Oscillateurs amortis et forcés - Résonance

École Nationale d’Ingénieurs de Tarbes
Année 2012-2013
Enseignements Semestres 5 - 5? et 7 App
Oscillateurs
amortis et forcés - Résonance
Intervenant
Karl DELBÉ
[email protected]
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Table des matières
Avant-propos
2
Notation
4
1
Les oscillateurs amortis - Facteur de qualité
1.1 Le pendule élastique amorti . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le circuit RLC en régime libre . . . . . . . . . . . . .
1.3 L’équivalence mécanique-électricité . . . . . . . . . .
1.4 Les régimes de fonctionnement - Le facteur de qualité
1.4.1 Le régime fortement amorti . . . . . . . . . .
1.4.2 Le régime faiblement amorti - pseudo-période
1.4.3 Le régime critique . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Les
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
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5
5
7
8
8
9
10
12
12
oscillateurs forcés - Résonance
Le pendule élastique forcé . . . . . . . . . . . . . . . .
Le circuit RLC en régime forcé . . . . . . . . . . . . .
Équation des oscillateurs forcées . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 La solution de l’équation sans second membre .
2.3.2 La solution particulière . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Le régime transitoire . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Le régime permanent . . . . . . . . . . . . . . .
Élongation de l’oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . .
L’impédance mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . .
Puissance dissipée dans un oscillateur forcé - Résonance
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14
14
15
16
16
16
17
17
17
20
22
24
Bibliographie
25
1
Avant-propos : La préparation d’un cours à
l’ENIT
J’aime à penser qu’étudier est un métier en soit. Ce métier n’est pas valorisé dans
l’immédiat par un salaire ou une récompense, mais c’est une épargne intellectuelle que
l’étudiant fait fructifier durant son cursus, pour en bénéficier au moment le plus opportun
et en particulier quand il réalisera son activité professionnelle.
Dans les lignes qui suivent, je vous propose une méthode pour optimiser le bénéficie
de vos cours et vos travaux dirigés (TD). Il ne s’agit que de suggestions et le lecteur est
libre de les suivre, de les modifier ou des les éviter.
Le cours à venir peut être préparé au préalable par la lecture de la partie qui sera
traitée. Des recherches peuvent aussi être faite sur internet pour se familiariser avec le
vocabulaire et les thèmes qui seront abordés.
Une écoute attentive et active lors de la séance est recommandée. Elle nécessite de la
concentration. Elle peut être accompagnée d’une prise de notes sur un support qui servira
à compléter le fascicule et l’ensemble des documents qui constituent le cours. Lorsqu’un
élément du cours n’est pas bien compris, poser des questions. Éviter l’installation de doutes
dans votre apprentissage.
Pour retenir un cours, il est nécessaire de le relire plusieurs fois :
– une fois quelques heures après la séance ;
– une fois la semaine suivante ;
– une fois un mois plus tard (quand cela reste possible) ;
– et enfin, durant la période de révision proprement dite.
Relevez les intitulés et les sujets abordés. Repérez les définitions et le vocabulaire.
Vérifiez aussi les démonstrations qui permettent de construire les formules importantes
du cours.
Vous pouvez construire sur feuille une ”carte mentale” du cours sur laquelle peut apparaı̂tre les grandes idées, les définitions, les lois ou encore les formules ainsi que les liens
qui existent entre elles.
Vous pouvez pareillement utiliser un dictaphone pour enregistrer et ré-écouter le cours.
Vous pouvez faire des fiches.
2
Les exercices de TD sont en corrélation directe avec le cours. Il est inévitable de refaire
les exercices. Il est possible de trouver et de faire des exercices supplémentaires dans les
fascicules qui vous sont fournis, mais aussi sur internet ou à la bibliothèque.
Apprenez les formules et si c’est envisageable, leurs démonstrations, dans le but d’en comprendre le sens.
La révision ne se limiter pas à un déchiffrage du cours. Elle peut s’étendre à la recherche du sens lié au thème traité.
À l’approche de l’examen, il est possible de s’organiser en planifiant votre activité de
révision. Une semaine avant la date de l’épreuve, le cours est relu. Plusieurs séances d’une
quinzaine de minutes sont envisagées durant cette période afin de solliciter à plusieurs
reprises vos facultés.
Éviter les révisions intensives la veille de l’évaluation.
En cas de difficulté, demandez conseil à vos enseignants.
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3
Notation
Sauf cas contraire, les symboles utilisés sont issus des recommandations de l’AFNOR.
~a, a
C
Ec
Ep
~ex , ~ez , ~ez
f
G
~g , g
i
J
K
L
~
L
~
M
m
p~
q
R
R
~r, r
t
T
~v , v
x, y, z
r, θ, z
r, θ, φ
ϕ
ω
Accélération d’un point A dans R et sa norme
Capacité du condensateur
Énergie cinétique
Énergie potentiel
Vecteurs unitaires du repère cartésien
Fréquence
Centre de gravité
Champ de pesanteur et sa norme
Intensité
Moment d’inertie
Raideur du ressort
Inductance de la bobine
Moment cinétique
Moment d’une force
Masse
Impulsion, quantité de mouvement
Charge électrique
Référentiel
Résistance
Vecteur position d’un point A et sa norme
Temps
Période
Vecteur vitesse d’un point A et sa norme
Coordonnées cartésiennes de ~r
Coordonnées cylindriques de ~r
Coordonnées sphériques de ~r
Déphasage
Pulsation temporelle
Chapitre 1
Les oscillateurs amortis - Facteur de qualité
Les oscillateurs harmoniques non-amortis sont des systèmes conservatifs et idéaux.
