Travaux dirigés LP214 2009-2010 Année universitaire 2009/2010 UE LP 214 : Fondements de la physique T.D. n°1 : Travail, chaleur et 1er principe Exercice 1 : Premier principe On considère un cycle ABCD effectué, de manière quasi statique, par n moles de gaz parfait . Partant de A où la pression est P0 = 1 atm, le volume V0 = 10 litres et la température T0 =300 K, le gaz subit une dilatation à pression constante jusqu'au point B où le volume a doublé. Entre B et C, la dilatation se poursuit mais à température constante ; il atteint C avec un volume triple de son volume initial V0. Entre C et D, on le laisse refroidir à volume constant jusqu'à une température TD. Il revient ensuite à son état initial (point A) par une compression adiabatique . 1) Calculer, en fonction de P0, V0, T0 et γ , les pression, volume et température aux points B, C et D. Application numérique. 2) Faire la représentation graphique de ce cycle dans le diagramme (V, P) . 3) Donner les expressions des capacités thermiques molaires à volume et à pression constante en fonction de R et γ. 4) Calculer, en fonction de P0, V0 et γ, le travail échangé par le gaz avec le milieu extérieur au cours du cycle ABCDA. Justifier les signes obtenus pour chaque partie du cycle. Application numérique. 5) Calculer, en fonction de P0, V0 et γ, la quantité de chaleur échangée par le gaz avec le milieu extérieur pour chaque partie du cycle ABCDA. Application numérique. 6) Vérifier que la variation de l'énergie interne du gaz au cours du cycle est nulle A.N. : γ = 1,47 ; 31,47 ≈ 5 ; ln(3/2) ≈ 0,4. Exercice 2 : Cycle monotherme Une certaine quantité d’hélium (gaz monoatomique supposé parfait) subit le cycle suivant : – AB : transformation adiabatique ; – BC : transformation isochore ; – CA : transformation isotherme. Toutes les transformations sont quasi-statiques. Données : VA = 10 L ; PA = 105 Pa ; TA = 300 K; VB = 20 L ; Pour toutes les questions, on donnera les expressions littérales des quantités demandées, et ce uniquement en fonction de VA, PA, TA, VB et γ (γ = CP/CV). 1. Donner les expressions de PB, TB, VC, PC et TC. Tracer les courbes correspondant aux trois transformations dans le diagramme (P,V). Applications numériques. 2. Calculer les travaux WAB, WBC, WCA et les quantités de chaleur QAB, QBC, QCA reçus par le système au cours des transformations AB, BC et CA. Applications numériques. 3. Calculer le travail Wtot et la quantité de chaleur Qtot reçus par le système pendant tout le cycle. Applications numériques. Ces résultats sont-ils cohérents ? Année universitaire 2009/2010 UE LP 214 : Fondements de la physique T.D. n°2 : Second principe, Entropie Rappel : Le nombre de microétats Ω accessibles à un gaz parfait contenu dans une enceinte de volume V est donné par la relation Ω = C V N U αN , (formule de Boltzmann) U étant l’énergie interne, N le nombre de molécules, C une constante et α = Cv / R (3/2 pour un gaz monoatomique, 5/2 pour un gaz diatomique). Exercice 1 Une masse m = 56 g de diazote (masse molaire 28 g/mol) est enfermée dans un cylindre vertical de section s = 100 cm2 par un piston de masse M = 200 kg. On maintient le vide audessus du piston. L'azote est à la température ambiante T1 = 300 K (état 1). On prendra R = 25/3 J.K-1.mol-1. On supposera que l’accélération de la pesanteur est g = 10 m.s-2 pour les applications numériques. 1) Calculer Pp, la pression due au poids du piston, et n, le nombre de moles de ce gaz. 2) Calculer la pression et le volume dans l'état initial : P1, V1. 3) En utilisant la formule de Boltzmann, calculer pour toute transformation d'un gaz parfait l'expression de la variation d'entropie en fonction des volumes et températures initiaux et finaux. 4) Le piston et les parois sont considérés comme parfaitement diathermes : ils laissent passer la chaleur et sont en contact avec un thermostat à la température T1. On verse très progressivement une masse M’ = 200 kg de sable sur le piston pour arriver à l'état 2. a) Calculer P2, V2, T2. b) Calculer la chaleur Qg12 échangée avec le thermostat. En déduire la variation d'entropie ∆Sg12 du gaz. c) Vérifier ce résultat à partir du résultat de la question 3. d) Quelle est la variation d'entropie de l'extérieur (thermostat) : ∆Sth12 ? De l'ensemble intérieur + extérieur = gaz + thermostat + piston : ∆Stot12 ? Conclusion ? e) Représenter de façon précise les états 1 et 2 et la transformation 1-2 dans le diagramme (V, P). 5) Toujours avec le même piston, on part de l'état 1 mais on verse le sable d'un seul coup sur le piston, tellement rapidement que l'augmentation de masse du piston est considérée comme instantanée. Une fois l’équilibre thermodynamique atteint, on arrive ainsi à l'état 3. a) Calculer la température et la pression finale T3 et P3. b) Quelle est la variation d'entropie du gaz ∆Sg13 ? c) Calculer le travail Wg13 et la chaleur Qg13 échangés. d) Quelle est la variation d'entropie de l'extérieur (thermostat) ∆Sth13 ? e) Quelle est la variation d'entropie de l'univers (intérieur + extérieur) ? La transformation 1-3 est elle réversible ? 6) Le piston et les parois sont maintenant totalement adiabatiques. On répète l'opération de la question 4 pour arriver à l'état 4 . a) Calculer P4, V4, T4. Placer le point 4 dans le diagramme (V, P). b) Quelle est la chaleur Qg14 échangée ? c) Quelle est la variation d’entropie ∆Sg14 du gaz ? d) Quelle est la variation d'entropie de l'extérieur ? e) Quelle est la variation d'entropie de l'univers (intérieur + extérieur) ? La transformation 1-4 est-elle réversible ? f) Représenter la transformation 1-4 dans le diagramme (V, P). 7) Toujours avec le piston et les parois adiabatiques, on répète maintenant l'opération de la question 5 pour arriver à l'état 5. a) Quelle est la pression finale P5 ? Que vaut la chaleur échangée Qg15 ? b) Exprimer le travail Wg15 échangé de deux manières différentes en fonction de T1 et T5. En déduire la température finale T5, puis le volume final V5. c) Placer le point 5 sur le diagramme. Où est-il par rapport à la courbe adiabatique ? d) Calculer la variation d'entropie du gaz ∆Sg15. e) Quelle est la variation d'entropie de l'extérieur ? f) Quelle est la variation d'entropie de l'univers (intérieur + extérieur) ? La transformation 1-5 est-elle réversible ? 