide d’avoir un second enfant
avec probabilité p.
G = 1 proba 1/2 + p/4
G = 0 proba (1/2)(1 − p) + p/4
F = 1 proba (1/2)(1 − p) + p/4
F = 2 proba p/4
F = 0 proba 1/2
E(F ) = E(G) = 1/2 + p/4 : pas de déséquilibre.
Exercice 4 (4 points)
X suit une loi exponentielle E(1/2).
1. Donner les expressions de la densité de X, de la fonction de répartition de X et faire
une représentation graphique de ces deux fonctions.
Densité de X :
fX (x) = 0 si x < 0
1
fX (x) = e−x/2 si x ≥ 0
2
Fonction de répartition :
FX (x) = 0 si x < 0
FX (x) = 1 − e−x/2 si x ≥ 0
Représentation graphique : cf cours.
2. Que valent l’espérance et la variance de X ?
Cours.
E(X) = 2 ; V(X) = 4.
3. On définit Y = X 2 . Donner l’expression de la densité de Y . La fonction g : x 7→ x2
est à valeurs dans [0, +∞[, donc la densité fY (y) est nulle pour y < 0. De plus, g est
croissante sur [0, +∞[, le domaine où X prend ses valeurs. g. On peut donc utiliser la
formule, pour y ≥ 0 :
fY (y) = fX g −1 (y)
1 −√y/2
=
e
√
g 0 (g −1 (y))
4 y
1
Exercice 5 (4 points)
Soient X1 , . . . , X200 200 variables aléatoires indépendantes, toutes de même loi uniforme
sur [0, 2] (loi notée U[0,2] ).
1. Que vaut P(X1 ≤ 0.8) ?
P(X1 ≤ 0.8) = 0.4
2. Que valent E(X1 ) et V(X1 ) ?
1
3
3. On note Y = (X1 + . . . + X200 )/200. Calculer approximativement P(Y ≤ 0.8). Enoncez le théorème que vous utilisez et justifiez son utilisation.
E(X1 ) = 1 ; V(X1 ) =
TCL : Soit (Xi )i∈N une suite
√ de v.a.i.i.d., d’espérance m et d’écart-type σ. On note
Zn = (X1 + . . . + Xn ) − nm/( nσ). Alors Zn converge en loi vers une loi normale centrée
réduite.
√
√
Ici, les v.a. Xi sont bien iid, avec m = 1 et σ = 1/ 3. On a Y = m + σZ200 / 200. On
fait la somme de 200 v.a., donc le TCL fournira une bonne approximation de la loi de Y :
Y suit approximativement une loi N (m, σ 2 /n). On note Z une v.a. de loi 0, ∞. Alors :
√
P(Y ≤ 0.9) = P(m + σZ200 / 200 ≤ 0.9)
√ √
= P(Z200 ≤ −0.2 ∗ 3 ∗ 200)
' P(Z ≤ −4.9)
' 4.8 10−7