SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES

SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES
EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
Les nombres suivants sont-ils en progression arithmétique ?
2364510 ; 3475621 ; 4586732
Exercice n°2.
Parmi ces suites, lesquelles sont arithmétiques ? :
u0 = 1

un +1 + un = 1
u0 = 3

un − un +1 = 4
Exercice n°3. ( un ) est une suite arithmétique de raison r.
1) On sait que u0 = 2 et r = −3 . Calculer u10 , u20 , u100 .
2) On sait que u0 = 2 et u1 = 5 . Calculer r et u2 et u5
3) On sait que u0 = 2 et u2 = 10 . Calculer r et u1 , u5
4) On sait que u1 = 10 et u10 = 28 . Calculer r et u0 , u5
5) On sait que u5 = 17 et u10 = 12 . Calculer r et u0 , u1
6) Sachant que u20 = −52 et u51 = −145 , explicitez un
3
, explicitez un
4
8) Sachant que u0 = 3 et que u20 = u10 + 25 , explicitez un
7) Sachant que u22 = 15 et r =
9) Une suite arithmétique u est telle que u2 + u3 + u4 = 15 et u6 = 20 .Calculez u0
Exercice n°4.
Albert place un capital initial C0 = 3000 € à un taux annuel de 6%, les intérêts étant simples, c’est-à-dire que le capital
d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 6% du capital initial (les intérêts ne sont pas capitalisés
chaque année, comme ce serait le cas pour des intérêts composés).
On note Cn le capital d’Albert au bout de n années, capital exprimé en euros.
1) Montrer que, pour tout entier n, Cn +1 = Cn + 180 . Qu’en déduit-on?
2) Pour tout entier n, exprimer Cn en fonction de n.
3) De quel capital Albert dispose-t-il au bout de 10 ans?
4) Au bout de combien d’années le capital a-t-il doublé?
5) Au bout de combien d’années le capital dépasse-t-il 10000 € ?
Exercice n°5. Montrer que la suite ( un ) des aires définies par la figure
ci-dessus est arithmétique.
Exercice n°6.
Combien y a-t-il de nombres impairs entre 179 et 1243 ? de nombres pairs?
Exercice n°7.
1) En reconnaissant la somme des termes d'une suite arithmétique, calculer S1 =
1
3
+1+
5
+ .... +
3
19
3
+7
2) Calculer S2 = 5+2-1-4-7…-34
3) Calculer la somme des entiers multiples de 7 qui sont plus grands que 100 et plus petits que 1000.
4) Exprimer la somme S n = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n en fonction de n.
Exercice n°8.
i =n
Une suite arithmétique u de raison 5 est telle que u0 = 2 et, n étant un nombre entier,
∑u
i =3
i
= 6456 . Calculez n.
Exercice n°9.
Une horloge sonne toutes les heures, de 1 coup à 1 heure du matin à 24 coups à minuit. Quel est le nombre de sons de
cloche entendus en 24 heures ?
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Exercice n°10.
1) Les nombres – 5, 8, 21 sont les trois termes consécutifs d’une suite. Est-ce une suite arithmétique ou géométrique ?
Quelle est la raison de cette suite ?
2) Les nombres –5, 10, –20 sont les trois termes consécutifs d’une suite. Est-ce une suite arithmétique ou géométrique ?
Quelle est la raison de cette suite ?
Exercice n°11. Les nombres suivants sont-ils en progression géométrique ? 346834 ; 3434 ; 34
Exercice n°12. Parmi ces suites, lesquelles sont géométriques :
u0 = 7

