6.Espaces vectoriels

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ESPACES VECTORIELS
1. INTRODUCTION
1.1. LE VECTEUR DU PHYSICIEN
Il est déterminé par une origine
une direction
un sens
une longueur.
Lorsqu'ils ont même origine on peut effectuer les opérations suivantes :
u
u
O
u v
u
v
O
ADDITION PRODUIT PAR UN REEL
L'ensemble des vecteurs de même origine O muni de ces 2 opérations est un exemple
d'espace vectoriel.
A tout point M du plan correspond un unique vecteur
u
qui peut être repéré par un couple
(x,y)  2. On peut identifier l'ensemble des vecteurs du plan d'origine O avec 2.
y M
u
e2
O
e1
x
Si
u
= (x1,y1) et
v
= (x2,y2), alors
u v
= (x1+x2,y1+y2) et 
u
= (x1,y1).
En fait si
e1
= (1,0) et
e2
= (0,1) on a donc
u
= x1
e1
+ y1
e2
.
u
est une combinaison linéaire de
e1
et
e2
.
{
e1
,
e2
} est une base de l'espace vectoriel dont la dimension est 2.
1.2. L'ESPACE DES POLYNOMES DE DEGRE INFERIEUR OU EGAL A 2
Soit P2 cet ensemble.
Si P(X) = a + bX + cX2, en notant e0(X) = 1, e1(X) = X et e2(X) = X2, on a :
P(X) = a e0(X) + b e1(X) + c e2(X) ou encore P = a e0 + b e1 + c e2.
P2 muni de l'addition des fonctions et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel.
{ e0, e1, e2 } est une base de P2 dont la dimension est 3.

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2. DEFINITION. EXEMPLES
2.1. DÉFINITION
Un espace vectoriel sur un corps K est un ensemble E muni de 2 lois :
une addition notée +
une multiplication notée  des éléments de E (vecteurs) par les éléments de K
(scalaires).
 ( E, + ) est un groupe commutatif :
L'addition est une loi interne dans E telle que :
  (
u
,
v
)  E2
u
+
v
=
v
+
u
( commutativité )
  (
u
,
v
,
w
)  E3 (
u
+
v
) +
w
=
u
+ (
v
+
w
) ( associativité )
 Il existe dans E un élément neutre pour l'addition noté
0
u
 E
u
+
0
=
0
+
u
=
u
 Tout vecteur
u
 E possède un opposé noté (-
u
)
u
 E
u
+ (-
u
) = (-
u
) +
u
=
0
 La multiplication  est une loi externe c'est à dire une application de KxE dans E qui à
(,
u
) associe  
u
noté aussi 
u
.
Elle vérifie les 4 propriétés suivantes :
  (,)  K2 
u
 E (
u
) = ()
u
  (,)  K2 
u
 E (+)
u
= 
u
+ 
u
    K  (
u
,
v
)  E (
u
+
v
) = 
u
+ 
v
u
 E 1 
u
=
u
Exemples de corps : ,  ou .
En général K =  ou .
2.2. EXEMPLES
1. E = Kn = { (x1, x2,...., xn)  xi  K 1  i  n }.
2. Pn(X) : Polynômes de degré inférieur ou égal à n à coefficients dans K.
3. K [X] : Polynômes à coefficients dans K.
4. F (K,K) : Fonctions de K dans K.
5. F (,K) : Suites à valeurs dans K.
2.3. SOUS-ESPACES VECTORIELS
Définition :
Soit F une partie non vide de l'espace vectoriel ( E, +,  ) sur K. F est un sous-espace
vectoriel de E si et seulement si ( F, +,  ) est un espace vectoriel sur K.

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Propriété :
F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si
1. F  
2. a  (
u
,
v
)  F
u
+
v
 F
b    K, 
u
 F 
u
 F
Preuve :
Les seules propriétés non évidentes à vérifier sont :
0
 F et si
u
 F alors -
u
 F
Or F   donc il existe un vecteur
u
 F, avec = 0 on a 0
u
=
0
 F, et avec = -1 on a (-
1)
u
= -
u
 F.
Propriété équivalente
F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si
1. F  
2.  (,)  K2,  (
u
,
v
)  F2 
u
+ 
v
 F
Ceci signifie que F est stable par combinaison linéaire.
Définition :
Une combinaison linéaire de
u1
,
u2
,...,
un
est un vecteur de la forme
1
u1
+2
u2
+...+n
un
Exemples :
1. E est un sous-espace vectoriel de E.
2. {
0
} est un sous-espace vectoriel de E.
3. Pn(X)  K [X]  F (K,K).
4. Dans 2 : D = { (x,y)  2  ax +by = 0 }
5. Si c  0 et  = { (x,y)  2  ax +by = c }, alors  n'est pas un sous-espace vectoriel
de 2.
2.4. PARTIES GENERATRICES D'UN SOUS-ESPACE
Soient
u1
,
u2
,...,
un
des vecteurs de E.
L'ensemble des combinaisons linéaires de
u1
,
u2
,...,
un
est un sous-espace vectoriel de E.
Soit F un sous-espace vectoriel de E. La famille {
u1
,
u2
,...,
un
} est génératrice de F
si et seulement si tout élément de F peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs
u1
,
u2
,...,
un
.
F est le sous-espace engendré par {
u1
,
u2
,...,
un
}. On note F = [
u1
,
u2
,...,
un
]
Le sous-espace engendré par {
u1
,
u2
,...,
un
} est en fait le plus petit sous-espace
vectoriel de E contenant
u1
,
u2
,...,
un
.

