fonction exponentielle et puissance

FONCTION EXPONENTIELLE ET PUISSANCE
I. Définition :
1°) définition :
Définition :
On appelle fonction exponentielle la fonction qui à tout réel x associe l'unique réel y tel que ln y = x. (on
dit qu’exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien). L'exponentielle de x est noté
exp (x).
2°) Propriétés immédiates :
Propriétés :
Df = ℝ
exp (1) = e (car ln e =1)
exp (0) = 1 (car ln 1 = 0)
Propriétés :
Pour tout nombre réel x :
1. exp (x) est un nombre strictement positif.
2. ln (exp (x)) = x.
3. Pour tout nombre réel x strictement positif : exp (ln x) = x
3°) Relation fonctionnelle :
Propriété :
exp (x + y) = exp (x) × exp (y)
Démonstration :
x + y = ln (exp (x)) + ln (exp (y)) = ln (exp(x) × exp (y)) donc exp (x + y) = exp (x) × exp (y)
Cette propriété étant celle des puissances, on adopte donc la notation exp (x) = ex
Propriétés :
1.
1
−x
;
x = e
e
2. ex− y =
ex
y ;
e
3. (ex)n = enx pour n ∈ ℕ.
Démonstration :
1. D’après la première propriété ex × e−x = e0 = 1 donc e–x =
x–y
2. e
=e
x + (–y)
1
ex
=e ×e =e × y = y ;
e
e
x
–y
x
3. (ex)n = ex × ex × … × ex = enx.
1
x ;
e
II. Représentation graphique :
Propriété :
La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle même : f (x) = ex ; f ' (x) = ex.
Démonstration :
ex '
On dérive la relation ln e = x. On trouve
= 1 d’où (ex)′ = ex.
ex
x
La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur ℝ.
Propriété :
x 
f'
f (x)
+
+
+
x
lim e = 0 (asymptote horizontale en -∞)
x→– ∞
0
x
lim e = +∞
x →+∞
Remarque :
La fonction exponentielle étant la réciproque de la fonction logarithme, leurs représentations graphiques
sont symétriques par rapport à la première bissectrice (la droite d’équation y = x).
III. Croissances comparées des fonctions x  ln x ; x  xn et x  exp (x) :
Les propriétés suivantes sont admises :
lim
x ∞
ex
n = + ∞ ;
x
lim
x ∞
ln x
=0
n
x
pour tout n ∈ ℕ*
IV. Dérivées et primitives :
1°) Dérivées :
Propriété :
Soit u une fonction dérivable sur I, alors la fonction x
exp (u(x)) est dérivable sur I et
que l’on peut écrire : (eu)’ = u’eu.
[exp (u(x))]’ = u’(x) exp (u(x))
Exemple :
2
2
Soit f (x) = e x 1 définie sur ℝ alors f ' (x) = 2x e x 1 .
2°) Primitives :
Propriété :
D’après la propriété précédente, les primitives des fonctions du type f (x) = eax+b sont de la forme
F (x) =
1 ax+b
e + c avec c ∈ ℝ.
a
Exemple :
1
Les primitives sur ℝ de f (x) = e3x sont les fonctions de la forme F(x) = 3 e3x + c avec c ∈ ℝ.
V. Fonctions exponentielles de base a :
1°) Fonction puissance :
Définition :
Pour tout réel a > 0 et pour tout réel b, on note ab le nombre défini par ab = eblna.
Propriété :
Les règles de calcul des exposants entiers s'étendent aux exposants réels :
b'
abab' = ab+b' ; (a×a')b = ab ×a'b ; a b =a bb' etc.
Exemple :
3,52,1 = e2,1ln3,5. On utilise la touche
de la calculatrice et on trouve 3,52,1 ≈ 13,88.
2°) Fonction exponentielle de base a : .
Définition :
a est un nombre strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base a la fonction f définie sur
ℝ par f (x) = ax = exlna.
Exemple :
La fonction x  2x est la fonction exponentielle de base 2, la fonction x  10x est la fonction
exponentielle de base 10x et la fonction x  ex est la fonction exponentielle de base 2.