Résumé du Cours Complet

Continuité et limites
NIVEAU : 4ème S-Exp
Résumé du Cours
Complet
A- Pour commencer
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x 0 un réel de I.
On dit que f est continue en x 0 si limf  f  x0 
x0
● Toute fonction polynôme est continue en tout réel.
● Toute fonction rationnelle est continue en tout réel de son ensemble de définition.
● Les fonctions x
cosx et x
sinx sont continues en tout réel.
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I. Soit x 0 un réel de I et k un réel.
 Si f et g sont continues en x 0 alors les fonctions f + g, fg, et kf sont continues en x 0 .
1
est continue en x 0 .
f
f
 Si f et g sont continues en x 0 et si g  x0   0 alors la fonction
est continue en x 0 .
g
 Si f est continue en x 0 et si f  x0   0 alors le fontion
 Si de plus f est positive sur I et si f est continue en x 0 , alors la fonction
f est continue en x 0 .
B- Limite d’une somme
:
Si f a pour limite



Si g a pour limite
'





Alors f  g a pour limite
 '




Forme indéterminée
C- Limite d’un produit
:
Si f a pour limite
Si g a pour limite
Alors f  g a pour limite
0
'
 '
 ou 
0
 ou 
 ou 
 ou 
 ou 
 ou 
Suivant les signes Suivant les signes
Forme indéterminée
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1
D - Limite d’un inverse
:
'0
Si g a pour limite
Alors
1
0
Par valeurs supérieures Par valeurs inférieures
1
a pour limite
g
0

'
 ou 
0

E- Limite d’un quotient
:
Si f a pour
0
limite

Si g a pour
limite
Alors
f
g
'0
ou

a
'
pour limite
0
0
 ou 
0 par valeurs
supérieures
ou

 ou 
0 par valeurs
supérieures
0
'0
ou
0 par valeurs
inférieures
0 par valeurs
inférieures
 ou 
 ou 
Suivant les
signes
 ou
Forme
indéterminée
Suivant les
signes
 ou 
 ou

Suivant les
signes
Forme
indéterminée
F- Règles opératoires
:
 La limite en  ou en  d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut
degré.
 La limite en  ou en  d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses termes de
plus haut degré.
Théorème :
:
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant un réel a et g une fonction définie sur
un intervalle ouvert J contenant le réel f (a) .
Si f est continue en a et g est continue en f (a) , alors g f est continue en a .
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Conséquence
:
 f est continue sur I

Si g est continue sur J alors g f est continue sur I.
 f (I )  J

Théorème :
:
Soit f et g deux fonctions. Soit a, b et c finis ou infinis.
Si lim f ( x )  b et lim g( x )  c alors lim g f ( x )  c
x a
x b
x a
Théorème
:
Soit f , g et h trois fonctions définies sur un intervalle I sauf peut être en un réel a de I.
Soit deux réels
et ' .
 Si f ( x)  g ( x) pour tout x  I et si lim f 
et lim g  ' , alors  ' .
a
a
 Si h( x)  f ( x)  g ( x) pour tout x  I et si lim h  lim g  , alors lim f  .
a
a
a
 Si f ( x)  g ( x) pour tout x  I et si lim g   , alors lim f   .
a
a
 Si f ( x)  g ( x) pour tout x  I et si lim g   , alors lim f   .
a
a
Ces résultats restent aussi valables lorsqu’on remplace
a
par  ou par a  ou a  .
Théorème
:
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle
Théorème des valeurs intermédiaires :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Soient a  I et b  I .
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b) , il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que
f (c )  k
On peut aussi l’exprimer sous la forme : L’équation f ( x )  k a au moins une solution c comprise entre a
et b.
En particulier, si f (a)  f (b)  0 alors l’équation f ( x )  0 admet au moins une solution dans a , b .
Si de plus f est strictement monotone sur I, alors c est unique.
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f n’est pas strictement monotone
f est strictement monotone
Conséquence
:
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Si f ne s’annule en aucun point de I alors elle garde un signe constant sur I.
Théorème
:
Si f est continue sur  a, b  alors f  a, b   m, M 
Où m est le minimum de f sur  a, b  et M est le maximum de f sur  a, b  .
G- Cas d’une fonction monotone
:
Théorème
:
Soit f une fonction définie sur un intervalle de type  a, b ( b fini ou infini ).
 Si f est croissante et majorée alors f possède une limite finie en b.
 Si f est croissante et non majorée alors f tend vers

en b.
 Si f est décroissante et minorée alors f possède une limite finie en b .
 Si f est décroissante et non minorée alors f tend vers

en b.
Théorème
:
L’image d’un intervalle I par une fonction continue et monotone sur I est un intervalle de même nature.
Exemples
:
Si α +β ≠ 0 alors pour tout point M du plan on a :  MA   MB  (   )MG avec G est le barycentre des
points pondérés (A ,α) et (B,β).
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Exemples
:
Intervalle I
f est strictement croissante sur I f est strictement décroissante sur I
I   a, b 
f ( I )   f (a), f (b)
f ( I )   f (b), f (a)
I   a, b
f ( I )   f ( a ), lim f 
f ( I )   lim f , f ( a ) 
I   a, 
f ( I )   f (a), lim f 
f ( I )   lim f , f (a) 
I  a, b
f ( I )   lim f , lim f 
f ( I )   lim
f , lim
f



b




a

b







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5
b




b
a