L’expérience montre qu’une perte d’énergie est à l’œuvre au cours de tous les processus physiques que nous étudions 1 . Afin de rendre compte de cette dissipation d’énergie,
nous allons introduire dans les mécanismes qui sont représentés dans ce cours des forces de
frottement et, par conséquent dans l’équation du mouvement, un terme dissipatif. L’introduction de ce terme a des effets sur la nature de la solution. Des régimes de fonctionnement
sont distingués en fonction de la qualité du dispositif.
Les sections suivantes présentent quelques d’oscillateurs amortis ainsi que la notion
de facteur de qualité. Les régimes de fonctionnement de ces oscillateurs avec un faible
amortissement, un fort amortissement et un amortissement critique seront ensuite décrits.
1.1 Le pendule élastique amorti
Les forces de frottement ont été le sujet d’étude de nombre de savants souhaitant
mieux rendre compte du monde qui les entoure. Parmi eux, Stokes, Coulomb et Newton
ont proposé respectivement la description de la force de frottement visqueux 2 , la force de
frottement solide 3 et la force de frottement de Newton.
La force de frottement de Coulomb met en relation la force nécessaire pour déplacer
un objet en fonction de la charge qui lui est appliquée. Cette approche introduit la notion
de coefficient de frottement, µ, très utile en tribologie 4 .
Ff = −sgn(v) µFN
où Ff est la force de frottement et FN , la force normale appliquée sur le système considéré.
La force de frottement de Newton illustre la dissipation d’énergie qui peut apparaı̂tre
dans les corps où la viscosité est très élevée, tels que le miel, la lave ou les bitumes. Elle
1.
2.
3.
4.
Voir le cours de Thermodynamique de l’ENIT - semestre 2.
aussi nommée frottement de Stokes ou frottement fluide.
encore appelé frottement de Coulomb.
La science qui a pour objet l’étude du frottement, de l’usure et de la lubrification
5
s’exprime en fonction du carrée de la vitesse de déplacement du système :
Ff = −h v 2
où h est le facteur d’amortissement 5 .
Cette partie traite uniquement de la force de frottement visqueux proposée par Stockes.
Son rôle est exprimé en fonction du freinage qu’elle provoque sur la trajectoire du mobile
étudié. Ainsi, elle est écrite telle que :
F~f = −h ~v
L’étude du pendule élastique équipé d’un dispositif d’amortisseur réalise un système
amorti (Fig. 1.1). La mise en équation de ce problème va ainsi permettre de comprendre
l’effet de cette force de frottement sur un système mécanique.
g
k
h
Fr
x
L1
R
O
m
P
Figure 1.1 – Pendule élastique constitué d’un ressort accompagné par un dispositif d’amortissement.
– Le système est représenté par le centre d’inertie de la masselotte.
– Le référentiel est ROx . L’axe Ox est vertical ascendant, et x est la grandeur vibratoire.
– Le poids P~ , la force de rappel F~r et la force de frottement visqueux F~f agissent sur
le système.
• Le poids vaut :
P~ = m~g = −mg ~ex
• La force de rappel est définit telle que :
F~R = −K (x − L0 ) ~ex
• La force de frottement vaut :
dx
~ex
F~f = −h ~v = −h
dt
5. La désignation de coefficient de frottement est aussi utilisée.
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6
D’après la seconde loi de Newton, la somme de ces 3 forces est proportionnelle à l’accélération :
P~ + F~R + F~f = m ~a
dx
d2 x
−mg ~ex − K (x − L0 ) ~ex − h
~ex = m 2 ~ex
dt
dt
(1.1)
Un changement de variable approprié permet de réécrire cette équation sans le terme
relatif au poids par un raisonnement analogue à celui employé pour le pendule élastique
non amorti (Sec. ??). Ainsi l’équation 1.1 devient :
d2 X
dX
= m 2
dt
dt
d2 X
h dX K
+ X = 0
+
dt2
m dt
m
−KX −h
(1.2)
Comme dans le cas de l’oscillateur harmonique non-amorti, la pulsation propre du système
ω0 est définit comme égale à :
r
K
ω0 =
m
Il apparaı̂t un nouveau terme associé au paramètre d’amortissement. L’analyse dimensionnel de ce terme montre qu’il est équivalent à l’inverse d’une durée, ainsi, on définit la
durée de relaxation, τe , telle que :
h
τe =
m
Cette durée de relaxation est le temps pour lequel l’amplitude des oscillations est divisée
par 1, 5. L’équation différentielle du pendule élastique amorti peut alors s’écrire sous forme
canonique :
1 dX
d2 X
+
+ ω02 X = 0
2
dt
τe dt
ou encore
d2 X
dX
+ 2µ
+ ω02 X = 0
2
dt
dt
(1.3)
Le paramètre 2 µ est parfois introduit car il contribue à simplifier la résolution de l’équation
différentielle.