8) Partant de l'état 4, on laisse le gaz revenir à la température ambiante, sans enlever de sable. Les parois ne sont plus adiabatiques mais la transformation est suffisamment lente pour être considérée comme quasi-statique. On arrive ainsi à l'état 6. a) Préciser la nature de la transformation. Quels seront l'état d'équilibre final et la variation d'entropie ∆Sg46 correspondante ? Tracer la transformation 4-6 dans le diagramme (V, P). b) Calculer le travail échangé Wg46, puis la chaleur échangée Qg46. c) Quelle est la variation d’entropie du thermostat, ∆Sth46 ? d) La transformation est-elle réversible ? Exercice 2 (facultatif) Un cylindre est divisé en deux compartiments A et B par un piston qui peut se déplacer sans frottement. Chacun des compartiments contient 20 litres d'un même gaz parfait à 27°C et sous une pression de 1 atmosphère : VA = VB = 20 L, TA = TB = 27°C. Dans le compartiment A, une résistance de capacité thermique négligeable est parcourue par un courant électrique et l'on chauffe très lentement le gaz A jusqu'à ce que les caractéristiques du gaz B soient les suivantes : température TB’ = 137,5°C, pression PB’ = 3 atmosphères. Les parois du cylindre et le piston sont supposés rigoureusement imperméables à la chaleur. 1) Calculer : a) Le nombre de moles contenues dans chaque compartiment, nA, nB. b) Le volume final VB’ du gaz B. c) Le rapport γ des capacités thermiques après avoir précisé la nature de la transformation du gaz enfermé dans B. Donner la nature de ce gaz (monoatomique ou diatomique) ? d) La température finale du gaz A, TA’. e) La variation d'énergie interne du gaz B, ∆UB. f) La variation d'énergie interne du gaz A, ∆UA. g) L'énergie fournie par le courant électrique. h) Le travail des forces appliquées au piston par le gaz A. Donnée : R = 25/3 J/(K.mol). 2) On suppose que les transformations de A et B se font lentement. Pour simplifier, on suppose également que le mode de chauffage par la résistance est réglé de telle manière que la température de la résistance est fixe et égale à la température finale de A : la résistance est donc équivalente à un thermostat de température T’A. a) On considère le système formé du gaz B et du piston. Ce système est-il toujours à l'équilibre pendant la transformation ? La transformation inverse vous semble-t-elle possible ? En déduire la nature réversible ou irréversible de la transformation subie par B. b) Mêmes questions pour le gaz A en considérant le système formé du gaz A, du piston et de la résistance. c) Calculer, pour une transformation adiabatique quasi-statique d’un gaz parfait, la relation entre le volume et la température. d) En utilisant la formule de Boltzmann, calculer littéralement ∆SA et ∆SB, variations d'entropie des gaz A et B. Application numérique. e) Considérer le système {A + piston + résistance}. Quelle est sa variation d'entropie ? On calculera au préalable la variation d'entropie de la résistance. La transformation totale (de A et B) est elle réversible ? Solution de l’exercice II 1a) nA = nB = PAVA / (RTA) = 0,8 mole 1b) VB’ = nBRTB’ / PB’ ≈ 9,12.10-3 m3 1c) La transformation du gaz B est adiabatique quasistatique donc : γ = ln (PB’ / PB) / ln(VB / VB’) = 1,4 = 7 / 5 donc le gaz est diatomique. 1d) VA’ = 40 – VB’ = 30,88 l TA’ = PA’VA’ / (nAR) ≈ 1390 K 1e) ∆UB = nBCv(TB’ – TB) ≈ 1840 J 1f) ∆UA = nBCv(TA’ – TA) ≈ 18200 J 1g) ∆Utotal = Wtotal + Qtotal = ∆UA + ∆UB ≈ 20 000 J avec Wtotal = o car le volume total reste constant. 1h) Du point de vue du gaz A on a : ∆UA = WA + QA d’où WA = ∆UA – QA = ∆UA - ∆Utot = - 1840 J Du point de vue du gaz B on a : ∆UB = WB + QB avec QB = 0 ; d’où WB = ∆UB = 1840 J Le travail des forces appliquées au piston est donc 1840 J 2a) Le gaz B et le piston sont toujours à l’équilibre si la compression est suffisamment lente. La transformation est donc quasi-statique dans ce cas, et, de plus, elle semble réversible, car on peut imaginer de détendre le gaz en tirant lentement sur le piston. 2b) Le gaz A et la résistance ne sont jamais à l’équilibre au cours du chauffage du gaz A, car ils ont des températures différentes. La transformation n’est pas quasi-statique pour ce système (elle n’est pas une suite d’états d’équilibres), donc elle est irréversible. Bien sûr, la transformation est au total (gaz A, gaz B, résistance, piston) irréversible, comme on va le montrer dans la suite de façon quantitative. 2c) T Vγ–1 = const. 2d) ∆SB = 0 (car B subit une transformation adiabatique quasi-statique). ∆SA = nR[ln(VA’/VA) + 5/2 ln(TA’/TA)] (A.N. : ∆SA= 28,5 J/K). 2e) ∆Spiston = 0 (c’est un isolant thermique parfait). ∆Srés = Qrés/Trés et Qrés = –QA (A.N. : ∆Srés = –14,4 J/K). ∆Stot > 0 (transformation irréversible). Année universitaire 2009/2010 Physique PSVP : Fondements de la physique T.D. n°3 : Second principe ; Machines thermiques Exercice 1 : Chauffage d’une serre On considère que l’air est un gaz parfait et que toutes les transformations sont quasistatiques. Quelle quantité de chaleur faut-il fournir à une serre de V0 = 50 m3 initialement sous une pression P0 = 1 atm pour faire passer sa température de T0 = 0°C à Tf = 20°C. a- à pression constante. b- à volume constant. On donne : Cv = 5 / 2 R et Cp =7 / 2 R ; R = 8,314 J.K–1. Mol –1 Exercice 2 : Un gaz est enfermé dans un cylindre, fermé par un piston. A l'état initial, le gaz a une température T0 = 300 K, un volume V0 = 1 l, une pression P0 = 105 Pa. 1) On le comprime de façon isotherme jusqu'à atteindre la pression P1 = 10P0 . Calculer le volume final et les échanges de travail et de chaleur du gaz avec le milieu extérieur. 