Exercices sur les intégrales (de Riemann)

Intégrale de Riemann – Calcul d’intégrales et de primitives
Objectifs :
1- Savoir utiliser dans des cas simples la définition de l’intégrale
2- Savoir utiliser les propriétés de l’intégrale comme la formule de la moyenne.
3- Les élèves doivent gérer seuls le calcul des primitives des fractions rationnelles.
Pour les autres cas, un minimum de réflexion est le bienvenu, et si cela ne suffit
pas, une indication de changement de variable par l’enseignant peut débloquer la
situation…
4- Il faut faire un ou deux calculs simples utilisant les exponentielles complexes.
THEME 1 : définition de l’intégrale (ne pas dépasser 1h 30 sur ce thème).
Exercice
1.
1. Calculer les limites en des suites dont les termes généraux sont :
n
nk=1
1
u= n+k
n-1 -k/n
n2k=0
1
v = k e
n
2
n-1
n33
k=0
(2k)
w= n +(2k)
n1/n
nk=1
k
t = (1+ )
n
2. Calculer
b
ax²dx
à l’aide de la définition de l’intégrale.
Exercice
2.
C’est aussi un problème de révision sur le programme du 1er semestre.
Soit
α
,
α1
. Soit
2
f: t ln(α -2αcos(t)+1)
.
1. Pour quelle raison f est-elle intégrable sur
0,π
?
2. Montrer, en utilisant les racines 2n-ièmes de 1, que pour
n
*, on a :
2n
n-1 2
k=0
kπ (α -1)(α-1)
(α -2αcos( )+1)=
n(α+1)
.
3. Calculer
0f(t)dt
pour
α1
, puis pour
α1
à l’aide de la définition de
l’intégrale.
THEME 2 : propriétés de l’intégrale (ne pas dépasser 2 séances de TD sur ce thème)
Exercice
3.
Soit f une fonction continue sur
0,1
. On considère la suite
nn
(I ) 
définie par
1n
n0
I = x f(x)dx
. Montrer que
nn
(I ) 
est convergente.
Exercice
4.
A l’aide de la formule de la moyenne, déterminer un équivalent en de
-t
x+1
x
e
I(x)= dt
t+1
.

Exercice
5.
Soit f la fonction définie par
4x
x
cos(t)
f(x)= dt
t
.
1. Montrer que f est définie sur * et de classe C1 sur *.
2. Montrer que f est paire.
3. A l’aide de la formule de la moyenne, montrer que
x0
Limf(x)=ln(4)
.
4. On prolonge f en posant
f(0)=ln(4)
. Montrer que f ainsi prolongée est de classe C1
sur .
5. A l’aide d’une intégration par partie, montrer que
x+
Limf(x)=0
.
Exercice
6.
Soit f une fonction continue sur un intervalle
a, b
.
1. Montrer à l’aide d’un changement de variable que
bb
aa
f(x)dx= f(a+b-t)dt
. En déduire
la valeur de
3π8
π8
I= ln(tan(x))dx
.
2. Montrer que si
f(a+b-x)=f(x)
pour tout
x a, b
, alors
bb
aa
x f(x) dx = f(x) dx
. En
déduire la valeur de
π
2
0
xsin(x)
K= dx
1+cos (x)
.
Exercice
7.
Calculer les dérivées des fonctions de variable x définies par :
x5
0
f(x)= (sint) dt
,
5
22
x
g(x)= ch(t) dt
,
x²
x
h(x)= arctan(u)du
,
sin(x) t
cos(x) 0
k(x)= ln(1+u²)du dt
,
xu²
0e du
0
l(x)= sh(t)dt
.
Exercice
8.
Soit F la fonction définie pour x>0 par
t
1
0
e
F(x)= dt
t+x
.
1. Montrer que F est décroissante sur
0,
. Montrer que
+
x0
LimF(x)=+
.
2. Soit h la fonction définie sur  par :
t
e -1
h(t)= t
si
t0
et
h(0)=1
.
a. Montrer que :
t
e -1 x
t 0,1 , x>0, h(t)- =h(t)
t+x t+x
.
b. En déduire qu’il existe C>0 (indépendant de x) tel que :
t
1 1 1
0 0 0
e -1 x
0 h(t)dt- dt C dt
t+x x+t
c. On pose
1
0
A= h(t)dt
. Montrer que, au voisinage de
0
, on a :
F(x)=-ln(x)+A+o(1)
.
THEME 3 : calcul de primitives à choisir pour environ 2h de TD.
Exercice
9.

