Oscillateurs amortis et forcés - Résonance

´
Ecole Nationale d’Ing´ enieurs de Tarbes
Ann´ee 2012-2013 Enseignements Semestres 5 - 5?et 7 App
Oscillateurs
amortis et forc´es - R´esonance
Intervenant
Karl DELB´ E Karl.Delb[email protected]
La publication et la diffusion compl`ete ou partielle
de ce document ne sont pas autoris´ees par l’auteur.

Table des mati`eres
Avant-propos 2
Notation 4
1 Les oscillateurs amortis - Facteur de qualit´e 5
1.1 Le pendule ´elastique amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Le circuit RLC en r´egime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 L’´equivalence m´ecanique-´electricit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Les r´egimes de fonctionnement - Le facteur de qualit´e . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Le r´egime fortement amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Le r´egime faiblement amorti - pseudo-p´eriode . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Le r´egime critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 R´esum´e ..................................... 12
2 Les oscillateurs forc´es - R´esonance 14
2.1 Le pendule ´elastique forc´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Le circuit RLC en r´egime forc´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 ´ Equation des oscillateurs forc´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 La solution de l’´equation sans second membre . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 La solution particuli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Le r´egime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4 Le r´egime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 ´ Elongation de l’oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 L’imp´edance m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Puissance dissip´ee dans un oscillateur forc´e - R´esonance . . . . . . . . . . . 22
2.7 R´esum´e ..................................... 24
Bibliographie 25
1

Avant-propos : La pr´eparation d’un cours `a
l’ENIT
J’aime `a penser qu’´etudier est un m´etier en soit. Ce m´etier n’est pas valoris´e dans
l’imm´ediat par un salaire ou une r´ecompense, mais c’est une ´epargne intellectuelle que
l’´etudiant fait fructifier durant son cursus, pour en b´en´eficier au moment le plus opportun
et en particulier quand il r´ealisera son activit´e professionnelle.
Dans les lignes qui suivent, je vous propose une m´ethode pour optimiser le b´en´eficie
de vos cours et vos travaux dirig´es (TD). Il ne s’agit que de suggestions et le lecteur est
libre de les suivre, de les modifier ou des les ´eviter.
Le cours `a venir peut ˆetre pr´epar´e au pr´ealable par la lecture de la partie qui sera
trait´ee. Des recherches peuvent aussi ˆetre faite sur internet pour se familiariser avec le
vocabulaire et les th`emes qui seront abord´es.
Une ´ecoute attentive et active lors de la s´eance est recommand´ee. Elle n´ecessite de la
concentration. Elle peut ˆetre accompagn´ee d’une prise de notes sur un support qui servira
`a compl´eter le fascicule et l’ensemble des documents qui constituent le cours. Lorsqu’un
´el´ement du cours n’est pas bien compris, poser des questions. ´ Eviter l’installation de doutes
dans votre apprentissage.
Pour retenir un cours, il est n´ecessaire de le relire plusieurs fois :
– une fois quelques heures apr`es la s´eance ;
– une fois la semaine suivante ;
– une fois un mois plus tard (quand cela reste possible) ;
– et enfin, durant la p´eriode de r´evision proprement dite.
Relevez les intitul´es et les sujets abord´es. Rep´erez les d´efinitions et le vocabulaire.
V´erifiez aussi les d´emonstrations qui permettent de construire les formules importantes
du cours.
Vous pouvez construire sur feuille une ”carte mentale” du cours sur laquelle peut ap-
paraˆıtre les grandes id´ees, les d´efinitions, les lois ou encore les formules ainsi que les liens
qui existent entre elles.
Vous pouvez pareillement utiliser un dictaphone pour enregistrer et r´e-´ecouter le cours.
Vous pouvez faire des fiches.
2

Les exercices de TD sont en corr´elation directe avec le cours. Il est in´evitable de refaire
les exercices. Il est possible de trouver et de faire des exercices suppl´ementaires dans les
fascicules qui vous sont fournis, mais aussi sur internet ou `a la biblioth`eque.
Apprenez les formules et si c’est envisageable, leurs d´emonstrations, dans le but d’en com-
prendre le sens.
La r´evision ne se limiter pas `a un d´echiffrage du cours. Elle peut s’´etendre `a la re-
cherche du sens li´e au th`eme trait´e.
`
A l’approche de l’examen, il est possible de s’organiser en planifiant votre activit´e de
r´evision. Une semaine avant la date de l’´epreuve, le cours est relu. Plusieurs s´eances d’une
quinzaine de minutes sont envisag´ees durant cette p´eriode afin de solliciter `a plusieurs
reprises vos facult´es.
´
Eviter les r´evisions intensives la veille de l’´evaluation.
En cas de difficult´e, demandez conseil `a vos enseignants.
La publication et la diffusion compl`ete ou partielle de ce document ne sont pas autoris´ees par l’auteur. 3

Notation
Sauf cas contraire, les symboles utilis´es sont issus des recommandations de l’AFNOR.
~a, a Acc´el´eration d’un point A dans Ret sa norme
CCapacit´e du condensateur
Ec´ Energie cin´etique
Ep´ Energie potentiel
~ex, ~ez, ~ezVecteurs unitaires du rep`ere cart´esien
fFr´equence
GCentre de gravit´e
~g, g Champ de pesanteur et sa norme
iIntensit´e
JMoment d’inertie
KRaideur du ressort
LInductance de la bobine
~
LMoment cin´etique
~
MMoment d’une force
mMasse
~p Impulsion, quantit´e de mouvement
qCharge ´electrique
RR´ef´erentiel
RR´esistance
~r, r Vecteur position d’un point A et sa norme
tTemps
TP´eriode
~v, v Vecteur vitesse d’un point A et sa norme
x, y, z Coordonn´ees cart´esiennes de ~r
r, θ, z Coordonn´ees cylindriques de ~r
r, θ, φ Coordonn´ees sph´eriques de ~r
ϕD´ephasage
ωPulsation temporelle