1.2 Le circuit RLC en régime libre
le circuit RLC (Fig. ??) qui a est présenté dans le paragraphe ?? ne contient pas de
résistance et ne dissipe donc pas d’énergie. Si cette résistance est réintroduite dans le
circuit alors la loi des mailles associé au circuit RLC devient :
uc + R C
d uc
d2 uc
+ LC
= ue
dt
dt2
Si on souhaite que le régime soit libre, il faut annuler la tension ue dans le circuit, d’où :
1
d2 uc R d uc
+
+
uc = 0
dt2
L dt
LC
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7
avec la pulsation propre ω0 et le temps de relaxation τe :
1
ω0 = √
LC
et
2µ =
R
1
=
τe
L
La forme canonique de l’équation des oscillateurs libres amortis est ainsi retrouvée, cette
fois appliquée au circuit RLC :
d2 uc
d uc
+ ω02 uc = 0
+ 2µ
2
dt
dt
(1.4)
Cette équation peut aussi être écrite en fonction de la charge q du condensateur comme
dans le paragraphe ?? :
d2 q
dq
+ ω02 q = 0
+ 2µ
2
dt
dt
(1.5)
1.3 L’équivalence mécanique-électricité
Si l’on considère l’équation du pendule élastique amorti (eq. 1.3) et celle du circuit
RLC (eq. 1.5), on peut faire apparaı̂tre des équivalences entre les différents termes.
h
K
d2 q R d q
1
d2 X
+
+
X
=
0
+
+
q=0
2
2
dt
m dt m
dt
L dt
LC
Dans ces 2 cas, la grandeur vibratoire est soit la position de la masselotte, soit la charge
Mécanique
Électricité
x
q
v
i
h
R
m
L
k
C −1
Table 1.1 – Termes équivalents entre la mécanique et l’électricité.
du condensateur. La vitesse de la masselotte est corrélée au déplacement des charges dans
le circuit, c’est-à-dire le courant électrique. Le coefficient de frottement est ainsi relié à
la résistance du circuit, la raideur du ressort à l’inverse de la charge du condensateur,
l’inertie 6 à l’inductance de la bobine.
Cette équivalence est très pratique dans le cadre de la simulation des systèmes mécaniques
par des dispositifs électriques.
1.4 Les régimes de fonctionnement - Le facteur de qualité
Les systèmes présentés dans les 2 parties précédentes sont régies par des équations
différentielles linéaires du second ordre dont la forme générale est semblable. Si la grandeur
vibratoire 7 est notée X(t) alors d’une manière commune, on a :
d X(t)
d2 X(t)
+
2
µ
+ ω02 X(t) = 0
dt2
dt
(1.6)
6. La masse du système.
7. Il faut adapter la grandeur vibratoire en fonction du problème à analyser.
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8
La résolution de cette équation, une fois posée sous sa forme canonique, consiste établir
une solution dont la forme générale est :
X(t) = A exp(r1 t) + B exp(r2 t)
(1.7)
dans laquelle r1 et r2 sont les racines de l’équation caractéristique (eq. 1.8) apparentée à
l’équation différentielle linéaire du second ordre (eq 1.6) :
r2 + 2 µ r + ω02 = 0
(1.8)
Le déterminant de l’équation 1.8 est égale à :
∆ = (2 µ)2 − 4 ω02
= 4 µ2 − ω02
(1.9)
Trois situations sont distinguées en fonction du signe du déterminant. C’est-à-dire,
si ∆ est positif, négatif ou nul. Ces 3 situations permettent de déduire 3 régimes de
fonctionnement de l’oscillateur amorti. il est possible d’introduire un facteur de qualité,
noté Q, pour des raisons de commodité. Il est définit tel que :
Q = ω0 τe =
ω0
2µ
(1.10)
Ce paramètre contient à la fois le terme lié à la pulsation temporelle du système et celui
associé à l’amortissement, c’est un nombre sans dimension. Ce facteur permet d’identifier
si le régime est fortement amorti, faiblement amorti ou critique. La description de ces
3 régimes est proposé à partir de l’étude des racines de l’équation caractéristique et des
solutions de l’équation du mouvement oscillant qui en découlent.
1.4.1 Le régime fortement amorti
Si ∆ > 0, alors Q < 21 . Ainsi, l’équation caractéristique admet deux solutions réelles :
√
q
−2 µ ± ∆
(1.11)
r1,2 =
= −µ ± µ2 − ω02
2
dans le cas où le facteur de qualité est supérieur à 12 , le système subit un fort amortissement. Le retour à la position d’équilibre se réalise très lentement et sans oscillation. En
effet :
X(t) = A exp(r1 t) + B exp(r2 t)
q
q
2
2
2
2
= A exp µ + µ − ω0 t + B exp µ − i µ − ω0 t
= exp(−µ t) [A exp (β t) + B exp (−β t)]
D’après l’équation de X(t), le mouvement est apériodique. Le terme β 8 vaut :
q
β = µ2 − ω02
8. Le terme β n’est pas considéré comme une pulsation puisque dans le cas d’un régime fortement
amorti, il n’y a pas d’oscillation autour de la position d’équilibre.