2) On le détend adiabatiquement, de façon réversible, de manière à le ramener à sa pression initiale. Calculer à la fin de cette détente : a- le volume final ; b- l'abaissement de température ; c- le travail fourni par le gaz et sa variation d'énergie interne. On donne g = 7/5. Exercice 3 : On chauffe 380 g d’un gaz, dont l’énergie interne ne dépend que de la température, de façon à élever sa température de 15° C à 125° C. Sachant que le gaz a reçu 424 calories, calculer le travail fourni par le gaz dans la transformation ?. De quel type de transformation s’agit-il ? Masse molaire du gaz : 29 g/mole. Capacité calorifique à volume constant : 5 cal/mole/degré. Exercice 4 : 1 m3 d’air (supposé gaz parfait ), à la pression P1 = 10 atm subit une détente isotherme ; la pression finale étant P2 = 1 atm. Déterminer le travail et la quantité de chaleur échangés avec le milieu extérieur ? On rappelle que 1 atm = 105 N/m2. Exercice 5 : Pour maintenir la température intérieure d’un immeuble à 18°C, alors que la température est de 5° C à l’extérieur, il faut lui fournir 50 thermies à l’heure (une thermie vaut 4,185 MJ). Quelle est la puissance minimale consommée par une pompe de chaleur (qui effectuerait des cycles de Carnot) pour assurer le chauffage ? Exercice 6 : Un réfrigérateur fonctionne suivant un cycle de Carnot entre –18° C et + 22° C. Calculer le coefficient de performance de ce réfrigérateur. Le réfrigérateur reçoit 1 kJ de la source froide, calculer le travail que l’on doit fournir ainsi que la quantité de chaleur fournie à la source chaude. Exercice 7 Une machine thermique met en jeu une masse constante d'un gaz parfait et lui fait décrire le cycle suivant selon des transformations réversibles: - Une compression isotherme qui fait passer le gaz de l'état A (pression 2 bar; volume 30 L ; température 16°C) à l'état B (PB; VB = 6 L ; TB). - Un échauffement isobare de l'état B à l'état C (PC ; VC = 18 L ; TC). - Une détente adiabatique de l'état C à l'état D (PD ; VD ; TD). - Un refroidissement isobare de l'état D à l'état A. 1. Calculer le nombre de moles gazeuses mises en jeu. 2. Calculer les variables d'état dans les états A, B, C et D. -Reproduire et compléter, le tableau ci-dessous : pression (Pa) volume (m3) température (K) état A état B état C état D 3. Représenter ce cycle dans le diagramme de Clapeyron (p, V). 4. Calculer le travail et la quantité de chaleur échangés au cours de la transformation de l'état B à l'état C. Données numériques : R = 8,31 J.K-1.mol-1.Cp = 29,1 J.K-1.mol-1. γ = 1,4 pour le gaz considéré. Exercices facultatifs : Année universitaire 2009/2010 UE LP 214 : Fondements de la physique T.D. n°4 : Potentiels thermodynamiques On considère le système représenté sur la figure suivante : 0 x l Il s’agit d’un cylindre de section s. Il est séparé en deux compartiments par une paroi mobile. Le compartiment de gauche contient n moles d’un gaz parfait monoatomique ; le compartiment de droite, un ressort reliant la paroi de droite fixe et la paroi mobile. On note K la raideur du ressort et l sa longueur au repos. La longueur totale du cylindre est également l. Les abscisses de la paroi mobile sont repérées par la variable x ayant pour origine la paroi de gauche du cylindre. La masse de la paroi mobile est négligeable. Enfin, un mécanisme extérieur permet de bloquer la paroi mobile à n’importe quelle position arbitraire pour 0 < x < l . Les autres parois sont fixes, sauf pour quelques questions expressément précisées où la paroi de gauche peut être également mobile. On prendra toujours pour système tout ce qu’il y a à l’intérieur du cylindre : gaz + ressort + paroi mobile. Le ressort sera considéré comme étant un sous-système purement mécanique, non thermodynamique ; il n’a donc pas d’entropie. Initialement, un opérateur extérieur maintient la paroi mobile à une position arbitraire x0 puis la lâche. Le système relaxe alors vers une position d’équilibre. Le but de ce problème est tout d’abord (partie I) de déterminer cet équilibre suivant les conditions extérieures imposées : volume et température fixés. On étudiera ensuite comment l’équilibre se déplace lorsque l’on fait varier ces conditions (partie II : variation de température). Enfin, dans le cadre de deux exercices supplémentaires, on déterminera l’équilibre obtenu après relaxation en changeant les conditions extérieures : A. Volume et énergie interne fixés. B. Pression et température fixées. Données numériques : l = 2 m, s = 100 cm2, K = 1000 N m-1, R = 25/3 J K-1 mol-1, x0 = 1,5 m, n = 0,1 mol. I. Relaxation vers un état d’équilibre à volume et température fixés Le système est en contact avec un thermostat à la température T0. Toutes les parois sont parfaitement diathermes. À l’état initial, la paroi mobile est bloquée à x = x0 . On relâche ensuite cette contrainte, laissant le système évoluer librement. Toutes les parois extérieures étant fixes, le volume V du système est fixe. La position x de la paroi mobile évolue vers une valeur d’équilibre x1. 1. En écrivant l’équilibre mécanique de la paroi mobile, déterminer la position d’équilibre x1. Application numérique pour T0 = 300 K. 2. Quel est le potentiel thermodynamique qui décrit le problème ? 3. Rappeler dans les variables température et volume l’expression de l’entropie du gaz parfait. En déduire l’expression de S(x). 4. Déterminer l’expression de l’énergie interne U(x) du système (gaz + ressort). 5. En déduire l’expression du potentiel thermodynamique. On l’exprimera en fonction de x. En tracer l’allure et montrer qu’il existe bien une position d’équilibre x1. 6. Calculer cette position. Comparer avec le résultat de la question 1. II. Modification de l’état d’équilibre On modifie maintenant la température du thermostat, de T1 à T4. On déplace ainsi l’équilibre de (x1, T1=T0) à (x4, T4). 1. Calculer T4 pour que x4 = 2 x1. 2. Donner les expressions littérales des variations d’énergie interne du gaz, ∆U g = U g 4 − U g1 , ainsi que du ressort (énergie potentielle), ∆U r = U r 4 − U r1 . Les exprimer en fonction de T4 et T1. Application numérique. 3. En fonction de T4 et T1, exprimer la quantité de chaleur Q fournie par la résistance. Application numérique. 