2
un +1 = un
u0 = 100


6
un +1 = un + 100 un
Exercice n°13. ( un ) est une suite géométrique de raison r.
1) On sait que u0 = 32 et r =
1
. Calculer u2 , u3 , u5 , u8 .
4
1
et r = 5 . Calculer u0 , u5 , u7 , u20 .
125
1
3) On sait que u0 = 1 et u1 = . Calculer r, u2 et u5
3
4) On sait que u0 = 3 et u2 = 12 . Calculer r , u1 et u5
2) On sait que u1 =
5) On sait que u1 = −1 et u10 = 1 . Calculer r , u0 et u5
Exercice n°14.
Montrer que ces suites sont géométriques, et préciser leur raison et leur premier terme.
u n = ( −4 )
2 n +1
vn = 2 n ×
1
3n +1
wn = ( −1) × 23n +1
n
Exercice n°15.
En reconnaissant la somme des termes d'une suite géométrique, calculer :
1 1 1
1
− + + ...... −
8 16 32
1048576
1) 18 + 54 + 162 + ..... + 39366
2)
2 − 2 + 2 2.... − 64 + 64 2 − 128
4) 2 + 28 + 29 + .... + 221
5) − x + x 2 − x3 + x 4 .... − x17
3)
7
Exercice n°16.
On suppose que chaque année la production d'une usine subit une baisse de 4%. Au cours de l'année 2000, la production a
été de 25000 unités. On note P0 = 25000 et Pn la production prévue au cours de l'année 2000 + n.
a) Montrer que Pn est une suite géométrique dont on donnera la raison.
b) Calculer P5.
c) Si la production descend au dessous de 15000 unités, l’usine sera en faillite, quand cela risque-t-il d’arriver si la baisse
de 4% par an persiste ? La réponse sera recherchée par expérimentation avec la calculatrice.
Exercice n°17.
La location annuelle initiale d'une maison se monte à 7000 €. Le locataire s'engage à louer durant 7 années complètes. Le
propriétaire lui propose deux contrats :
1) Contrat n°1
Le locataire accepte chaque année une augmentation de 5 % du loyer de l'année précédente
a) Si u1 est le loyer initial de la 1ère année, exprimer le loyer un de la nième année en fonction de n
b) Calculer le loyer de la 7ème année
c) Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d'occupation
2) Contrat n°2
Le locataire accepte chaque année une augmentation forfaitaire de 400 €
a) Si v1 est le loyer initial de la 1ère année, exprimer le loyer vn de la nième année en fonction de n
b) Calculer le loyer de la 7ème année
c) Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d'occupation
3) Conclure : quel contrat est le plus avantageux ?
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Exercice n°18.
Nous avons tous 2 parents, 4 grands parents, 8 arrières grands-parents, etc…
En supposant que nous appartenons à la génération 1, que nos parents appartiennent à la génération 2, nos grands parents
à la génération 3, etc… :
1) Combien d’ancêtres figurent à la génération 10 ?
2) Si on pouvait remonter jusqu’en l’an 1000 (soit environ à la 40ème génération), combien y aurait-il d’individus au total
sur l’arbre généalogique (de la 1ère génération c’est à dire nous, jusqu’à la 40ème génération comprise) ? Que penser de ce
résultat ?
Exercice n°19.
Un roi de Perse voulut récompenser l'inventeur du jeu d'échecs. Celui-ci demanda au roi de déposer un grain de blé sur la
première case, 2 grains sur la seconde, 4 grains sur la troisième et ainsi de suite en doublant à chaque fois le nombre de
grains jusqu'à la 64ème case.
1) Combien de grains de blé devront être posés sur l'échiquier ?
2) En admettant que 1024 grains de blé pèsent 100 grammes, calculer la masse de ces grains de blé.
3) En 1989, la production française de blé a été de 30 millions de tonnes, combien d'années de production faudrait-il pour
remplir l'échiquier ?
4) Sachant que le roi pose un grain à la seconde, et qu'il commença lors du big-bang, a-t-il aujourd'hui terminé ?
Exercice n°20.
On déchire en deux une feuille de papier de 0,1 mm d’épaisseur.
On superpose les deux morceaux que l’on déchire de nouveau en deux.
Quelle épaisseur de papier obtiendrait-on si on pouvait répéter l’opération au total trente fois (c’est à dire répéter 29 fois
ce que l’on vient de faire) ?
Exercice n°21.
On considère la suite (un ) de réels strictement positifs, définie par : u0 = 2 , et pour tout n ∈ ℕ , ln(un +1 ) = 1 + ln(un ) .
1) Exprimer un +1 en fonction de un et préciser la nature de la suite (un ) .
2) Déterminer la monotonie de la suite (un ) , et préciser sa limite.
n
3) Exprimer la somme
∑u
k =0
k
en fonction de n.
n
4) Exprimer la somme
∑ ln(u ) en fonction de n. En déduire le calcul de u × u
k =1
k
1
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2
× ... × un en fonction de n.
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CORRECTION
Exercice n°1
Puisque 3475621-2364510=111111 et 4586732-3475621,=111111, ces nombres sont trois termes consécutifs d’une suite
arithmétique de raison 111111
Exercice n°2
u0 = 1
n’est pas arithmétique car si on calcule u1 = 1 − u0 = 0 , u2 = 1 − u1 = 1 ,
un +1 + un = 1
La suite définie par 
u3 = 1 − u2 = 0 , etc…, on s’aperçoit que la différence entre deux termes consécutifs n’est pas toujours la même. La suite
est alternée, un terme sur deux valant 0, l’autre valant 1
u0 = 3
est arithmétique car elle se redéfinit par
un − un +1 = 4
La suite définie par 
u0 = 3
, qui est caractéristique d’une