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9
X(t)
exp(-µt) [A exp(βt)+ B exp(-βt)]
t
Figure 1.2 – Exemple de solution en régime fortement amorti. Le système retourne à sa position
d’équilibre très lentement.
Compte tenu de ce résultat, il est possible de représenter la solution sous les formes
généralisées suivantes :
X(t) = C exp(−µ t) sinh(β t + ϕ)
ou X(t) = C exp(−µ t) cosh(β t + ϕ0 )
ou encore X(t) = C exp(−µ t) [cosh(β t) + sinh(β t)]
1.4.2 Le régime faiblement amorti - pseudo-période
si ∆ < 0, alors Q > 21 . Les racines de l’équation du second degré sont complexes :
r1,2
√
−2 µ ± i −∆
=
2q
= −µ ± i
ω02 − µ2
(1.12)
Par conséquent, la solution de l’équation 1.6 peut s’écrire sous la forme suivante :
X(t) = A exp(r1 t) + B exp(r2 t)
q
q
2
2
2
2
= A exp µ + i ω0 − µ t + B exp µ − i (ω0 − µ ) t
= exp(−µ t) [A exp (iω 0 t) + B exp (−iω 0 t)]
avec ω 0 , la pseudo pulsation :
q
ω = ω02 − µ2
0
D’un manière générale, la solution associée à ce régime peut être représentée par
une fonction sinusoı̈dale dont l’amplitude décroı̂t en fonction d’un terme exponentiel,
exp(−µ t) :
X(t) = C exp(−µ t) cos(ω 0 t + ϕ)
ou X(t) = C exp(−µ t) sin(ω 0 t + ϕ0 )
ou encore X(t) = C exp(−µ t) [cos(ω 0 t) + cos(ω 0 t)]
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10
X(t)
C exp(-µt)
C exp(-µt) cos(ω’t+φ)
t
C exp(µt)
Figure 1.3 – Exemple de solution en régime faiblement amorti. X(t) est enveloppé par les courbes
d’équation C exp(−µ t) et C exp(−µ t).
La pseudo-période et la pseudo fréquence des oscillations peuvent être définies à partir de
la pseudo-pulsation.
1
ω0
2π
et f 0 = 0 =
T0 = 0
ω
T
2π
La décroissance de l’amplitude des oscillations peut être quantifiée. Soit une vibration
X(t) et soit cette même vibration après n pseudo-périodes T 0 , notée X(t + nT 0 ) et dont
l’expression est :
X(t + n T 0 ) = C exp [−µ (t + n T 0 )] cos [ω 0 (t + n T 0 ) ϕ]
Le rapport entre la vibration à l’instant t + n T 0 et celle à l’instant t donne :
C exp [−µ (t + n T 0 )] cos [ω 0 (t + n T 0 ) ϕ]
X(t + n T 0 )
=
X(t)
C exp(−µ t) cos(ω 0 t + ϕ)
= exp (−n µ T 0 )
et donc
0
−n µ T = ln
X(t + n T 0 )
X(t)
Un paramètre évaluant la décroissance de l’amplitude peut être proposé, il s’agit du
décrément logarithmique. Il est noté Λ et est égale à :
1
Λ = µ T = ln
n
0
X(t)
X(t + n T 0 )
Ce décrément logarithmique Λ peut également être exprimé en fonction de la pseudopulsation, ω 0 ou du temps de relaxation, τe :
µ
T0
Λ = 2π 0 =
ω
2 τe
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11
1.4.3 Le régime critique
Il est possible de faire évoluer un oscillateur d’un régime à l’autre en modifiant les
paramètres de fonctionnement du système. Il existe un régime intermédiaire entre le régime
fortement amorti et celui faiblement amorti. Il s’agit du régime critique. Il correspond à
la situation pour laquelle ∆ = 0, et le facteur de qualité, Q est égale à 12 . Il y a alors une
racine double réelle.
r = −µ
(1.13)
X(t)
exp(-µt) (A + Bt)
t
Figure 1.4 – Exemple de solution en régime critique. Le retour à la position d’équilibre est le plus
rapide dans cette situation.
La solution qui décrit le mouvement de l’oscillateur est alors :
V (t) = A exp(−µ t)
(1.14)
Cependant, une autre solution est valable pour résoudre l’équation du mouvement (Eq. 1.6)
de la forme :
V (t) = B t exp(−µ t)
(1.15)
Il est possible de fabriquer une solution à partir de la combinaison linéaire des 2 précédentes.
V (t) = (A + B t) exp(−µ t)
(1.16)
Cette solution est considérée comme la solution générale de l’équation 1.6 en régime
critique.
1.5 Résumé
L’introduction d’un terme dissipatif dans l’équation du mouvement des système vibratoire conduit au retour de l’oscillateur à sa position d’équilibre au bout d’un temps plus
ou moins long.
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12
Le facteur de qualité permet de distinguer 3 régimes de fonctionnement des oscillateurs
libres amortis.
ω0
Q = ω 0 τe =
2µ
• Le régime faiblement amorti, pour lequel le système retourne à sa position d’équilibre
après plusieurs mouvements alternatifs autour de sa position d’équilibre avec une
pseudo période ω 0 .
q
ω0 =
ω02 − µ2
• Le régime critique. Dans ce cas, le système revient à sa position d’équilibre en un temps
le plus court possible sans oscillations.