4. Expliciter, pour toute position d’équilibre intermédiaire x1 ≤ x ≤ x4 , le volume Vg(x), la température T(x) et la pression P(x) du gaz. Montrer que, pendant l’échauffement, on a toujours P(x) = C Vg (x) . Déterminer l’expression littérale de la constante C et vérifier l’homogénéité de la formule obtenue. Calculer numériquement Vg4 et P4. 5. Tracer en coordonnées de Clapeyron (Vg, P) la transformation 1→4 . Déterminer le travail W14 reçu par le gaz. Application numérique. III. Relaxation vers l’équilibre à volume et énergie fixés Les parois diathermes sont maintenant remplacées par des parois parfaitement isolantes : le système ne peut donc pas échanger de chaleur avec l’extérieur. Le thermostat ne joue plus aucun rôle. On notera U l’énergie interne du système. La position initiale de la paroi interne est toujours x0 et la température initiale T0 = 300 K. On notera x2 la position d’équilibre finale. 1. En considérant simplement l’équilibre mécanique de la paroi mobile, quelle est la relation simple entre x2 et T2 ? 2. Quel est le potentiel thermodynamique qui décrit le problème ? 3. Rappeler l’expression de l’entropie du gaz parfait en fonction de son volume Vg et de son énergie interne Ug. 4. Exprimer Vg et Ug en fonction de x et de U. 5. En déduire l’expression du potentiel thermodynamique en fonction de x. En tracer l’allure et montrer qu’il existe bien une position d’équilibre x2. 6. Calculer cette position en fonction de U. 7. Utiliser ce dernier résultat pour exprimer simplement à l’équilibre Ug, puis T2 en fonction de x2. Retrouve-t-on le résultat de la question A.1 ? 8. Application numérique : calculer x2 et T2. Retrouve-t-on le même résultat qu’en I ? IV. Relaxation vers l’équilibre à pression et température fixées La pression du gaz est maintenant maintenue constante en laissant la paroi de gauche coulisser librement dans le piston, l’extérieur étant à une pression P0 constante (par exemple la pression atmosphérique). On notera les positions des deux parois comme indiqué sur le schéma ci-dessous : l’origine ne change pas, la position de la paroi interne est toujours repérée par x et celle de la paroi externe de gauche par z. Les parois sont à nouveau complètement diathermes et l’ensemble est en contact avec un thermostat à la température T0 = 300 K. La position initiale de la paroi interne est toujours x0. On notera x3 la position d’équilibre final de la paroi interne. P0 z 0 x l 1. En considérant les équilibres mécaniques des deux parois mobiles, exprimer simplement x3. Application numérique pour P0 = 1 atm. 2. Quel est le potentiel thermodynamique qui décrit le problème ? 3. Quelle est la variation du volume Vg du gaz ? Quelle est sa variation d’entropie ? 4. Exprimer alors simplement le potentiel thermodynamique en fonction de la seule variable x ; on regroupera ensemble tous les termes constants. Tracer l’allure du potentiel et montrer qu’il existe bien une position d’équilibre x3. 5. Calculer cette position d’équilibre. Retrouve-t-on le résultat de la question B.1 ? V. Exercices supplémentaires A. On raisonne à volume et température fixes (comme en I). On considère la transformation de relaxation 0→1 . 1. Sans calcul, comparer en valeur algébrique (c’est-à-dire en considérant les signes) la variation d’énergie libre du gaz ∆Fg au travail Wg reçu par le gaz de la part du ressort. 2. Calculer ∆Fg et Wg en fonction de x0 et x1. 3. Application numérique. Conclusion ? Réponses : 1 : ∆F − W = −T ∆S tot ; 3 : ∆Fg = 275 J , Wg = 1000 J . B. On considère ici que toutes les parois sont parfaitement isolantes (comme en III.A). Le volume total reste fixe ; seule la paroi interne est mobile. Cette paroi est maintenant munie d’un robinet (de volume et capacité calorifique négligeables) permettant de faire passer du gaz dans le compartiment du ressort. La manipulation de ce robinet se fait sans apport de travail ni de chaleur. 0 x l Partant de l’état 2, on ouvre le robinet. On arrive ainsi à l’état 5. 1. Quel va être la position finale x5 de la paroi mobile intérieure ? 2. Calculer la température finale. 3. Quelle est la variation d’entropie totale associée à cette transformation ? Application numérique. Cette transformation est-elle réversible ? Réponses : 2 : T5 = 43 T2 = 1200 K ; 3 : ∆S tot = 1,05 J/K . C. On se place maintenant dans la configuration où la paroi de gauche est mobile (partie III.B). Le système reste en contact avec le thermostat à la température T0. Partant de l’état 3, on repousse la paroi de gauche vers la droite. Calculer de deux manières le travail qu’il faut fournir pour aller à l’état 1 de manière quasi-statique. x Réponse : W = K ⋅ 12 ( x12 − x32 ) + x12 ln 1 . x3 Année universitaire 2009/2010 UE LP 214 : Fondements de la physique T.D. n°5 : Phénomènes de transport Diffusion à travers une cellule — ordres de grandeur On considère une macromolécule de coefficient de diffusion dans l’eau D = 7×10−7 cm 2.s-1 . 1. Calculer le temps moyen nécessaire à cette macromolécule pour traverser de part en part une cellule vivante assimilée à une sphère de diamètre 20 µm et constituée essentiellement d’eau. 2. Quel serait ce temps si la distance à traverser était de 1 cm ? Diffusion en phase gazeuse Un long tube vertical ouvert aux deux extrémités, de section s , est maintenu sur une cuve à eau (fermée) à température constante T. L’extrémité supérieure du tube est à la hauteur h au-dessus de la surface libre de l’eau. Lors de l’évaporation de l’eau, il s’établit le long du tube un régime stationnaire de diffusion de la vapeur d’eau dont on désigne par D le coefficient de diffusion dans l’air. Cette expérience permet de mesurer D . L’altitude z est comptée à partir de la surface libre de l’eau. z courant d’air h 0 r 1. En quelles unités s’expriment un flux moléculaire et une densité j de flux moléculaire ? 2. Écrire la loi de Fick. r 3. Pour quelle raison j est-elle uniforme dans tout le tube ? 4. Quelle est la forme mathématique générale de la concentration moléculaire n(z) ? 5. Un courant d’air approprié permet d’éliminer complètement l’eau évaporée au sommet du tube tout en maintenant l’état stationnaire : n(h) = 0 . Établir l’expression exacte de n(z) et représenter graphiquement son allure. 