un +1 = un − 4
suite arithmétique de raison –4.
Exercice n°3
1) Si u0 = 2 et r = −3 , alors pour tout n ∈ ℕ , un = u0 + n × r = 2 − 3n , ce qui nous permet de calculer u10 = −28 ,
u20 = −58 et u100 = −298 .
2) On calcule r = u1 − u0 = 5 − 2 = 3 , donc pour tout entier n ∈ ℕ , un = u0 + n × r = 2 + 3n ce qui nous permet de
calculer u2 = 8 et u5 = 17
1
( u 2 − u0 ) = 4 ,
2
un = u0 + n × r = 2 + 4n ce qui nous permet de calculer u1 = 6 et u5 = 22
tout
entier
n∈ℕ,
tout
entier
n∈ℕ,
1
( u10 − u5 ) = −1 , et ainsi pour tout entier
5
un = u5 + ( n − 5 ) × r = 17 − ( n − 5 ) = 22 − n ce qui nous permet de calculer u0 = 22 et u1 = 21
n∈ℕ,
3)
Puisque
u2 = u0 + 2 × r , on en déduit que
r=
1
et
ainsi
pour
( u10 − u1 ) = 2 , et ainsi pour
9
un = u1 + ( n − 1) × r = 10 + 2 ( n − 1) = 2n + 8 ce qui nous permet de calculer u0 = 8 et u5 = 18
4)
Puisque
5) Puisque
u10 = u1 + 9 × r , on en déduit que
r=
r=
u10 = u5 + 5 × r , on en déduit que
1
1
( u51 − u20 ) = ( −145 + 52 ) = −3 , et ainsi pour tout entier
31
31
n ∈ ℕ , un = u20 + ( n − 20 ) × r = −52 + ( −3)( n − 20 ) = −3n + 8
6) Puisque u51 = u20 + ( 51 − 20 ) × r , on en déduit que r =
3
3
3
( n − 22 ) = n −
4
4
2
8) Puisque u20 = u10 + ( 20 − 10 ) × r , on en déduit que 10r = 25 ⇔ r = 2, 5 , et ainsi pour tout entier n ∈ ℕ ,
7) Pour tout entier n ∈ ℕ , un = u22 + ( n − 22 ) × r = 15 +
un = u0 + n × r = 3 + 2,5n
9) Puisque la suite u est arithmétique de raison r, u2 + u3 + u4 = u2 + u2 + r + u2 + 2r = 3u2 + 3r , et u6 = u2 + 4r . Le
15

u2 = 0
u2 + u3 + u4 = 15 ⇔ u2 + r = = 5
système 
a pour solution 
. Puisque pour tout entier n ∈ ℕ ,
3
r = 5
u6 = 60 ⇔ u2 + 4r = 20
un = u0 + ( n − 2 ) × r = 0 + 5 ( n − 2 ) = 5n − 10 , on en déduit u0 − 10
Exercice n°4
1) Le montant des intérêts qui s’ajoutent au capital d’une année Cn est égal à 3% de 3000 €, c’est-à-dire à
6
= 180 € . Ainsi Cn +1 = Cn + 180 . La suite ( Cn ) est donc une suite arithmétique de raison 180 et de premier
100
terme C0 = 3000
3000 ×
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2) Pour tout n ∈ ℕ , Cn = C0 + n × r = 3000 + 180n
3) Au bout de 10 ans, Albert disposera de C10 = 3000 + 180 ×10 = 4800 €
4) On résout Cn ≥ 2C0 ⇔ 3000 + 180n ≥ 6000 ⇔ n ≥
3000
. Comme n ∈ ℕ , n ≥ 17 . Le capital d’Albert aura donc
180
doublé au bout de 17 ans
5) On résout Cn ≥ 10000 ⇔ 3000 + 180n ≥ 10000 ⇔ n ≥
7000
. Comme n ∈ ℕ , n ≥ 39 . Le capital d’Albert aura
180
donc atteint 10000 € au bout de 39 ans
Exercice n°5
Notons ( rn ) la suite des rayons des cercles. ( rn ) est une suite arithmétique de raison
r1 = 1 . Ainsi, pour tout entier n ≥ 1 , rn = 1 +
1
( n − 1) . Les aires des demi disques sont donc égales à :
2
2
1
1  1
1
2
 1 1
An = π ( rn ) = π 1 + ( n − 1)  = π  n + 
2
2  2
2 2
2