• Le régime fortement amorti, qui est apériodique, comme le régime critique .
Selon l’objectif que l’on considère, il est possible d’ajuster les caractéristiques de
l’oscillateur et d’obtenir le régime adéquat.
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13
Chapitre 2
Les oscillateurs forcés - Résonance
2.1 Le pendule élastique forcé
Soit une masselotte de masse m reliée à un moteur excitateur par l’intermédiaire d’un
ressort de raideur K, d’une poulie et d’une bielle. Cette masselotte est plongée dans un
liquide, qui produit une résistance vis-à-vis du mouvement de la masselotte. Le coefficient
d’amortissement associé à la force de frottement est h. Le moteur produit sur la masselotte
une force excitatrice dépendant du temps, périodique et est nommée F~e (t), telle que :
F~e (t) = Fe cos(ω t + ϕe ) ~ex
où Fe est l’amplitude de la force excitatrice, ω, sa pulsation temporelle 1 et ϕe , sa phase
à l’origine.
ω
L2
g
x
Fr
R
O
m
P
Figure 2.1 – Pendule élastique forcé, entraı̂né par une force excitatrice Fe (t).
– Le système est représenté par le centre d’inertie de la masselotte.
– Le référentiel est ROx . L’axe Ox est vertical ascendant, et x est la grandeur vibratoire.
1. ou vitesse angulaire.
14
– Le système est soumis à l’action du poids P~ , de la force de rappel F~r , de la force de
frottement visqueux F~f et de la force excitatrice F~e .
• Le poids vaut :
P~ = m~g = −mg ~ex
• La force rappel est définit telle que :
F~R = −K (x − L0 ) ~ex
• La force de frottement vaut :
dx
~ex
F~f = −h ~v = −h
dt
• Et comme cela à déjà été écrit, la force excitatrice est égale à :
F~e (t) = Fe cos(ω t + ϕe ) ~ex
D’après la seconde loi de Newton, la somme de ces 3 forces est proportionnelle à l’accélération :
P~ + F~R + F~f + F~e (t) = m ~a
dx
d2 x
−mg ~ex − K (x − L0 ) ~ex − h
~ex + Fe cos(ω t + ϕe ) ~ex = m 2 ~ex
dt
dt
Avec le changement de variable adéquat, la forme canonique de l’équation du mouvement
s’écrit :
dX
Fe
d2 X
+ 2µ
+ ω02 · X =
cos(ω t + ϕe )
2
dt
dt
m
(2.1)
Cette équation est celle d’un oscillateur forcé à un degré de liberté.
2.2 Le circuit RLC en régime forcé
En considérant le circuit RLC (Fig. ??) qui a est présenté dans le paragraphe ?? non
plus en régime libre mais relié à une source de tension alors l’expression de la loi des
mailles conduit à :
d uc
d2 uc
+ LC
= ue avec ue = um cos(ω t + ϕe )
uc + R C
dt
dt2
ou encore avec la forme canonique :
d2 uc
d uc
+ 2µ
+ ω02 uc = ue
2
dt
dt
(2.2)
dans laquelle on rappelle que la pulsation propre ω0 et le temps de relaxation τe valent :
1
1
R
et 2 µ =
=
ω0 = √
τe
L
LC
En fonction de la charge q du condensateur cela donne :
d2 q
dq
um
+ 2µ
+ ω02 q =
cos(ω t + ϕe )
2
dt
dt
L
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(2.3)
15
2.3 Équation des oscillateurs forcées
Les équations 2.1 et 2.3 sont des équations différentielles linéaires du second ordre avec
un second membre. Si l’on considère que la grandeur vibratoire est X(t) alors l’équation
de l’oscillateur forcé s’écrit :
Fe (t)
d2 X(t)
d X(t)
+ ω02 X(t) =
+ 2µ
2
dt
dt
m
(2.4)
Le cas qui sera traité dans ce fascicule est celui pour lequel Fe (t) est une fonction générale
du temps harmonique, périodique.
Il existe 2 solutions à l’équation différentielle de X(t) (Eq. 2.4) :
– La première partie représente la solution de l’équation différentielle linéaire du second ordre sans second membre ;
– La seconde représente la solution particulière de l’équation complète.
Théorème 1 (Principe de superposition) Si, pour un système linéaire, il existe 2 solutions x1 (t) et x2 (t), toute combinaison linéaire ou superposition linéaire de ces solutions
est encore solution du système.
X(t) résulte ainsi de la combinaison linéaire de Xe (t) avec Xp (t).
X(t) = Xe (t) + Xp (t)
2.3.1 La solution de l’équation sans second membre
Cette solution est celle de l’équation sans second membre qui décrit le comportement
d’un oscillateur amorti (eq. 1.6) :
d X(t)
d2 X(t)
+ 2µ
+ ω02 X(t) = 0
2
dt
dt
Ce cas a été étudié dans le paragraphe 1.4. Cette solution décroı̂t de façon exponentielle
au cours du temps compte tenu du terme exponentiel de la forme exp(−µ t) qui apparaı̂t
quelque soit le régime. Au bout d’un temps suffisamment long, cette solution s’annule.
