Terminale S - Sites de Vincent Obaton

2007 – 2008 G´en´eralit´es et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths)
G´en´eralit´es et raisonnement
( Sp´ecialit´e Maths)
Terminale S
Derni`ere mise `a jour : Vendredi 13 Septembre 2007
Vincent OBATON, Enseignant au lyc´ee Stendhal de Grenoble (Ann´ee 2007-2008)
Lyc´ee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -1-

2007 – 2008 G´en´eralit´es et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths)
J’aimais et j’aime
encore les math´ema-
tiques pour elles-mˆemes
comme n’admettant
pas l’hypocrisie et le
vague, mes deux bˆetes
d’aversion.
Stendhal
Lyc´ee Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -2-

2007 – 2008 G´en´eralit´es et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths)
Table des mati`eres
1 Quantificateurs 4
1.1 Le quantificateur universel ( ∀)............................... 4
1.2 Le quantificateur existentiel ( ∃).............................. 4
1.3 M´elanger les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Divers raisonnement 4
2.1 Contrapos´ee.......................................... 4
2.2 Raisonnementparl’absurde................................. 6
2.3 Raisonnement par r´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
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2007 – 2008 G´en´eralit´es et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths)
1 Quantificateurs
Les quantificateurs sont des symboles permettant d’´ecrire des phrases de mani`ere plus simple `a lire
et `a ´ecrire.
1.1 Le quantificateur universel ( ∀)
Le symbole ∀signifie ”Pour tout” ou ”Quel que soit”.
Exemples :
1. ∀x∈R,−x2≤0
2. ∀x∈R, f(x)≥
3. ∀x∈Df, f(−x) = −f(x)
4. ∀n∈N, un+1 =un−3
1.2 Le quantificateur existentiel ( ∃)
Le symbole ∃signifie ”Il existe”.
Exemples :
1. ∃x∈R/√x= 9
2. ∃x∈R/ f(x)≥
3. ∃y∈R/1
y= 4
4. ∃x∈N,∃y∈N/ x2+y2= 25
1.3 M´elanger les quantificateurs
On peut mettre plusieurs quantificateurs dans une mˆeme phrase.
Exemple : ∀x∈R+,∃y∈R/ x =y2
Prori´et´es :
1. On peut intervertir les quantificateurs s’il sont identiques.
Exemples :
∀x∈R+∗,∀y∈R∗+,√x−√y=x−y
√x+√y
est identique `a
∀y∈R+∗,∀x∈R∗+,√x−√y=x−y
√x+√y
2. On ne peut pas intervertir les quantificateurs s’il sont diff´erents.
Exemples :
∀x∈R+,∃y∈R/ x =y2
est diff´erent de :
∃y∈R/∀x∈R+, x =y2
2 Divers raisonnement
2.1 Contrapos´ee
On note la proposition (P) vraie :
Si Aest vraie alors Best vraie ou A⇒B.
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2007 – 2008 G´en´eralit´es et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths)
Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en Aalors AB2+AC2=BC2.
D´efinition :
La contrapos´ee de (P) est la proposition vraie :
Si B n’est pas vraie alors A n’est pas vraie ou (Non B)⇔(Non A)
Exemple 1 :
1) D´emontrer que ∀n∈N,n2impair ⇒nimpair.
2) D´emontrer que ∀n∈N,nimpair ⇒n2impair.
3) Comment traduire ces deux propri´et´es en une seule ?
Correction :
1. Commen¸cons par essayer de d´emontrer la propri´et´e directe :
n2impair ⇒nimpair.
Si n2est impair alors ∃k∈N/ n2= 2k+ 1
Or 2k+ 1 est strictement positif donc :
∃k∈N/ n =√2k+ 1
Et l`a on doit montrer que la racine carr´e d’un impair est impair, ce qui n’est pas si simple.
Nous allons voir qu’il est plus simple de prouver la proposition contrapos´ee :
npair ⇒n2pair.
Si nest pair alors ∃k∈N/ n = 2k
donc n2= (2k)2= 4k2= 2(2k2)
Or 2k2est un entier naturel donc si on pose 2k2=malors ∃m∈N/ n2= 2m
Donc n2est pair.
On a donc montr´e que la contrapos´ee de ”n2impair ⇒nimpair” ´etait vraie
donc la propri´et´e ”n2impair ⇒nimpair” est vraie.
2. Montrons la propri´et´e directe :
nimpair ⇒n2impair.
Si nest impair alors ∃k∈N/ n = 2k+ 1
donc n2= (2k+ 1)2= 4k2+ 4k+ 1 = 2(2k2+ 2k)+1
Or 2k2+ 2kest un entier naturel donc si on pose 2k2+ 2k=malors ∃m∈N/ n2= 2m+ 1
Donc n2est impair.
3. On a donc les deux propri´et´es : n2impair ⇒nimpair
nimpair ⇒n2impair se traduit par nimpair ⇔n2impair.
Exemple 2 :
1) D´emontrer que ∀n∈N,n2pair ⇒npair.
2) D´emontrer que ∀n∈N,npair ⇒n2pair.
3) Comment traduire ces deux pripri´et´es en une seule ?
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