2
2
1 1
1 1 1
1
Pour tout entier n ≥ 1 , un = An − An −1 = π  n +  − π  ( n − 1) + 
2 2
2 2 2
2
1 1
1  1   1
1  1  1 
1
= π  n + −  n   n + +  n  = π  n + 
2 2
2  2   2
2  2  4 
2
Ainsi, pour tout entier n ≥ 1 , un =
1
et de premier terme égal à
2
2
1 
1
π n+ 
4 
2
Pour montrer que la suite ( un ) des aires est arithmétique, on calcule la différence enter deux termes consécutifs : Pour
tout entier n ≥ 1 , un +1 − un =
1
1 
1 1 
1 1
π  n + 1 +  − π  n +  = π . La suite ( un ) est donc arithmétique de raison π
4
4 
2 4 
2 4
Exercice n°6
Les nombres impairs sont les termes de la suite arithmétique de raison 2, et de premier u0 = 1 . Ainsi ils sont de la forme
un = 2n + 1 . On cherche à dénombrer les nombres impairs tels que 179 ≤ un ≤ 1243 ⇔ 179 ≤ 2n + 1 ≤ 1243 ,
179 − 1
1243 − 1
⇔
≤n≤
, c’est-à-dire correspondant à 89 ≤ n ≤ 621 . Il y a 621 − 89 + 1 = 533 entiers n tels que
2
2
89 ≤ n ≤ 621 , donc il y a 533 nombres impairs entre 179 et 1243
Les nombres pairs étant les termes de la suite arithmétique de raison 2, et de premier v0 = 1 . Ainsi ils sont de la forme
179
1243
vn = 2n . On cherche donc les entiers tels que 179 ≤ 2n ≤ 1243 ⇔
≤n≤
. Comme n ∈ ℕ , 90 ≤ n ≤ 621 . Il y
2
2
a 621-90+1=532 nombres impairs entre 179 et 1243.
Exercice n°7
1) Si on note ( un ) la suite arithmétique de raison
2
3
et de premier terme
1
3
, on a, pour tout n ∈ ℕ , un =
1 2
+ n.
3 3
1 2
1
5
19
+ n = 7 ⇔ n = 10 . Ainsi 7 correspond à u10 , et la somme S1 = + 1 + + .... + + 7
3 3
3
3
3
la
somme
S1 = u0 + u1 + .... + u10
des
11
premiers
termes
de
( un ) . Ainsi
Résolvons un = 7 ⇔
correspond
à
premier
terme
dernier
1
terme
+7
u0 + u10
121
3
S1 = 11
= 11×
=
×
2
2
3
nombre
de termes
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2) Si on note ( un ) la suite arithmétique de raison -3 et de premier terme 5, on a, pour tout n ∈ ℕ , un = 5 − 3n .
Résolvons un = −34 ⇔ 5 − 3n = −34 ⇔ n = 13 . Ainsi -34 correspond à u13 , et la somme S2 = 5+2-1-4-7…-34
correspond
à
la
premier
terme
S 2 = u0 + u1 + .... + u13
somme
des
14
premiers
termes
( un ) .
de
Ainsi
dernier
terme
u0 + u10
5 − 34
S 2 = 14
= 14 ×
= −203
×
2
2
nombre
de termes
3) Les multiples de 7 sont les termes de la suite arithmétique de raison 7, et de premier u0 = 0 . Ainsi ils sont de la forme
un = 7 n . On cherche à dénombrer les termes de la suite tels que 100 ≤ un ≤ 1000 ⇔
15 ≤ n ≤ 142 . Il y a 142-15+1=128 multiples de 7 entre 100 et 1000.
premier
terme
100
1000
≤n≤
,. Comme n ∈ ℕ ,
7
7
dernier
terme
u15 + u142
105 + 994
= 128 ×