Calculer les intégrales suivantes :
πit
0e dt
;
π-t
0e cos(2t)dt
;
π2x
0e sin(3x)dx
.
Exercice
10.
Calculer les primitives et intégrales suivantes (pour les primitives il faudra préciser les
intervalles où le calcul est valide) :
21dx
x +4x+13
;
2
2x+1 dx
(x-2) (x-1)
;
23
1dx
(x +1)
;
2
ln (x) dx
;
2
arctan(x) dx
x
;
e
1cos(πln(x))dx
;
1
0arctan(x)dx
;
arcsin(x) dx
;
2
1dt
tln (t)
;
1dx
x+ x
;
122
-1 t 1-t dt
;
2
4-x dx
;
x -x
1dx
e +e
;
sin(2x) dx
3+sin(x)
;
2
tan(x) dx
4+cos (x)
.
THEME 4 : problèmes de synthèse.
Exercice
11.
(intégrales de Wallis)
Pour n , on pose
πn
2
n0
I = sin(x) dx
.
1. Montrer que la suite
nn
(I ) 
est convergente.
2. Soit
π
a 0 , 2
. Montrer que pour tout naturel n :
n
n
0 I a(sina) 2 a
. En
remplaçant a par un an bien choisi, montrer que
n
n+
LimI =0
.
3. Montrer que pour tout n ,
n+2 n+1
I = I
n+2 n
.
4. Déduire de 3 :
a. Pour p ,, la valeur de
2p
I
et celle de
2p+1
I
à l’aide de factorielles.
b.
n n-1
n I I
ne dépend pas de n et vaut
2
.
5. Montrer que
n+1
n+ n
I
Lim =1
I
. En déduire que
n
π
I2n
.
6. Montrer que
p+
1×3×5×L×(2p-1) 1
Lim p =
2×4×6×L×(2p) π
Exercice
12.
1. Soit  un réel
0
.
a. Montrer, à l’aide du théorème des accroissements finis, que pour tout n ,
n>1, on a :
α+1 α α
1 1 1 1
<-
nα (n-1) n
b. On pose, pour n *,
n
nα+1
k=1
1
u= k
. Montrer que la suite
*
nn
(u ) 
est
convergente.

2. Soit f une fonction de classe C1 sur un intervalle
a, b
. Montrer, en commençant par
une intégration par parties, que
b
a
λ+
Lim f(t)sin(λt)dt=0
. (Remarque : on a aussi
b
a
λ+
Lim f(t)cos(λt)dt=0
).
3. Trouver des réels  et  tels que :
n
*,
π22
0
1
(βt+γt )cos(nt)dt= n
.
4. Pour
t 0, π
, on pose
2
βt+γt
f(t)= t
sin 2
. Trouver la valeur qu’il faut donner à f(0) pour
que f soit continue en 0. Montrer qu’alors f est de classe C1 sur
0, π
.
5. Montrer que pour tout réel t non multiple de 2, on a :
n
k=1
1
sin n+ t
2
1
cos(kt)= -1
t
2sin 2
6. On pose, pour n *,
n
n2
k=1
1
v= k
. La suite
*
nn
(v ) 
converge d’après 1. Montrer que
sa limite est
2
π
6
en utilisant les questions précédentes.