6. Déterminer l’expression de la densité de flux j . En déduire l’expression de D en fonction de j , h et n(0) . Vérifier l’homogénéité de la formule. 7. j est mesuré en posant l’ensemble du dispositif sur une balance et en mesurant l’évolution de la masse avec le temps. Connaissant la masse molaire M de l’eau, relier la perte de masse par unité de temps dm à j . dt 8. À la température T (fixe) de l’expérience, la pression de vapeur saturante de l’eau est PS . En supposant qu’en z = 0 le gaz est saturé en vapeur d’eau, exprimer n(0) en fonction de PS et T . 9. Combiner les différents résultats pour exprimer D en fonction de h , s , dm , PS , T dt et M . 10. AN : calculer D , j et n(0) pour : T = 300 K , PS = 3.8 cmHg , dm = 4.0 mg.h −1 , dt M = 18 g.mol−1 , s = 10 cm2 , h = 0.72 m , R = 25 J.K −1.mol−1 , N A = 6.02×1023 mol−1 . 3 Diffusion à travers une membrane A. On considère une membrane de cellulose séparant deux solutions aqueuses. Un soluté peut diffuser à travers cette membrane. On note D le coefficient de diffusion à travers la cellulose. De part et d’autre de la membrane, les concentrations sont uniformes mais différentes : C1 et C2 . La membrane a une épaisseur ∆x qui est beaucoup plus petite que les autres dimensions (largeur, hauteur…), ce qui permet de considérer que la diffusion se fait suivant une seule direction, perpendiculairement à la membrane. Les abscisses seront comptées à partir du bord gauche de la membrane. C1 C(x) ∆x C2 r Jn 0 x 1. Écrire la loi de Fick entre la densité de particules n et la densité de courant de r particules j à travers la membrane. 2. La récrire entre la concentration massique C et le flux net massique (appellation r usuelle en biologie) : J n . Si la membrane est suffisamment mince, la concentration à son intérieur évolue toujours beaucoup plus vite que les concentrations extérieures C1 et C2 . Dans ce cas, la diffusion peut toujours être considérée en régime stationnaire. 3. Expliquer pourquoi en régime stationnaire J n doit être uniforme (indépendant de x ). 4. Quelle est alors la forme mathématique générale de C(x) ? Déterminer son expression précise sachant qu’elle doit vérifier les conditions aux limites : C(0) = C1 et C(∆x) = C2 . La quantité P = D est uniquement caractéristique de la membrane et est ∆x appelée perméabilité. Exprimer J n en fonction de P , C1 et C2 . B. On étudie maintenant une expérience où l’on fait diffuser à travers la membrane une espèce chimique globalement neutre : le permanganate de potassium (K2MnO4). La membrane est perméable à la fois à l’eau et au permanganate de potassium. La géométrie est la suivante : la membrane a une forme très approximativement cylindrique (un « boudin »), fixé en haut dans un support étanche. La surface S d’échange par diffusion entre les deux compartiments séparés par la membrane peut être mesurée. Dans le premier compartiment on introduit un volume V1 de solution de permanganate avec une concentration C0=C1(0). Le second contient initialement seulement un volume V2 d’eau pure. Le permanganate est introduit à t = 0 et on suit l’évolution en fonction du temps des concentrations C1(t) et C2(t) dans les deux compartiments. Le volume V2 est en pratique très grand et sera pris infini. La concentration C2 peut donc être considérée comme nulle pour toute l’expérience. À l’aide de la courbe C1(t) , on peut calculer la perméabilité P de la membrane, soit à partir du flux net initial J n(0) , soit en utilisant toute la courbe C1(t) . permanganate introduit à l’instant initial boudin de cellulose de surface S V1 V2 dm 1 (masse de soluté dt passant par unité de temps à travers la membrane du compartiment 1 vers le compartiment 2), m1 étant la masse de soluté dans V1. 6. Exprimer dm en fonction de la concentration C1(t) et du volume V1 . dt 7. Combiner les résultats des questions 4, 5 et 6 pour établir l’équation différentielle vérifiée par C1(t) . 8. Résoudre cette équation différentielle en tenant compte de la condition initiale. Quelle est la constante de temps τ d’évolution de C1(t) ? Représenter graphiquement l’allure de C1(t) . Comment mesurer une valeur approximative de τ à partir de cette courbe ? Quelle est la concentration au temps t = τ ? 9. Montrer que la perméabilité peut être évaluée à partir du flux net initial J n(0) . 10. Comment représenter graphiquement les données C1(t) pour mesurer précisément la perméabilité P ? 11. Application numérique : ouvert et mis à plat à la fin de l’expérience, le boudin est un rectangle de 7 cm sur 7 cm ; le volume V1 introduit vaut 20 ml et la concentration C0 vaut 0.5 g/l. Le permanganate de potassium a une masse molaire de 197 g.mol-1 . a. Les cinq premières minutes de l’expérience permettent de faire une estimation de la pente à l’origine : dC1 = −1.5×10− 4 g.l-1.s−1 . Calculer le débit massique dt dm initial , le flux net massique initial J n(0) et la perméabilité P . dt t =0 b. Les données enregistrées soigneusement pendant une heure donnent une constante de temps de 50 minutes. Quelle est la valeur de P correspondante ? Est-elle proche de celle obtenue à l’aide de la pente à l’origine ? Quelle doit être la valeur de C1(t =τ) ? 12. Dans toutes les questions qui précèdent, on a considéré que le volume V2 est infini. En pratique il ne l’est pas : V2 = 750 ml . Calculer dans ce cas la concentration à l’équilibre. L’approximation des questions précédentes est-elle justifiée ? 