2.3.2 La solution particulière
Une solution avec une forme similaire à l’excitatrice Fe (t) est également valable pour
résoudre l’équation complète. Ainsi,
Xp (t) = D cos(ω t + ϕx )
dans laquelle ω est la pulsation temporelle de l’excitateur.
L’étude de la solution générale X(t) montre qu’il apparaı̂t 2 régimes de fonctionnement
pour l’oscillateur forcé, le régime transitoire dès le démarrage de la sollicitation puis le
régime permanent 2 .
2. Le régime permanent est aussi appelée le régime forcé ou le régime établi.
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16
2.3.3 Le régime transitoire
Sachant que X(t) est l’addition de la solution particulière Xp (t) avec la solution de
l’équation sans second membre Xe (t), le mouvement résultant de cette addition pourra
prendre diverse forme et dépendre du régime d’amortissement du système. La présence
du terme exponentiel conduit à une extinction de la solution Xe (t) au cours du temps et
à l’évanouissment du régime transitoire au profit d’un régime permanent pour lequel il ne
semeure que la solution Xp (t).
Si toutefois, l’amortissement est négligeable, la solution Xe se maintien au cours du
temps et il n’y a pas de régime transitoire, alors la solution est de la forme :
X(t) ≈ Xe (t) + Xp (t) ≈ A cos(ω0 t − ϕ0x ) + D cos(ω t + ϕx )
Selon la situation, cela correspond à l’addition de vibrations isochrones, de vibrations
avec des fréquences proches ou de vibrations avec des fréquences différentes vues au paragraphe ?? :
• Par conséquent, si Xe (t) et Xp (t) sont isochrones, les amplitudes des oscillations
dépendent de la différence de phase entre Xe (t) et Xp (t).
• Si les pulsations temporelles de Xe (t) et Xp (t) sont différentes, les vibrations sont
anharmoniques.
• Si elle sont proches, des battements apparaissent.
2.3.4 Le régime permanent
Au cours du régime permanent, il n’existe plus que la solution particulière Xp (t) et
donc :
X(t) ≈ Xp (t) ≈ D cos(ω t + ϕx )
Dans les prochains paragraphes, nous considéreront uniquement ce régime établi afin
d’étudier une particularité des oscillateurs forcés : le phénomène de résonance.
2.4 Élongation de l’oscillateur
Soit l’équation d’un oscillateur forcé :
d X(t)
Fe (t)
d2 X(t)
2
+
2
µ
+
ω
X(t)
=
0
dt2
dt
m
La résolution de cette équation dans le cas d’un régime permanent est proposée en utilisant la représentation complexe de la fonction X(t). Cela conduit à écrire l’équation du
mouvement telle que :
d2 X(t)
d X(t)
F e (t)
2
+
2
µ
+
ω
X(t)
=
0
dt2
dt
m
ainsi
X(t) = X m exp(j ω t)
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17
avec l’amplitude complexe X m égale à :
X m = Xm exp(j ϕx )
On rappelle que Xm est l’amplitude et varphix le déphasage qui sont associés à l’élongation.
Pour utiliser cette solution dans l’équation du mouvement, la solution X(t) est dérivée
2
et d dtX(t)
:
une première fois puis une seconde fois. On calcule ainsi d X(t)
2
dt
d X(t)
= j ω X(t)
dt
(2.5)
d2 X(t)
= −ω 2 X(t)
2
dt
(2.6)
En utilisant ces résultats dans l’équation 2.4, cela donne :
Fe
−ω 2 + 2 j µ ω + ω02 X(t) =
exp [j (ω t + ϕe )]
m
Fe
exp(j ω t)
−ω 2 + 2 j µ ω + ω02 X m exp(j ω t) =
m
avec
F e = Fe exp(j ϕe )
où Fe et ϕe désignent respectivement l’amplitude et le déphasage de la force excitatrice.
À partir de ce résultat, l’amplitude complexe est alors calculée :
Xm =
Fe exp(j ϕe )
m [(ω02 − ω 2 ) + 2 j µ ω]
(2.7)
La solution réelle de cet oscillateur forcé en régime permanent peut s’écrire :
X(t) = Xm cos(ω t + ϕx )
où l’amplitude de l’élongation Xm vaut :
Xm = |X m | =
ainsi,
Xm
p
X m X ∗m
Fm
1
2
2
2
m (ω0 − ω ) + (2 µ ω)2
(2.8)
et la différence de phase entre l’élongation et la force excitatrice est :
tan(ϕx − ϕe ) =
2µω
ω 2 − ω02
(2.9)
L’amplitude et la phase de la vibration produite suite à l’excitation du système par une
force extérieure est dépendante de la pulsation imposée ω.
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18
L’amplitude et le déphasage dépendent également de l’amortissement du système
compte tenu de l’expression de Vm et de ϕ qui contient le terme τe .
