Oscillateur harmonique - Régime forcé

MPSI - Mécanique II - Oscillateur harmonique - Régime forcé
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Oscillateur harmonique - Régime
forcé
avec 2α =
2
Table des matières
Régime transitoire
La solution est la somme :
1 Oscillateur harmonique amorti par frottement visqueux et soumis à une excitation sinusoı̈dale
1
2 Régime transitoire
1
3 Régime sinusoı̈dal forcé - Utilisation des complexes
1
4 Résonance en élongation
2
5 Résonance en vitesse
C’est la suite du cours Oscillateur harmonique - Régime libre .
On se limitera à une excitation sinusoı̈dale.
1
h
k
et ω02 =
m
m
2
~
R
ẍ + 2αẋ + ω02 x = 0
La solution de cette équation différentielle tend vers 0 au bout de quelques
1
(voir cours Oscillateur harmonique - Régime libre ).
τ=
2α
x(p) , solution particulière, est de la forme
La solution particulière oscille avec la même pulsation que l’excitation.
On parle de régime transitoire tant que x(h) n’est pas négligeable.
3
F~
x
l > l0
x(h) , solution homogène, est solution de
x(p) = Xm cos(ωt + ϕ)
Oscillateur harmonique amorti par frottement visqueux et soumis à une excitation sinusoı̈dale
T~
x = x(h) + x(p)
Régime sinusoı̈dal forcé - Utilisation des complexes
On parle de régime sinusoı̈dal forcé lorsque x(h) devient négligeable
x = x(h) + x(p) ≃ x(p)
P~
On travaille alors avec les complexes
Nous retrouvons les forces du régime libre (force de rappel, amortissement) qui
constituent la partie homogène de l’équation différentielle plus la force excitatrice
qui constitue le second membre :
mẍ = −kx − hẋ + F0 cos ωt
F0
ẍ + 2αẋ + ω02 x =
cos ωt
m
Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 2007
x = Xm exp j(ωt + ϕ) = X m exp jωt
avec X m = Xm exp jϕ
x est solution de
ẍ + 2αẋ + ω02 x =
F0
exp jωt
m
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qui devient
(−ω 2 + 2αjω + ω02 )X m =
Xm
4
F0
m
1
Il y a résonance en élongation seulement si Q > √ (voir le cours d’électrociné2
tique Régime sinusoı̈dal forcé).
F0
m
= 2
ω0 − ω 2 + j2αω
Le déphasage ϕ est égale à l’argument de X m
Résonance en élongation
ϕ = arg X m = − arctan
L’amplitude Xm est égale au module de X m
Xm
F0
m
= |X m | = p 2
(ω0 − ω 2 )2 + 4α2 ω 2
que l’on peut aussi écrire en introduisant le facteur de qualité Q et le rapport
ω
=x
ω0
F0
k
X =s
m
(1 − x2 )2 +
5
Résonance en vitesse
v=
dx
dt
v=
dx
= jωx = jωX m exp jωt = V m exp jωt
dt
x2
Q2
kXm
F0
x
2αω
= − arctan
2
Q(1 − x2 )
−ω
ω02
F0
m
= jω 2
ω0 − ω 2 + j2αω
V m = jωX m
L’amplitude Vm est égale au module de V m
Vm
Q=5
F0
m
= |V m | = ω p 2
(ω0 − ω 2 )2 + 4α2 ω 2
que l’on peut aussi écrire en introduisant le facteur de qualité Q et le rapport
ω
=x
ω0
1
Q = 0, 5
Q = 0, 2
1
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x
Vm = s
1+
F0
h
Q2
1
x−
x
2
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hVm
F0
1
Q = 0, 2
Q = 0, 5
Q=5
x
1
Il y a toujours résonance en vitesse.
Le déphasage ϕv est égale à l’argument de V m
ϕv = arg V m =
π
π
2αω
= +ϕ
− arctan 2
2
2
ω0 − ω 2
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