Divers raisonnements en mathématiques

2008 – 2009 G´en´eralit´es et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths)
Divers raisonnements en
math´ematiques
( Sp´ecialit´e Maths)
Terminale S
Derni`ere mise `a jour : Jeudi 4 Septembre 2008
Vincent OBATON, Enseignant au lyc´ee Stendhal de Grenoble (Ann´ee 2007-2008)
Lyc´ee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -1-

2008 – 2009 G´en´eralit´es et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths)
J’aimais et j’aime
encore les math´ema-
tiques pour elles-mˆemes
comme n’admettant
pas l’hypocrisie et le
vague, mes deux bˆetes
d’aversion.
Stendhal
Lyc´ee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -2-

2008 – 2009 G´en´eralit´es et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths)
Table des mati`eres
1 Divers raisonnements en math´ematiques 4
1.1 raisonnement par Contrapos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Raisonnement par r´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Raisonnement par disjonction des cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Lyc´ee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -3-

2008 – 2009 G´en´eralit´es et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths)
1 Divers raisonnements en math´ematiques
1.1 raisonnement par Contrapos´ee
On note la proposition (P) vraie :
Si Aest vraie alors Best vraie ou A⇒B.
Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en Aalors AB2+AC2=BC2.
D´efinition :
La contrapos´ee de (P) est la proposition vraie :
Si B n’est pas vraie alors A n’est pas vraie ou (Non B)⇔(Non A)
Exemple 1 :
1) D´emontrer que ∀n∈N,n2impair ⇒nimpair.
2) D´emontrer que ∀n∈N,nimpair ⇒n2impair.
3) Comment traduire ces deux propri´et´es en une seule ?
Correction :
1. Commen¸cons par essayer de d´emontrer la propri´et´e directe :
n2impair ⇒nimpair.
Si n2est impair alors ∃k∈N/ n2= 2k+ 1
Or 2k+ 1 est strictement positif donc :
∃k∈N/ n =√2k+ 1
Et l`a on doit montrer que la racine carr´e d’un impair est impair, ce qui n’est pas si simple.
Nous allons voir qu’il est plus simple de prouver la proposition contrapos´ee :
npair ⇒n2pair.
Si nest pair alors ∃k∈N/ n = 2k
donc n2= (2k)2= 4k2= 2(2k2)
Or 2k2est un entier naturel donc si on pose 2k2=malors ∃m∈N/ n2= 2m
Donc n2est pair.
On a donc montr´e que la contrapos´ee de ”n2impair ⇒nimpair” ´etait vraie
donc la propri´et´e ”n2impair ⇒nimpair” est vraie.
2. Montrons la propri´et´e directe :
nimpair ⇒n2impair.
Si nest impair alors ∃k∈N/ n = 2k+ 1
donc n2= (2k+ 1)2= 4k2+ 4k+ 1 = 2(2k2+ 2k)+1
Or 2k2+ 2kest un entier naturel donc si on pose 2k2+ 2k=malors ∃m∈N/ n2= 2m+ 1
Donc n2est impair.
3. On a donc les deux propri´et´es : n2impair ⇒nimpair
nimpair ⇒n2impair se traduit par nimpair ⇔n2impair.
Lyc´ee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -4-

2008 – 2009 G´en´eralit´es et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths)
Exemple 2 :
1) D´emontrer que ∀n∈N,n2pair ⇒npair.
2) D´emontrer que ∀n∈N,npair ⇒n2pair.
3) Comment traduire ces deux pripri´et´es en une seule ?
Correction :
1. Commen¸cons par essayer de d´emontrer la propri´et´e directe :
n2pair ⇒npair.
Si n2est pair alors ∃k∈N/n2= 2k
Or 2kest strictement positif donc :
∃k∈N/n =√2k=√2×√k
Et l`a on doit montrer que √kest de la forme m√2 avec m∈N.
Nous allons voir qu’il est plus simple de prouver la proposition contrapos´ee :
nimpair ⇒n2impair.
Cette propri´et´e est d´emontr´ee dans l’exercice 1. On a donc montr´e que la contrapos´ee de ”n2
pair ⇒npair” ´etait vraie
donc la propri´et´e ”n2pair ⇒npair” est vraie.
2. Montrons la propri´et´e directe :
npair ⇒n2pair.
Si nest pair alors ∃k∈N/n = 2k
donc n2= (2k)2= 4k2= 2(2k2)
Or 2k2est un entier naturel donc si on pose 2k2=malors ∃m∈N/n2= 2m
Donc n2est pair.
3. On a donc les deux propri´et´es : n2pair ⇒npair
npair ⇒n2pair se traduit par npair ⇔n2pair.
1.2 Raisonnement par l’absurde
D´efinition :
Le raisonnement par l’absurde est une forme de raisonnement logique, consistant
soit `a d´emontrer la v´erit´e d’une proposition en prouvant l’absurdit´e de la proposition
contraire, soit `a montrer la fausset´e d’une proposition en en d´eduisant
logiquement des cons´equences absurdes.
Exemple :
On souhaite d´emontrer que √2 est un nombre irrationnel.
On va donc essayer de voir ce qu’il se passe si on consid`ere que √2 est un nombre rationnel.
Si √2 est rationnel alors il peut se mettre sous la forme d’une fraction est donc il existe deux entiers
pet q(q6= 0) tels que √2 = p
qavec P GCD(p, q) = 1 (pet qsont premiers entre eux).
Si √2 = p
qalors p=√2×qdonc p2= 2q2donc p2est un nombre pair et donc pest pair.(voir §
contrapos´ee)
Puisque pest un nombre pair alors il existe un entier naturel ktel que p= 2k
On a donc (2k)2= 2q2donc 4k2= 2q2donc q2= 2k2, donc q2est pair et enfin qest pair.(voir §
contrapos´ee).
Or pet qne peuvent pas ˆetre pairs tous les deux car pet qsont premiers entre eux donc √2 n’est
pas un rationnel mais un irrationnel.
Lyc´ee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -5-