Par commodité, le terme de pulsation réduite, ωω0 est introduit dans les expressions
précédentes. De plus, le facteur de qualité est utilisé pour mettre en évidence l’influence
de l’amortissement sur les expressions de l’élongation Xm et du déphasage (ϕx − ϕe ) entre
l’élongation et l’excitatrice, ainsi :
Xm =
Fm
Q
K
1
ω
ω0
tan(ϕ − ϕe ) =
et
h
1 + Q2 ( ωω0 −
Q( ωω0
1
−
ω0
ω
i 21
ω0
)
ω
φ
100
π
2
Q=100 000
Q=0,001
Q=10
Q=0,1
Q=5
Q=0,2
Q=0,3
Q=3
10
Q=0,4
Q=0,5
Q=2
Q=0,707
Q=1,5
Q=1
Q=1,5
Q=1
Q=2
Q=0,707 1
0,1
Q=0,1
Q=0,2
Q=0,3
Q=0,4
Q=3
Q=0,5
Q=5
Q=10
Q=1000
ω
ω0
0,1
Figure 2.2 – Évolution de l’amplitude en fonction de ωω0 pour différentes valeurs de Q. Apparition du phénomène de
résonance.
Figure 2.3 – Déphasage entre l’oscillateur et la force excitatrice en fonction de
la pulsation réduite ωω0 .
Les élongations de l’oscillateur forcée évoluent en fonction de la pulsation réduite 3
(Fig. 2.2). On note que le facteur de qualité agit également sur les élongations.
Lorsque la pulsation de l’excitatrice est faible, l’oscillation est de faible amplitude. C’est
aussi le cas, lorsque la pulsation de l’excitatrice est élevée. Si le facteur de qualité est
suffisament élevé, on remarque que l’amplitude passe par un maximum. Ce maximum est
observé pour une pulsation réduite approximativement égale à 1 et est équivaut à :
Xmax =
Fm
Q
K
Dans le cas où le facteur de qualité est important, les élongations deviennent considérables.
Concernant le déphasage entre l’élongation et la force excitatrice (Fig. 2.3), on note
que :
– si la pulsation réduite est faible, alors le déphasage est nul ;
– au contraire, quand la pulsation réduite est égale à 1, le déphasage entre le mouvement de l’oscillateur et la force excitatrice est de π2 .
Cette différence de phase dépend également du facteur de qualité :
3. et donc de la pulsation, ou encore de la fréquence de l’excitarice.
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19
– si Q tend vers 0, la différence de phase évolue rapidement vers la valeur de π2 ;
– alors que, si Q tend vers ∞, le déphasage de π2 est atteint plus tard et la pulsation
réduite est proche de 1.
2.5 L’impédance mécanique
L’impédance mécanique Z est un nombre complexe. Elle est définit par le rapport de
l’amplitude complexe de la force excitatrice 4 , F m sur l’amplitude complexe de la vitesse
de l’oscillateur 5 .
Z=
Fm
Vm
(2.10)
L’impédance mécanique représente la manière avec laquelle l’oscillateur va s’opposer au passage du phénomène période associé à la force excitatrice. La partie réelle de
l’impédance est nommée la résistance R et la partie imaginaire, la réactance, X 6 .
Pour déterminer une expression de l’impédance, il est nécéssaire de calculer l’amplitude
complexe de la vitesse, d’après l’équation 2.5, la vitesse et telle que :
v=
d X(t)
=  ω X(t)
dt
=  ω Xm exp(ω t + ϕx )
π
)
2
π π π puisque  = cos
+  sin
= exp
2
2
2
Comme la vitesse des oscillations peuvent s’exprimer comme suit :
= ω Xm exp(ω t + ϕx +
v(t) = V m exp( ω t) avec V m = Vm exp( ϕv ) =  ωX m
alors on déduit que l’amplitude de la vitesse vaut :
Vm = ω Xm
et que la vitesse est en avance de phase de
π
2
par rapport à l’élongation, soit :
ϕv = ϕx +
π
2
L’expression de l’impédance peut alors être développée :
Z =
Fm
Fm
=
Vm
 ω Xm
4. La cause.
5. L’effet.
6. En électricté, on définit également l’inverse de l’impédance : l’admitance, Y =
(2.11)
1
Z
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20
En employant l’équation 2.7 qui explicite l’amplitude complexe des élongations de
l’oscillateur X m , il vient :
m [ω02 − ω 2 +  2 µ ω]
jω
K
= h + j mω −
ω
Z =
(2.12)
sachant que
h
K
et ω02 =
m
m
À partir de cette dernière expression, il est possible de représenter dans un référentiel
de Fresnel l’impédance de l’oscillateur forcé avec la composante réelle, h, et la composante
.
imaginaire, mω − K
ω
2µ =
Im
K/ω
mω
IZI
φ
h
O
Re
Figure 2.4 – Impédance mécanique représentée dans un repère de Fresnel.
Dans ces conditions, le module de l’impédance est :
2 # 21
K
|Z| = h2 + m ω −
ω
"
(2.13)
De plus, le déphasage entre la forcve excitatrice et la vitesse, noté ϕ = ϕe − ϕv , est
donné par l’expression suivante :
tan ϕ =
Si on considère la puslation réduite
ω
ω0
mω −
h
K
ω
(2.14)
et le facteur de qualité, Q :
Q = ω0 τe =
m ω0
h
on peut alors exprimer l’impédance autrement :
ω
ω0
Z = h 1+jQ
−
ω0
ω
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(2.15)
21
Il est également possible de déterminer le module |Z| et la phase ϕ de l’impédance :
"
|Z| =
(
2 # 21
2 ) 21
K
ω
ω
0
h2 + m ω −
=h 1+ Q
−
ω
ω0
ω
mω −
tan ϕ =
h
K
ω
=Q
ω
ω0
−
ω0
ω
(2.16)
(2.17)
2.6 Puissance dissipée dans un oscillateur forcé - Résonance
Par définition, la puissance dissipée dans l’oscillateur peut être calculée à partir du
produit scalaire de la force excitatrice F~ par la vitesse V~ .
P = F~ · V~
Comme
F~ = Fm cos(ω t + ϕe ) ~ex
et que
V~ = Vm cos(ω t + ϕv ) ~ex
D’après l’équation 2.11, on montre que :
Vm =
Fm
|Z|
par conséquent :
P = Fm cos(ω t + ϕe ) Vm cos(ω t + ϕv )
Fm2
=
[2 cos(ω t + ϕe + ϕv ) + cos(ϕ)]
2|Z|
(2.18)
puisque ϕ = ϕe − ϕv
La puissance varie donc de façon sinusoı̈dale autour d’une valeur moyenne. Cette valeur
moyenne < P > est égale à :
Fm2
cos ϕ
< P >=
2|Z|
(2.19)
À partir de la représentation de Fresnel, on est en mesure de déduire le cosinus de Z :
cos ϕ =
h
|Z|
(2.20)
la valeur moyenne de la puissance est alors :
< P >= h
Fm2
2|Z|2
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(2.21)
22
en tenant compte de l’expression de |Z| (Eq. 2.16), on exprime la valeur moyenne en
fonction du facteur de qualité et de la pulsation réduite :
< P >=
Fm2
2h
1
h 1 + Q ωω0 −
ω0
ω
(2.22)
i2
On note que lorsque la pulsation réduite est égale à 1 et la puisance moyene passe par un
maximum :
Pmax =
Fm2
2h
(2.23)
Figure 2.5 – Évolution de la puis-
Figure 2.6 – La puissance dissipée
sance moyenne < P > en fonction de la
pulsation réduite ωω0 . Le phénomène de
résonance se produit quand la pulsation
réduite vaut 1.
dans l’oscillateur dépend de aussi du facteur de qualité .
Le phénomène de résonance est défini à partir de la puissance dissipée dans l’oscillateur
qui est maximale lorsque la pulsation propre de l’excitatrice est égale à la pulsation propre
de l’oscillateur :
ω = ω0
On remarque que l’analyse de la courbe de l’élongation en fonction de la pulsation
réduite (Fig. 2.2) ne permet pas de faire le même constat, car le maximum de l’élongation
ne se retrouve pas précisément en ωω0 = 1, mais autour de cette valeur. Le maximum
l’élongation coincide avec le maximum de la puissance dissipée 7 lorsque le facteur de
qualité est élevé.
On indique que la résonance est aigüe quand le facteur de qualité Q est élevé. Au
contraire on dit qu’elle est floue quand le facteur de qualité est faible. Pour plus de
précision, on définit la notion de finesse de résonance,∆ω1,2 qui consiste à calculer la
largeur à mi hauteur du pic de résonance, c’est-à-dire les valeurs de la pulsation réduite,
ωω0 , pour lesquelles P = Pmax
. On montre que :
2
∆ω1,2 =
7. et donc quand
ω
ω0
Q
ω0
=1
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23
2.7 Résumé
• L’introduction d’une force excitatrice dans l’équation d’un dispositif vibratoire permet
de contruire un oscillateur forcé, dont l’équation horaire est :
Fe (t)
d2 X(t)
d X(t)
+ ω02 X(t) =
+ 2µ
2
dt
dt
m
(2.24)
• le mouvement vibratoire de l’oscillateur forcé se décompose en 2 temps :
1er temps Le régime transitoire, au cours duquel coexiste la solution particulière
et la solution générale de l’équation sans second membre. Ce régime n’est pas
approfondi en cours ;
2e temps Le régime établi ou régime forcé, dont la forme 8 est semblable à celle de
la force excitatrice qui impose sa pulsation au système ;
Cas particulier Si le dispositif n’est pas amorti, la solution de l’équation est une
combinaison linéaire la solution particulière et de la solution de l’équation sans
second membre.
• Lorsque la pulsation de l’excitatrice coı̈ncide avec la pulsation propre de l’oscillateur,
la puissance reçue par l’oscillateur est maximale. C’est le phénomène de résonance.
Durant ce phénomène les élongation et la vitesse de l’oscillateur deviennent parfois
impressionnants.
• Le facteur de qualité influence le phénomène de résonance :
– Si Q est élévé, la résonnance est aigüe ;
– si Q est faible, la résonance est flou.
8. Elle ne présente plus la solution de l’éqation sans second membre, qui disparaı̂t au bout d’un temps
suffisament long, compte tenu de l’amortissement de l’oscillateur
La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l’auteur.
24
Bibliographie
[1] J.-P. Pérez. Mécanique : fondements et applications. Masson, Paris (1997). 5e édition.
[2] R. F. J.-P. Pérez, R. Carles. Électromagnétisme : fondements et applications. Masson,
Paris (2006). 3e édition.
[3] J.-Y. F. S. B. J.-P. Pérez, C. Lagoute. Électronique : fondements et applications.
Masson, Paris (2006).
[4] Bergson. Évolution créatrice. Paris (1907), p. 318.
25