= 70336
La somme de ces 128 multiples est donc égale à 128
×
2
2
nombre
de termes
Si on note ( un ) la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1, on a, pour tout n ∈ ℕ , un = 1 + ( n − 1) = n , et
ainsi la somme S n = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n est
celle des n premiers termes de la suite ( un )
premier
terme
dernier
terme
n ( n + 1)
1 + n
Ainsi pour tout n ∈ ℕ , S n = n ×
=
2
2
nombre
de termes
Exercice n°8
Si ( un ) est une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme u0 = 2 , la somme
u3 = u0 + 3r = 2 + 3 × 5 = 17
premier
terme
à
un = u0 + nr = 2 + 5n
s’exprime
en
i =n
∑u
i =3
i
fonction
des n-3+1 termes de
de
n
par :
dernier
terme
17 + 2 + 5n ( n − 2 )(19 + 5n )
− 2) ×
=
.
(n
2
2
nombre
de termes
i =n
∑u
= 6456 équivaut alors à
( n − 2 )(19 + 5n )
= 6456 ⇔ 5n 2 + 9n − 38 = 12912 , c’est-à dire à 5n 2 + 9n − 12950 = 0 .
2
i =3
On résout cette équation du second degré en calculant son discriminant, et on obtient deux solutions distinctes, dont la
seule entière positive est n = 50
i
Exercice n°9
Notons ( un ) la suite correspondant au nombre de coups d’horloge, de u1 = 1 , à 1 heure du matin, à u24 = 24 , à minuit.
Le nombre de sons de cloche entendus en 24 heures est égal à la somme u1 + u2 + ...u24 des 24 premiers termes de cette
premier
terme
dernier
terme
1 + 24
suite arithmétique de raison 1. Celle somme vaut 24
= 300
×
2
nombre
de termes
Remarque :
On pouvait appliquer la formule 1 + 2 + ...n =
n ( n + 1)
2
, démontrée dans l’exercice n°7, en remplaçant n par 24
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Exercice n°10
1) Les différences 8-(-5)=13 et 21-8=13 étant égales, ces nombres sont les trois termes consécutifs d’une suite
arithmétique de raison 3
8
21
et
sont différents, ces nombres ne sont pas les termes consécutifs d’une suite géométrique.
−5
8
Comme les quotients
2) Les différences 10-(-5)=15 et -20-10=-30 n’étant pas égales, ces nombres ne sont pas les termes consécutifs d’une suite
arithmétique
En revanche, les quotients
10
−20
= −2 et
= −2 étant égaux, ces nombres sont les trois termes consécutifs d’une suite
−5
10
géométrique de raison -2
Exercice n°11
3434
1
34
1
=
et
=
étant égaux, ces nombres sont les trois termes consécutifs d’une suite
346834 101
3434 101
1
géométrique de raison
101
Les quotients
Exercice n°12
u0 = 7
n’est pas géométrique, car le calcul de u1 = u02 = 7 2 = 49 et de u2 = u12 = 49 2 = 2401
2
un +1 = un
La suite définie par 
montrent que
u2 u1
≠
u1 u0
u0 = 100
u0 = 100