5. Donner l’expression du flux net massique J n en fonction de ( ) Bilan respiratoire en carbone (facultatif) On se propose d'évaluer grossièrement la quantité de carbone évacuée par la respiration, sous forme de dioxyde CO2. On suppose que l'air inspiré et l'air expiré sont à la même pression P0 = 105 Pa, et à la même température θ0 = 27°C. L'air expiré contient du CO2 gazeux à la pression partielle Pl = P0/20, l'air inspiré n'en contient pratiquement pas. Tous deux sont assimilables à des gaz parfaits. On prendra les valeurs numériques suivantes : NA = 6×1023, R = 25/3 (S.I.), masses atomiques (en u.m.a.) : C = 12 ; O = 16. Sans mouvement respiratoire On veut évaluer la quantité de CO2 qui serait évacuée sans mouvements respiratoires par diffusion le long des bronches. On modélise le système de la façon suivante : bronche Volume V air extérieur longueur L, section S 0 x poumon On suppose que la pressioni partielle en CO2 dans le poumon est maintenue constante (égale à Pl). Les molécules de CO2, de densité n, diffusent le long de la bronche. On note D le coefficient de diffusion de CO2 dans l’air. 1. Relier n1 (valeur de n dans le poumon) à Pl. r 2. Écrire la loi de Fick dans la bronche, entre la densité de flux j et dn . dx 3. Un régime permanent s’établit dans la bronche. On suppose que n = 0 à l’autre extrémité de la bronche ; en déduire dn . dx 4. Exprimer, d’une part, j en fonction de n1, D et L et, d’autre, part K, le nombre de moles de CO2 qui s’échappent à l’extérieur par unité de temps, en fonction de j et S ; en déduire K en fonction de P1, des paramètres géométriques et des constantes physiques. 5. Calculer numériquement la masse de carbone évacuée par minute de cette façon, avec D = 1.4×10−5 m2.s −1 , L = 6 cm, S = 10 cm2. Eléments de solution : n SDP1 . dn = − 1 ;K = ; m c = KM c = 20mg / h dx L LRT Avec mouvements respiratoires On va évaluer la quantité de carbone évacuée par les mouvements respiratoires. Les poumons (avant expiration) sont assimilés à un récipient de volume V = 5 litres. 6. Calculer xl, le nombre de moles de CO2 qui y sont contenues, ainsi que leur masse. Application numérique. 7. Il y a 10 respirations par minute ; à chacune, un volume Ve = 1 litre est expiré. Calculer la masse de carbone évacuée par minute par la respiration. 8. Comparer avec le résultat obtenu en 5. . Eléments de solutions : x1 = 10 −2 mol ; m c = 11,4 g / h x Année universitaire 2009/2010 UE LP 214 : Fondements de la physique T.D. n°6 : Osmose – Transition de phase Osmose : I. Un tube en U de section s est muni dans sa partie coudée d’une membrane semi-perméable ne laissant passer que les molécules d’eau. Initialement, la branche de droite du tube contient un volume V0 d’eau, la branche de gauche un volume V0 d’une solution aqueuse diluée contenant m grammes de protéine non dissociable. À l’équilibre, la dénivellation entre les deux surfaces libres est h0. La température extérieure T0 et la pression extérieure P0 sont constantes. h0 membrane État initial État final 1. Déterminer à l’équilibre la concentration molaire C. Application numérique. 2. Déterminer la masse molaire M de la protéine. Application numérique. 3. On veut faire revenir les deux surfaces libres dans le même plan horizontal. Quelle masse m’ de Na2SO4 supposé totalement dissocié faut-il verser dans le tube de droite ? Données numériques : ρeau = 1 g/cm3 ; h0 = 10 cm ; V0 = 1,15 L ; m = 35 g ; M’(Na2SO4) = 142 g/mol ; T0 = 300 K ; R = 25/3 J/mol/K ; s = 20 cm2 ; g = 10 m/s2. II. Deux milieux A et B sont séparés par une paroi dont les propriété sont les suivantes : – – parfaitement perméable à l’eau et à l’urée parfaitement imperméable au NaCl. Décrire les phénomènes observés dans les expériences suivantes (à 300 K) et calculer dans chaque cas la dénivellation h. On se placera dans le cas où le volume du tube B est beaucoup plus petit que celui de la cuve A, de sorte que ce dernier ne varie pas. Les concentrations données sont celles à l’équilibre : 1. A : eau pure ; B : eau pure. 2. On rajoute de l’urée en A et on attend que le système soit à l’équilibre. B membrane A 3. A : eau + NaCl (0,09 g/L); B : eau 4. A : eau + NaCl (0,03 g/L) ; B : eau + NaCl (0,09 g/L). Données : masse molaire NaCl : 58,5 g/mol densité eau : 1000 g/L; Transition de phase : I. À 0°C, les chaleurs latentes de fusion, de sublimation et de vaporisation de l'eau sont respectivement – Lf = 335 kJ/kg , – Ls = 2710 kJ/kg, – Lv = 2400 kJ/kg. La température et la pression au point triple sont θ = 0,01°C ≈ 0°C et P0= 610 Pa. Données (à 0°C) : – masse volumique de l'eau liquide : ρ l = 10 3 kg ⋅ m −3 ; – masse volumique de la vapeur d'eau : ρ v = 4,9 ⋅ 10 −3 kg ⋅ m −3 ; – masse volumique de la glace : ρ s = 915 kg ⋅ m −3 . 1. Calculer, au point triple, les pentes des courbes de fusion, de vaporisation et de sublimation de l'eau dans le diagramme (P, T) . 2. La courbe de vaporisation est de la forme P = ae −b T avec b = 5200 K. Déterminer a. 3. Représenter l'allure de ces courbes dans le diagramme (P, T). II. – AUTOCUISEUR Un autocuiseur est rempli d’air à la pression atmosphérique P0= 105 Pa ; la température ambiante est θ0 = 20°C. On introduit de l’eau et, après avoir fermé hermétiquement le couvercle, on élève tout doucement la température à l’aide d’une résistance électrique. La pression est limitée par un dispositif (soupape de sécurité) qui permet aux gaz de s’échapper lorsqu’elle atteint la valeur Pm. On néglige les variations de volume du liquide à l’intérieur de l’autocuiseur. Données : W = 300 watts ; L = 2300 J/g ; Pvs(423 K) = 4,7.105Pa ; Pvs(293 K) = 2800 Pa. 1. Donner, en fonction de la température T, l’expression de la pression Pi qui règne dans l’enceinte tant que la soupape ne se soulève pas. 2. En déduire que l’ébullition ne peut avoir lieu. 3. Donner l’équation déterminant l’équilibre entre Pi et Pm lorsque la soupape se soulève. 4. Une fois la soupape soulevée, les gaz commencent à sortir. Lorsque tout l’air est évacué de la cocotte, la température se stabilise. Pourquoi ? Quelle valeur doit avoir Pm pour que la température ne dépasse pas Tm = 423 K ? 5. La température étant stabilisée, la puissance électrique est réglée à E0 + E, où E0 est la puissance électrique nécessaire pour compenser les pertes thermiques. Quelle est la masse de vapeur m& v qui s’échappe par seconde ? 