Résumé du Cours Complet

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Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit
0
x
un réel de I.
On dit que f est continue en
0
x
si
0
0
limf f
xx
● Toute fonction polynôme est continue en tout réel.
● Toute fonction rationnelle est continue en tout réel de son ensemble de définition.
● Les fonctions x cosx et x sinx sont continues en tout réel.
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I. Soit
0
x
un réel de I et k un réel.
 Si f et g sont continues en
0
x
alors les fonctions f + g, fg, et kf sont continues en
0
x
.
 Si f est continue en
0
x
et si
0
f0x
alors le fontion
1
f
est continue en
0
x
.
 Si f et g sont continues en
0
x
et si
00gx 
alors la fonction
f
g
est continue en
0
x
.
 Si de plus f est positive sur I et si f est continue en
0
x
, alors la fonction
f
est continue en
0
x
.
Si
f
a pour limite
Si g a pour limite
'
Alors
fg
a pour limite
'
Forme indéterminée
Si
f
a pour limite
0
ou
0
Si g a pour limite
'
ou
ou
ou
Alors
fg
a pour limite
'
ou
Suivant les signes
ou
Suivant les signes
Forme indéterminée
Continuité et limites
NIVEAU : 4ème S-Exp
Résumé du Cours
Complet
A- Pour commencer
B- Limite d’une somme
:
C- Limite d’un produit
:

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 La limite en ou en d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut
degré.
 La limite en ou en d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses termes de
plus haut degré.
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant un réel
a
et g une fonction définie sur
un intervalle ouvert J contenant le réel
()fa
.
Si
f
est continue en
a
et g est continue en
()fa
, alors
gf
est continue en
a
.
Si g a pour limite
'0
0
Par valeurs supérieures
0
Par valeurs inférieures
ou
Alors
1
g
a pour limite
1
'
0
Si
f
a pour
limite
0
0
ou
ou
ou
Si g a pour
limite
'0
ou
0 par valeurs
supérieures
ou
0 par valeurs
inférieures
0
0 par valeurs
supérieures
ou
0 par valeurs
inférieures
'0
ou
Alors
f
g
a
pour limite
'
0
ou
Suivant les
signes
Forme
indéterminée
ou
Suivant les
signes
ou
Suivant les
signes
Forme
indéterminée
Théorème :
:
D - Limite d’un inverse
:
E- Limite d’un quotient
:
F- Règles opératoires
:

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Si
est continue sur I
g est continue sur J
()
f
f I J
alors
gf
est continue sur I.
Soit
f
et g deux fonctions. Soit
, a b et c
finis ou infinis.
Si
lim ( ) et lim ( ) alors lim ( )
x a x b x a
f x b g x c g f x c
Soit
f
, g et h trois fonctions définies sur un intervalle I sauf peut être en un réel
a
de I.
Soit deux réels et
'
.
 Si
( ) ( )f x g x
pour tout
xI
et si
lim
af
et
lim '
ag
, alors
'
.
 Si
( ) ( ) ( )h x f x g x
pour tout
xI
et si
lim lim
aa
hg
, alors
lim
af
.
 Si
( ) ( )f x g x
pour tout
xI
et si
lim
ag 
, alors
lim
af 
.
 Si
( ) ( )f x g x
pour tout
xI
et si
lim
ag 
, alors
lim
af 
.
Ces résultats restent aussi valables lorsqu’on remplace
a
par ou par
a
ou
a
.
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle
Soit
f
une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Soient
aI
et
bI
.
Pour tout réel k compris entre
()fa
et
()fb
, il existe au moins un réel c compris entre
a
et b tel que
()f c k
On peut aussi l’exprimer sous la forme : L’équation
()f x k
a au moins une solution c comprise entre
a
et b.
En particulier, si
( ) ( ) 0f a f b
alors l’équation
( ) 0fx
admet au moins une solution dans
,ab
.
Si de plus
f
est strictement monotone sur I, alors c est unique.
Conséquence
:
Théorème :
:
Théorème
:
Théorème des valeurs intermédiaires :
Théorème
:

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f n’est pas strictement monotone
f est strictement monotone
Soit
f
une fonction continue sur un intervalle I.
Si
f
ne s’annule en aucun point de I alors elle garde un signe constant sur I.
Si
f
est continue sur
,ab
alors
,,f a b m M
Où m est le minimum de
f
sur
,ab
et M est le maximum de
f
sur
,ab
.
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle de type
,ab
( b fini ou infini ).
 Si
f
est croissante et majorée alors
f
possède une limite finie en b.
 Si
f
est croissante et non majorée alors
f
tend vers en b.
 Si
f
est décroissante et minorée alors
f
possède une limite finie en b .
 Si
f
est décroissante et non minorée alors
f
tend vers en b.
L’image d’un intervalle I par une fonction continue et monotone sur I est un intervalle de même nature.
Si α +β ≠ 0 alors pour tout point M du plan on a :
()MA MB MG
avec G est le barycentre des
points pondérés (A ,α) et (B,β).
Exemples
:
Conséquence
:
Théorème
:
G- Cas d’une fonction monotone
:
Théorème
:
Théorème
:

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Intervalle I
f
est strictement croissante sur I
f
est strictement décroissante sur I
,I a b
( ) ( ), ( )f I f a f b
( ) ( ), ( )f I f b f a
,I a b
( ) ( ),lim
b
f I f a f
( ) lim , ( )
b
f I f f a
,Ia 
( ) ( ),limf I f a f
( ) lim , ( )f I f f a
,I a b
( ) lim ,lim
ab
f I f f
( ) lim ,lim
ba
f I f f
Exemples
: