Nombre dérivé

Nombre dérivé
I. Rappels
1. Taux de variation (ou taux d'accroissement)
Première écriture du taux de variation.
Soit f une fonction f définie sur un intervalle I.
soient x1 ∈ I , x2 ∈ I et x1≠ x2 .
Le taux de variation de f entre x1 et x2 est :
21
21
() ()fx fx
xx
τ
−
=
−
Exemple :
2
:fx x
définie sur  .
Taux de variation :
22
2 1 21 21
21 21
() ()fx fx x x xx
xx xx
τ
−−
= = = +
−−
( après factorisation et simplification par (
21
xx−
)
non nul car x1≠ x2 )
Deuxième écriture du taux de variation.
Soit f une fonction f définie sur un intervalle I
On pose x1= a et x2=a+h avec h≠0 .
Le taux de variation de f entre a et a+h est :
( ) ()
() fa h fa hh
τ
+−
=
Exemple :
2
:fx x
définie sur  .
2 2 2 22 2
()()() 2 2
() 2
f a h f a a h a a ah h a ah h
h ah
h h hh
τ
+− + − + +− +
= = = = = +
(après simplification par
h non nul par hypothèse )
2. Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soient a et a+h deux réels de I.
Lorsque le taux d'accroissement
( ) ()fa h fa
h
+−
tend vers un nombre fini L quand h tend vers zéro,
on dit que la fonction f est dérivable en a . Ce nombre L est le nombre dérivé de f en a et on le note
()fa
′
:
0
( ) ()
( ) lim
h
fa h fa
fa L
h
→
+−
′= =
Exemple de fonction non dérivable en un point : La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0

3. Tangente
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .
Soit  sa courbe représentative dans un repère.
Soit un réel a  I .
Le nombre dérivé
()fa
′
est égal au coefficient directeur de
la tangente à la courbe de f au point A d'abscisse a.
La tangente à la courbe de f au point A d'abscisse a admet
pour équation :
()( ) ()y f ax a fa
′
= −+
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur  par : f (x) = – x2 + 4.
a) Calculer le taux de variation de f entre 1 et 1 + h avec h un réel non nul.
b) En déduire le nombre dérivé en 1 .
c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.  Corrigé
Exercice 2
Soit f la fonction définie sur  par : f (x) = x2 –5x +4.
a) Calculer le taux de variation de f entre 2 et 2+ h avec h un réel non nul.
b) En déduire le nombre dérivé en 2 .
c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2.  Corrigé
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur * par :
1
( ) .fx x x
= −
a) Vérifier que pour h ≠ 0,
2
2
(1 ) 1
hh
fh h
+
+=
+
b) Déduisez-en que f est dérivable en 1 et calculer
(1)f′
c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.  Corrigé
Exercice 4 ( d’ap rè s BAC ES 2010 )
On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [–2 ; 11], et on donne sa courbe
→ →
représentative Cf dans un repère orthogonal (O ; i , j )
On sait que la courbe Cf passe par les points A( − 2 ; 0,5), B(0 ; 2), C(2 ; 4,5), D(4,5 ; 2), E(7,5 ; 0) et
F(11 ; − 0,75).
Les tangentes à la courbe Cf aux points A, B, C, D et F sont représentées sur la figure et aux points A, C et F, les
tangentes sont parallèles à l’axe des abscisses.
Déterminer graphiquement : f’ (0) ; f’ (2) et f’ (4,5)  Corrigé
a
f(a)

C
2
B
D
A
E
3
-
2
-
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
F
5
4
3
1
0
-
2
-

Corrigé 1
a)
( ) ( ) (1 ) (1)
() fa h fa f h f
hhh
τ
+− +−
= =
=
22
(1 ) 4 ( 1 4)hh −+ +−− +
2
2hh
h
−−
=
2h=−−
( simplification par h non nul)
b) On calcule la limite du taux de variation quand
0h→
00
(1 ) (1)
lim lim ( 2) 2
hh
f hf h
h
→→
+− = −− =−
; donc
(1) 2
f′= −
c) La tangente à la courbe au point d'abscisse a admet pour équation :
()( ) ()y f a x a fa
′
= −+
On a : a= 1 ;
( ) (1) 2fa f
′′
= = −
et
( ) (1) 3fa f= =
D’où
2( 1) 3yx=− −+
soit
25yx=−+
Par conséquent, la tangente au point d’abscisse 1 a pour équation
25yx=−+
Enoncé 
Corrigé 2
a)
( ) ( ) (1 ) (1)
() fa h fa f h f
hhh
τ
+− +−
= =
=
22
(2 ) 5(2 ) 4 (2 5 2 4)hh
h
+ − + + − −×+
2
hh
h
−
=
1h= −
(simplification par h non nul)
b) On calcule la limite du taux de variation quand
0h→
00
(2 ) (2)
lim lim ( 1) 1
hh
f hf h
h
→→
+− = −=−
; donc
(1) 1f′= −
c) La tangente à la courbe au point d'abscisse a admet pour équation :
()( ) ()y f a x a fa
′
= −+
On a : a= 2 ;
( ) (2) 1fa f
′′
= = −
et
( ) (2) 2fa f= = −
D’où
( 2) 2yx=−− −
soit
yx= −
Par conséquent, la tangente au point d’abscisse 2 a pour équation
yx= −
Enoncé 

Corrigé 3
Soit f la fonction définie sur * par :
1
( ) .
fx x x
= −
a) Vérifier que pour h ≠ 0,
2
2
(1 ) 1
hh
fh h
+
+=
+
b) Déduisez-en que f est dérivable en 1 et calculer
(1)f′
c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.
a)
1
(1 ) (1 ) 1
fh h h
+ =+−
+
=
2
(1 ) 1
1hh
+−
+
2
2
1
hh
h
+
=
+
b) On calcule le taux de variation :
( ) ( ) (1 ) (1)
() fa h fa f h f hhh τ
+− +−
= =
=
220
1
hh
h
h
+−
+
=
2
2
(1 )
hh
hh
+
+
=
2
1
hh +
+
( après simplification par h non nul )
On calcule la limite du taux de variation quand
0h→
00
(1 ) (1) 2
lim lim 2
1
hh
f hf h
hh
→→
+− +
= =
+
; donc la fonction f est bien dérivable en 1 et
(1) 2f′=
c) La tangente à la courbe au point d'abscisse a admet pour équation :
()( ) ()y f a x a fa
′
= −+
On a : a= 1 ;
( ) (1) 2fa f
′′
= =
et
( ) (1) 0fa f= =
D’où
2( 1) 0yx= −+
soit
22yx= −
Par conséquent, la tangente au point d’abscisse 2 a pour équation
22yx= −
Enoncé 
Corrigé 4
On sait que le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente au point considéré.
- Comme la tangente en C est parallèle à l’axe des abscisses, alors f’ (2) = 0
Pour calculer f’ (0), on choisit les points de la tangente B(0 ;2) et B’ ( 1 ; 4 ), d’où
42
'(2) 2
10
BB
BB
yy
fxx
′
′
−−
= = =
−−
De même, pour f’ (4,5) , on a
'
'
0,5 2
'(4,5) 1
6 4,5
DD
DD
yy
fxx
−−
= = = −
−−
Remarque : on peut également déterminer un vecteur directeur de la forme
m1  
ce qui donne le
coefficient directeur m Enoncé 