La suite définie par 
se réécrit 
, donc est une suite géométrique de raison 1,06 et de
6
u
=
1,
06
u
u
=
u
+
u
n
+
1
n

n
+
n
n
1

100
premier terme 100
Exercice n°13
1)
Si
u0 = 32
et
r=
1
,
4
2
on
2
calcule
1
u2 = u0 × r 2 = 32 ×   = 2 ,
4
puis
u3 = u 2 × r = 2 ×
1 1
= ,
4 2
3
1 1
1
1
1 1
u5 = u3 × r = ×   =
et u8 = u5 × r 3 =
×  =
2  4  32
32  4  2048
1
u
1
5n
2) Puisque u1 = u0 × r , on déduit u0 = 1 = 125 =
, et à partir de la formule un = u0 × r n =
, on déduit
r
5
625
625
520 520
u5 = 5 , u7 = 125 et u20 =
= 4 = 516
725 5
n
1
u1
1
1
n
3
3) Puisque u1 = u0 × r , on déduit r =
=
= , et à partir de la formule un = u0 × r =   , on déduit
u0
1 3
3
1
1
successivement u2 = et u5 =
9
243
u 12
4) Puisque u2 = u0 × r 2 , on déduit r 2 = 2 =
= 4 , ce qui nous fournit deux solutions : r = 2 ou r = -2. Si r = 2 , à
u0 3
2
partir de la formule un = u0 × r n = 3 × 2 n , on déduit successivement u1 = 6 et u5 = 96 . Si r = −2 , à partir de la
formule un = u0 × r n = 3 × ( −2 ) , on déduit successivement u1 = −6 et u5 = −96
n
5) Puisque u10 = u1 × r 9 , on déduit r 9 =
un = u1 × r n −1 = ( −1) × ( −1)
n −1
u10
1
=
= −1 , ce qui nous fournit : r = -1. Ainsi, pour tout n ∈ ℕ ,
u1 −1
= ( −1) . On en déduit successivement u0 = 1 et u5 = −1
n
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Exercice n°14
2( n +1) +1
( −4 )
( −4 ) = −4 2 n +3−( 2 n+1) = −4 2 = 16 , ce qui prouve que la suite
u
1) On calcule n +1 =
=
( )
( )
2 n +1
2 n +1
un
( −4 )
( −4 )
2 n +3
géométrique de raison 16, et de premier terme u0 = ( −4 )
v
2) On calcule n +1 =
vn
2n +1 ×
1
( n +1)+1
3
=
2×0 +1
( un )
est
= −4
2n +1 3n +1 2
2
× n = , ce qui prouve que la suite ( vn ) est géométrique de raison , et
n+ 2
3
2
3
3
1
3n +1
1
1
de premier terme v0 = 20 × 0+1 =
3
3
n +1
n +1
3( n +1) +1
−1) × 23n + 4
(
wn +1 ( −1) × 2
n +1− n
3 n + 4 − ( 3 n +1)
3) On calcule :
=
=
= ( −1)
×2
= −23 = −8 , ce qui prouve que la
n
n
3 n +1
3 n +1
wn
( −1) × 2
( −1) × 2
2n ×
suite ( wn ) est géométrique de raison -8, et de premier terme w0 = ( −1) × 23×0+1 = 2
0
Exercice n°15
1) Si on note ( un ) la suite géométrique de raison q=3 et de premier terme u0 = 18 , on a, pour tout n ∈ ℕ , un = 18 × 3n .
un = 39366 ⇔ 18 × 3n = 39366 ⇔ n = 7 .
Résolvons
Ainsi
39366
correspond
u7 ,
à
et
18 + 54 + 162 + ..... + 39366 correspond à la somme u0 + u1 + .... + u7 des 8 premiers termes de
la
somme
( un ) .
Ainsi
nombre
de termes
 raison
1−  q 


1 − 38


u0 ×
= 18 ×
= 59040
1
q
1
3
−
−
premier
terme
raison
2) Si on note
( un )
la suite géométrique de raison q = −
n
1
1
et de premier terme u0 = , on a, pour tout n ∈ ℕ ,
2
8
n
1
1  1
1
1  1
1
un = ×  −  . Résolvons un = −
⇔ ×−  = −
⇔ n = 17 . Ainsi −
correspond à
1048576
8  2
1048576
8  2
1048576
1 1 1
1
u17 , et la somme − + + ...... −
correspond à la somme u0 + u1 + .... + u17 des 18 premiers termes de
8 16 32
1048576
nombre
de termes
18
 raison
 1
1−  q 
1
−
−
18




1
1  1 
2
= × 
= 1 −
( un ) . Ainsi u0 ×  

1 − q
8
 1  12  2 
premier
1
−
−
 2
terme
raison


3) Si on note ( un ) la suite géométrique de raison q = − 2 et de premier terme u0 = 2 , on a, pour tout n ∈ ℕ ,
(
)
n
un = 2 × − 2 .
Résolvons
(
un = −128 ⇔ 2 × − 2
)
n
= −128 ⇔ n = 13 .
Ainsi
-128
correspond
à
u13 ,
et
la
somme
2 − 2 + 2 2 − 4 + 4 2.... − 64 + 64 2 − 128 correspond à la somme u0 + u1 + .... + u13 des 14 premiers termes de
nombre
de termes
 raison
14
1−  q 