6. La pièce dans laquelle on opère a un volume V = 30 m3. Lorsque la température est stabilisée (on prend cet instant comme origine des temps t), le taux d’humidité dans la pièce est de α(t = 0) = 25% (on rappelle que le taux d’humidité est le rapport entre la pression de vapeur régnant dans la pièce et la pression de vapeur saturante à la même température). Quel sera le taux d’humidité α(t) dans la pièce au bout d’une demi-heure de fonctionnement ? Quelle quantité d’eau mc(t) s’est condensée dans la pièce au bout d’une heure de fonctionnement ? Après deux heures de fonctionnement ? Année universitaire 2009/2010 UE LP 214 : Fondements de la physique T.D. n°7 : Optique géométrique I. Mesure d’une distance focale : méthodes de Bressel et Silbermann L’objet AB et l’écran étant fixes et distants de D sur le banc optique, on cherche à obtenir une image nette A’B’ sur l’écran à l’aide d’une lentille convergente L, de centre optique O et de distance focale f’ inconnue. 1) Méthode de Bressel : - Montrer que si D > 4f’ , il existe daux positions O1 et O2 de L pour lesquelles on observe une image nette de l’objet sur l’écran B A A’ d - D Exprimer alors f’ en fonction de D et d = O1O2 2) Méthode de Silbermann : - En agissant simultanément sur la position de l’écran (D n’est pas invariable) et de la lentille L, on peut réaliser une image A’B’ égale en grandeur mais inversée par rapport à AB. - Déterminez, dans ce cas, f’ en fonction de D. II. Etude d’une fibre optique cylindrique 1) a) On considère une milieu transparent et isotrope formé de couches homogènes séparées par des dioptres plans parallèles. Un rayon lumineux R se propageant dans ce milieu, on fait avec Oy la normale commune aux dioptres, un angle ip dans la pième couche dont l’indice est np. (voir figure) Montrer que la trajectoire du rayon R est plane Ecrire la relation liant np, np+1, ip et ip+1. En déduire un invariant de la propagation. R O R b) Un rayon lumineux R se propage dans un milieu transparent et isotrope dont l’indice n varie continûment ; les surfaces équi-indices sont des plans d’équation y = cte. On désigne par i l’angle que fait la tangente en M au rayon avec Oy (voir figure). Montrer que la quantité n.sin(i) est invariante le long du trajet du rayon lumineux. 2) Une fibre optique cylindrique d’axe Ox est constituée d’un cœur transparent, homogène et isotrope, d’indice de réfraction n1, entouré d’une gaine, elle aussi transparente, homogène et isotrope, dont l’indice de réfraction n2 est inférieur à n1. (voir figure). On désigne par r le rayon du cœur. Soit un rayon lumineux R situé dans un plan contenant l’axe Ox. R r a) Montrer que R ne peut se propager à l’intérieur de la fibre que si l’angle d’incidence i est supérieur à un angle i0 que l’on déterminera en fonction de n1 et n2. Préciser les caractéristiques géométriques du rayon R. b) La face d’entrée (ε) de la fibre est plane et normale à l’axe Ox. On désigne par θ l’angle que fait dans l’air (d’indice N) le rayon R avec la normale à (ε). Déterminer en fonction de n1, n2 et N l’angle θ0 correspondant à i0. On donne : N = 1,00 ; n1 = 1,50 et n2 n1 = 0 , 99 Calculer i0 et θ0. R 3) On suppose à présent que l’indice du cœur varie continûment lorsque l’on s’éloigne de l’axe de la fibre ; à la distance y de cet axe l’indice a pour valeur : n 1 = n 0 − a . y 2 a) Sachant que n1 prend la valeur n2 pour y = r, déterminer, dans cette expression de n1, la valeur de « a » en fonction de n0, n2 et r. b) Un rayon lumineux R passant par O se propage dans le plan xOy. r En M, la tangente à R fait avec le vecteur unitaire u x un angle α ( − π π < α < ), voir 2 2 figure. Montrer, en utilisant le résultat de la question 1b, que l’on peut écrire : n 1 . cos( α) = A où A est une constante que l’on exprimera en fonction de n0 et α0. c) Montrer que le trajet du rayon R dans le cœur de la fibre est défini par l’équation différentielle : 2 2 n1 dy −1 = dx A 2 ay d) Sachant que = 0 , 99 , montrer que l’on peut négliger le terme dans l’équation n0 n0 2 n2 2 dy précédente. En déduire une expression simplifiée de en fonction de α0, n0, a et y. dx e) Intégrer l’équation différentielle simplifiée et donner l’équation y = f(x) du trajet du rayon lumineux R. On exprimera y en fonction de x, a, α0 et n0 dans le cas où α0 > 0. f) Montrer que R coupe l’axe Ox en des points régulièrement espacés ; déterminer la distance d séparant deux point consécutifs. g) On impose au rayon lumineux R de se propager dans le cœur de la fibre dont le rayon est r. Quelle est alors la condition portant sur l’angle α0 ? AN. : r = 25 µm ; n0 = 1,50 ; n2 n0 = 0 , 99 Calculer la valeur maximale de l’angle α0 définie par la condition précédente ainsi que la valeur de d correspondante. h) La grande directivité d’un laser permet de donner à l’angle α0 des valeurs inférieures à 10-3 rad. Quelle conclusion peut-on en tirer ? Année universitaire 2009/2010 UE LP 214 : Fondements de la physique T.D. n°8 : Interférences Exercice 1 : Fentes d’Young Une fente source rectangulaire très fine F, dont la grande dimension est perpendiculaire au plan de la figure, est placée au foyer objet d’une lentille mince convergente L1. Cette lentille est perpendiculaire à l’axe zz’, qui passe en son centre en O1. La fente source émet une radiation monochromatique de longueur d’onde λ. A la sortie de L1 est placé un écran opaque E perpendiculaire à zz’ et percé de deux fentes rectangulaires très fines F1 et F2 distantes de l. Ces fentes sont parallèles à la source F (grande dimension perpendiculaire au plan de la figure) et symétrique par rapport à zz’. La lumière diffractée par les fentes F1 et F2 est reçue par une seconde lentille mince convergente L2 qui, comme L1, est perpendiculaire à zz’ qui passe en son centre en O1. Les phénomènes obtenus sont observés sur un plan P perpendiculaire à zz’ en M0 et situé dans le plan focal image de la lentille L2. La distance l entre les fentes F1 et F2 est très petite devant la distance focale f2 de la lentille L2 : l << f2. x F1 F M x l z' O1 O2 F2 f1 L1 E z M0 f2 L2 P Le dispositif expérimental, représenté ci-dessus, est placé dans le vide. 1) Expliquez pourquoi est-ce que l’on obtient des franges d’interférence au voisinage de M0. Tracez les deux rayons qui interfèrent en M. 2) Déterminez quelle est l’expression de l’interfrange i en fonction de l, f2 et λ. Application numérique : on donne l = 5,0 cm ; f2 = 1,0 m et λ = 0,5461 µm. Sur le trajet des rayons diffractés par F1 et F2, on place maintenant deux dispositife identiques, T1 et T2, constitués de deux tubes de longueur d fermés par des lames transparentes et à faces parallèles. Ces deux tubes sont parallèles à zz’ et leurs axes sont distants de l et symétrique par rapport à zz’ (voir figure ci-dessous). 