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Exemples :
1.
e1
= (1,0),
e2
= (0,1) {
e1
,
e2
} est une famille génératrice de 2.
2.
ei
= (0,...,0,1,0,...,0) {
e1
,
e2
,...,
en
} est une famille génératrice de Kn.
ième place
3. ei(X) = Xi {e0,e1,...,en} est une famille génératrice de Pn(X).
4. {e0,e1,...,en,...} est une famille génératrice infinie de K[X].
5. {
e1
,
e2
,
e1
+
e2
} est une famille génératrice de 2.
2.5. FAMILLES LIBRES - FAMILLES LIEES
Définition 1 :
{
u1
,
u2
,...,
un
} est une famille liée de l'espace vectoriel E s'il existe au moins une
relation
i i
i
nu
1
=
0
à coefficients non tous nuls.
Définition 2 :
{
u1
,
u2
,...,
un
} est une famille libre de l'espace vectoriel E si elle n'est pas liée donc si :
i i
i
nu
1
=
0
 i  [1,n] i = 0
Exemples :
1. {
e1
,
e2
} est une famille libre de 2.
2.
u1
1
1
1
,
u2
1
1
2
,
u3
1
3
4
. {
u1
,
u2
,
u3
} est une famille liée de 3 car 2
u1
+
u2
-
u3
=
0
.
3.
u1
1
1
1
,
u20
1
1
,
u3
1
0
0
. {
u1
,
u2
,
u3
} est une famille libre de 3.
Remarques :
 Si on ajoute un vecteur à une famille liée on obtient encore une famille liée.
 Une sous-famille d'une famille libre est encore libre.
2.6. BASES
Définition :
Une base de E est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice de E.
Exemples :
1.
ei
= (0,...,0,1,0,...,0) {
e1
,
e2
,...,
en
} est une base de Kn.
ième place
2. ei(X) = Xi { e0,e1, . . . ,en } est une base de Pn(X).
3. {e0,e1,...,en,...} est une base infinie de K[X].

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Propriété :
Une base de E est une famille libre maximale. C'est aussi une famille génératrice
minimale.
Preuve :
En effet soit B une base. C'est donc une famille libre. Si
v
 E\B alors
v
est
combinaison linéaire d'éléments de B car B est une famille génératrice donc B{
v
} n'est
pas libre et B est une famille libre maximale.
Réciproquement, soit B une famille libre maximale. Si
v
 E\B, B{
v
} est donc liée.
On a donc une relation qui s'écrit :
i i
i
nu
1
+ n+1
v
=
0
, où pour tout i,
ui
 B, et pour
laquelle il existe au moins un coefficient k non nul.
Si n+1 = 0 alors
i i
i
nu
1
=
0
et B étant une famille libre, i = 0 pour tout i, ce qui n'est pas
possible. Donc n+1  0 et
v
= -
1
1
n
i i
i
nu
1
et B est une famille génératrice donc une
base.
Propriété :
B est une base de E si et seulement si tout vecteur de E s'écrit de manière unique
comme une combinaison linéaire d'éléments de B.
Preuve dans le cas d'une base finie :
Si B = {
u1
,
u2
,...,
un
} est une base de E, soit
v
 E.
B étant une famille génératrice, on a
v
=
i i
i
nu
1
. Supposons qu'on ait aussi
v
=
i i
i
nu
1
. On
en déduit que
( ) 
i i i
i
nu
1
=
0
, donc puisque B est une famille libre, que pour tout i,
i=i.
Réciproquement il suffit de montrer que B est une famille libre car par hypothèse c'est
une famille génératrice. Or
0
1
ui
i
n
=
0
est également par hypothèse l'unique écriture de
0
comme combinaison linéaire de {
u1
,
u2
,...,
un
} donc la famille et libre. C'est donc une base.
i est la ième composante ou coordonnée de
u
dans la base B.
Remarque :
Le calcul de
u
+
u'
ou 
u
peut ainsi se faire composante par composante.
2.7. DIMENSION
Théorème 1 : ( Théorème de la base extraite )
Si E admet une famille génératrice G finie alors il existe une base B de E telle
que B  G, donc E admet une base finie.