1
−
−
2
127 2
= 2×
=−
( un ) . Ainsi u0 ×  
1 − q
2 +1
1− − 2
premier
terme
raison
( )
( )
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4) Si on note
( un )
la suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u0 = 1 , on a, pour tout n ∈ ℕ ,
un = 1 × ( 2 ) = 2 n .
n
La somme 27 + 28 + 29 + .... + 221 correspond donc à u7 + u8 + .... + u21 de 21-7+1=15 termes consécutifs de ( un ) .
nombre
de termes
 raison
1−  q 
15




7 1 − ( 2)
Ainsi u7 ×
=2 ×
= 27 ( 215 − 1)
1 − q
1 − ( 2)
premier
terme
raison
5) Si on note ( un ) la suite géométrique de raison q = − x et de premier terme, la somme − x + x 2 − x 3 + x 4 .... − x17
correspond à la somme u0 + u1 + .... + u16 des 17 premiers termes de ( un ) .
nombre
de termes
 raison
1−  q 
17


1− (−x)
1 + x17


= (−x) ×
= (−x) ×
Ainsi u0 ×
1 − q
1− (−x)
1+ x
premier
terme
raison
Exercice n°16
a) Une diminution de 4% se traduisant par une multiplication par 1 −
( Pn )
b)
4
= 0, 96 , on a donc Pn +1 = 0,96 Pn . La suite
100
est donc une suite géométrique de raison 0,96.
On
en
déduit
ainsi
que
pour
tout
n∈ℕ,
Pn = 25000 × 0,96 n ,
ce
qui
permet
de
calculer
P5 = 25000 × 0,96 ≈ 20384,32
5
c) On cherche pour quelle valeur de n on aura
Pn = 25000 × 0,96n ≤ 15000 ⇔ 0,96n ≤
Grâce à la calculatrice, on trouve n ≥ 13
Remarque : On peut aussi écrire :
3
.
5
( )
ln 3
3
3
5 ≈ 12,51
⇔ n ln ( 0,96 ) ≤ ln   ⇔ n ≥
5
ln ( 0,96 )
5
Comme n ∈ ℕ , on retrouve bien n ≥ 13
0,96n ≤
Exercice n°17
1) a) Le loyer annuel du contrat n°1 peut être modélisé par une suite ( un ) géométrique de raison 1,05 (une augmentation
de 5 % du loyer de l'année précédente se traduit par une multiplication par 1 +
5
= 1, 05 ), et de premier terme
100
u1 = 7000 . Pour tout n ≥ 1 , le loyer de la nième année vaut un = 7000 × 1, 05n −1 ,
b) Le loyer de la 7ème année vaut u7 = 7000 × 1, 056 ≈ 9380, 67 € à 0,01 € près
c) La somme payée au bout de 7 année d’occupation vaut u1 ×
1 − 1, 057
1 − 1, 05
≈ 56994,06 €
2) a) Le loyer annuel du contrat n°2 peut être modélisé par une suite ( vn ) arithmétique de raison 400 € et de premier
terme v1 = 7000 . Ainsi, pour tout n ≥ 1 , le loyer de la nième année vaut vn = 7000 + 400 ( n − 1) .
b) Le loyer de la 7ème année vaut v7 = 7000 + 400 × 6 = 9400 €
c) La somme payée au bout de 7 année d’occupation vaut v1 + v2 + ....v7 = 7 ×
v1 + v7
= 57400 €
2
3) Le contrat le plus avantageux pour le locataire est le contrat n°1
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Exercice n°18
1) En notant ( un ) la suite représentant le nombre d’individus à la génération n , on a u1 = 1 , et pour tout n ≥ 1 ,
un +1 = 2un . ( un ) est donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 1 . Ainsi, pour tout n ≥ 1 ,
un = u1 × 2 n −1 = 2n −1
Le nombre d’ancêtres figurent à la génération 10 vaut alors u10 = 29 = 512
2) Le nombre d’invidus figurant sur l’arbre généalogique de la 1ère à la 40ème génération comprise serait égal à
1 − 2 40
u1 + ....u40 = u1 ×
= 240 − 1 ≈ 1,1× 1012 individus, soit plus de 1100 milliards d’individus ! Ce chiffre est bien sûr
1− 2