3) Le tube T1 est rempli d’un gaz transparent d’indice n0 et le tube T2 d’un gaz d’indice n. Quelle est la différence de marche entre les deux rayons qui interfèrent en M0 ? 4) Lorsque n = n0, on obtient une frange brillante en M0 (france centrale). Pour quelles valeurs de la différence (n - n0) cette frange brillante est-elle remplacée, en M0, par l’une de deux franges sombres directement voisines de la frange centrale ? Dans quel sens se déplace la frange centrale selon les valeurs (n - n0) obtenues ? 5) Calculez les valeurs de (n - n0) lorsque d = 10 cm et λ = 0,5461 µm. d x T1 F1 F n0 l z' z O1 F2 f1 M0 O2 n T2 E L1 f2 L2 P Exercice 2 : Demi-lentilles de Billet Une lentille convergente de distance focale f’ = 25 cm a été scindée suivant le plan de l’axe optique en deux demi-lentilles C1L1 et C2L2 : L1 C1 S C2 L2 50 cm 100 cm écran Les deux demi-lentilles sont distantes l’une de l’autres de C1C2 = 1,2 mm et donnent respectivement les images réelles S’1 et S’2 d’une fente source S perpendiculaire au plan de la figure, située à 50 cm des demi-lentilles et éclairée par une source monochromatique de longueur d’onde λ = 0,55 µm (l’ensemble du système admet un plan de la figure comme plan de symétrie, et est placé dans le vide). 1) Précisez les positions de l’écartement des images S’1 et S’2 de la fente S. 2) Calculez le nombre de franges brillantes observées sur l’écran perpendiculairement à l’axe optique à 100 cm des demi-lentilles. placé Exercice 3 : Spectre cannelé Soit le montage ci-dessous. Les sources S1 et S2 sont ponctuelles et cohérentes. Elles émettent. Elles émettent la même lumière blanche composée d’une infinité de radiation ayant toutes les longueurs d’onde entre 0,4 et 0,75 µm. spectroscope à prisme M x O l spectre cannelé D écran On donne l = 1 m, D = 1 m et x = 5 mm. Déterminez le nombre et la longueur d’onde des cannelures observées dans le spectre mesuré sur le spectromètre à prisme. Année universitaire 2009/2010 UE LP 214 : Fondements de la physique T.D. n°9 : Réseaux Exercice 1 : Dispersion de la lumière blanche par un spectrographe à réseau Un réseau de pas h = 4 µm (250 traits/mm) reçoit un faisceau de lumière blanche de longeurs d’onde : 400 nm < λ < 750 nm. Etudions le spectre diffracté d’ordre 1. Une lentille convergente L de distance focale f’ = 0,8 m est placée perpendiculairement à la normale au réseau (voir figure). Le faisceau émergent est recueilli sur une plaque photographique dans le plan focal de L. + F' O i f' Réseau L plaque photo 1) Quel est l’angle d’incidence i pour lequel le faisceau émergent d’ordre 1 de longeur d’onde λ0 = 600 nm converge en F’ ? 2) Déterminez les distances entre F’ et les raies associées aux radiations extrêmes du spectre. Exercice 2 : Réseau par réflexion - Effet Doppler Un réseau par réflexion comporte N’ traits tracés sur une surface métallique réfléchissante et séparés par a = 2µm. L’étude du réseau par réflexion peut s’effectuer de façon identique à celle du réseau par transmission, les fentes fines du réseau devenant des miroirs fins diffractant la lumière vers le même demi-espace que l’onde incidente. 1) Ce réseau est éclairé par un faisceau parallèle de lumière monochromatique (λE = 526,9 nm). On appelle i l’angle d’incidence (entre la normale au réseau et le faisceau incident) et i’ l’angle de diffraction (entre la normale au réseau et le faisceau diffracté). Ces angles sont définis algébriquement relativement à la normale au réseau. a) Considérant deux rayons diffractée, notés 1 et 2, déterminer la phase ϕ du rayon 2 par rapport au rayon 1. La convention sur le signe de ϕ sera telle que ϕ sera négatif pour i et i’ positifs. Donner la relation entre i’k, i et l’ordre k d’un maximum principal pour une longueur d’onde λ. b) On veut que la direction d’incidence corresponde à la direction d’un maximum principal d’ordre k pour la longueur d’onde λE : i = i’k. On désire également que cette valeur k soit maximale, sa valeur est alors notée kM. Calculer kM et la valeur de i correspondante. 2) Le réseau est placé dans la position correspondant à la valeur de i calculée ci-dessus. On réalise alors le montage donné sur la figure ci-dessous. La lame semi-transparente permet d’utiliser une seule lentille convergente L de distance focale f’= 100 cm pour observer le spectre dans le plan focal de celle-ci. y' réseau F' y + i F L On projette sur la fente du spectroscope une image du Soleil de sorte que son diamètre équatorial se trouve exactement sur la fente. On suppose que le spectroscope ne possède pas de vitesse radiale par rapport au centre du Soleil. Le rayon de ce dernier est r = 700 000 km et sa période de rotation est T qui vaut environ 27 jours. Remarquons que l’extrémité B correspond à l’image du bord équatorial se rapprochant et l’extrémité D à celle du bord équatorial s’éloignant de l’observateur (voir figure cidessous). B S D Fente = plan équatorial ω B S D a) Calculer la vitesse radiale des deux bords équatoriaux du Soleil. b) Application : mise en évidence de l’effet Doppler-Fizeau. La longueur d’onde d’un objet émettant une radiation de longueur d’onde λE lorsqu’il est au repos devient λ ' E = ( 1 − ν / c ) /( 1 + ν / c ) quand il se déplace radialement par rapport à l’observateur à la vitesse ν comptée positivement quand il se rapproche de celui-ci ; c désigne la célérité de la lumière et on prendra c = 3.108 ms-1. Calculer le décalage de longueur d’onde ±∆λ correspondant à l’effet Doppler-Fizeau aux points B et D pour la longueur d’onde λE. Donner l’allulre de la raie B’D’ observée pour la longueur d’onde λE à l’ordre kM. c) Calculer la distance angulaire ∆i’M et linéaire ∆yM entre B’ et D’.