impossible et s’explique par le fait que l’on ne tient pas compte des mariages entre cousins
Exercice n°19
1) En notant ( un ) la suite représentant le nombre de grains de blé sur la nième case. On a u1 = 1 , et pour tout n ≥ 1 ,
un +1 = 2un . ( un ) est donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 1 . Ainsi, pour tout n ≥ 1 ,
un = u1 × 2 n −1 = 2n −1
Le nombre de grains de blé posés sur l’échiquier vaudra alors :
u1 + ....u64 = u1 ×
1 − 264
= 264 − 1 ≈ 1,8 × 1019 .
1− 2
2) Une règle de trois nous permet de conclure que si 1024 grains de blé pèsent 100 grammes, 1,8 ×1019 grains de blé
pèseront 100 grammes,
1,8 × 1019
×100 ≈ 1,8 × 1018 grammes, soit environ 1,8 ×1012 tonnes
1024
3) Une règle de trois nous permet de conclure que si la production française de blé a été de 30 millions de tonnes, il faudra
1,8 × 1012
≈ 60048 ans pour produire la quantité de blé nécessaire !
3 × 107
4) Si on pose un grain par seconde, il faudra la production française de blé a été de 30 millions de tonnes, il faudra
environ 1,8 ×1019 secondes pour remplir l’échiquier, soit environ 5,8 ×1011 années pour remplir l’échiquier, soit environ
580 000 000 000 années (580 milliards d’années !)
Exercice n°20
En notant ( un ) l’épaisseur en dixièmes de mm obtenu après n superpositions de morceaux de feuille. On a donc u1 = 2 ,
et pour tout n ≥ 1 , un +1 = 2un . ( un ) est donc une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u1 = 2 . Ainsi, pour
tout n ≥ 1 , un = 2 × 2 n −1 = 2n dixièmes de mm. Au bout de 29 répétitions (c’est-à-dire à la 30ème étape), l’épaisseur de
papier atteindrait u30 = 230 = 1073741824 dixièmes de millimètres, soit environ 107 kilomètres !
Exercice n°21
1) Puisque pour tout n ∈ ℕ , ln(un +1 ) = 1 + ln(un ) = ln(e) + ln(un ) = ln(eun ) , on en déduit que pour tout n ∈ ℕ ,
un +1 = eun . La suite (un ) est donc une suite géométrique de raison e et de premier terme u0 = 2
2) Puisque la raison de cette suite est e > 1 et que u0 > 0 , on en déduit que la suite (un ) est strictement croissante et que
lim un = +∞
n →+∞
3) Puisque la suite (un ) est une suite géométrique de raison e et de premier terme u0 = 2 , la somme
n
∑u
k =0
k
vaut donc
nombre de
termes
n +1
1− e
u0 ×
1 − e
premier
terme
1 − e n +1 2 − 2e n +1
= 2×
=
1− e
1− e
raison
4) Puisque la suite (un ) est une suite géométrique de raison e et de premier terme u0 = 2 , on établit que pour tout
n ∈ ℕ , u n = u 0 × e n = 2e n .
( )
( )
Ainsi, pour tout n ∈ ℕ , ln ( un ) = ln 2e n = ln 2 + ln e n = ln 2 + n ln(e) = ln 2 + n .
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n
La somme
∑ ln(u ) vaut donc :
k =1
k
n
n
n
n
n ( n + 1)
k =1
k =1
k =1
k =1
2
∑ ln(uk ) = ∑ ( ln 2 + k ) = ∑ ln 2 + ∑ k = n ln 2 +
En
utilisant
les
n
propriétés
ln ( u1 × u2 × ... × un ) = ∑ ln(uk ) =
k =1
de
n ( n + 1) + 2n ln 2
2
=
n ( n + 1) + 2n ln 2
la
2
fonction
logarithme
on déduit que u1 × u2 × ... × un = e
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népérien,
puisque
n ( n +1) + 2 n ln 2
2
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