6.Espaces vectoriels

FIIFO
ALGEBRE LINEAIRE
ESPACES VECTORIELS
1.
INTRODUCTION
1.1.
LE VECTEUR DU PHYSICIEN
Il est déterminé par une origine
une direction
un sens
une longueur.
Lorsqu'ils ont même origine on peut effectuer les opérations suivantes :

u

u
O

u
 
uv

v
O
ADDITION
PRODUIT PAR UN REEL
L'ensemble des vecteurs de même origine O muni de ces 2 opérations est un exemple
d'espace vectoriel.

A tout point M du plan correspond un unique vecteur u qui peut être repéré par un couple
(x,y)  2. On peut identifier l'ensemble des vecteurs du plan d'origine O avec 2.
M
y

e2
O

u

e1
x


 

Si u = (x1,y1) et v = (x2,y2), alors u  v = (x1+x2,y1+y2) et  u = (x1,y1).





En fait si e 1 = (1,0) et e 2 = (0,1) on a donc u = x1 e 1 + y1 e 2 .



u est une combinaison linéaire de e 1 et e 2 .
 
{ e 1 , e 2 } est une base de l'espace vectoriel dont la dimension est 2.
1.2.
L'ESPACE DES POLYNOMES DE DEGRE INFERIEUR OU EGAL A 2
Soit P2 cet ensemble.
Si P(X) = a + bX + cX2, en notant e0(X) = 1, e1(X) = X et e2(X) = X2, on a :
P(X) = a e0(X) + b e1(X) + c e2(X) ou encore
P = a e0 + b e1 + c e2.
P2 muni de l'addition des fonctions et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel.
{ e0, e1, e2 } est une base de P2 dont la dimension est 3.
J.P. LENOIR
PAGE 31
CHAPITRE 6
FIIFO
2.
ALGEBRE LINEAIRE
DEFINITION. EXEMPLES
2.1.
DÉFINITION
Un espace vectoriel sur un corps K est un ensemble E muni de 2 lois :
une addition notée +
une multiplication notée  des éléments de E (vecteurs) par les éléments de K
(scalaires).
 ( E, + ) est un groupe commutatif :
L'addition est une loi interne dans E telle que :
 
 
 
u + v = v + u ( commutativité )
  ( u , v )  E2
  




 
  ( u , v , w )  E3 ( u + v ) + w = u + ( v + w ) ( associativité
)

 Il existe dans E un élément
pour l'addition noté 0
  neutre



 u  E u +0 = 0+u = u


 Tout vecteur u  E possède un opposé
noté (- u )






 u  E u + (- u ) = (- u ) + u = 0
 La multiplication  est une loi externe c'est à dire une application de KxE dans E qui à



(, u ) associe   u noté aussi  u .
Elle vérifie les 4 propriétés suivantes :



  (,)  K2
 u E
( u ) = () u




  (,)  K2
 u E
(+) u =  u +  u
 
 


    K  (u,v)  E
( u + v ) =  u +  v



  u E
1 u = u
Exemples de corps : ,  ou .
En général K =  ou .
2.2.
1.
2.
3.
4.
5.
EXEMPLES
E = Kn = { (x1, x2,...., xn)  xi  K 1  i  n }.
Pn(X) :
Polynômes de degré inférieur ou égal à n à coefficients dans K.
K [ X] :
Polynômes à coefficients dans K.
F (K,K) :
Fonctions de K dans K.
F (,K) :
Suites à valeurs dans K.
2.3.
SOUS-ESPACES VECTORIELS
Définition :
Soit F une partie non vide de l'espace vectoriel ( E, +,  ) sur K. F est un sous-espace
vectoriel de E si et seulement si ( F, +,  ) est un espace vectoriel sur K.
J.P. LENOIR
PAGE 32
CHAPITRE 6
FIIFO
ALGEBRE LINEAIRE
Propriété :
F est un sous-espace vectoriel de E
1. F  
 
2. a
 (u,v)  F

b
   K,  u  F
si et seulement si
 
u+v F

u F
Preuve :
Les seules
 propriétés non évidentesà vérifier sont :
0  F et si u  F alors - u  F

 
Or F   donc il existe un vecteur u  F, avec = 0 on a 0 u = 0  F, et avec = -1 on a (

1) u = - u  F.
Propriété équivalente
F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si
1. F  
 


2.  (,)  K2,  ( u , v )  F2
u + v F
Ceci signifie que F est stable par combinaison linéaire.
Définition :

 
Une combinaison linéaire de u 1 , u 2 ,..., u n est un vecteur de la forme



1 u 1 +2 u 2 +...+n u n
Exemples :
1. E  est un sous-espace vectoriel de E.
2. { 0 } est un sous-espace vectoriel de E.
3. Pn(X)  K [X]  F (K,K).
4. Dans 2 :
D = { (x,y)  2  ax +by = 0 }
5. Si c  0 et  = { (x,y)  2  ax +by = c }, alors  n'est pas un sous-espace vectoriel
de 2.
2.4.
PARTIES GENERATRICES D'UN SOUS-ESPACE

 
Soient u 1 , u 2 ,..., u n des vecteurs de E.

 
L'ensemble des combinaisons linéaires de u 1 , u 2 ,..., u n est un sous-espace vectoriel de E.

 
Soit F un sous-espace vectoriel de E. La famille { u 1 , u 2 ,..., u n } est génératrice de F
si et seulement si tout élément de F peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs

 
u 1 , u 2 ,..., u n .


 
 
F est le sous-espace engendré par { u 1 , u 2 ,..., u n }. On note F = [ u 1 , u 2 ,..., u n ]

 
Le sous-espace engendré par { u 1 , u 2 ,..., u n } est en fait le plus petit sous-espace

 
vectoriel de E contenant u 1 , u 2 ,..., u n .
J.P. LENOIR
PAGE 33
CHAPITRE 6
FIIFO
ALGEBRE LINEAIRE
Exemples :


1. e 1 = (1,0), e 2 = (0,1)

2. e i = (0,...,0,1,0,...,0)
i
ème 
 
{ e 1 , e 2 } est une famille génératrice de 2.
 

{ e 1 , e 2 ,..., e n } est une famille génératrice de Kn.
place
3. ei(X) = Xi
{e0,e1,...,en} est une famille génératrice de Pn(X).
4. {e0,e1,...,en,...} est une famille génératrice infinie de K[X].
   
5. { e 1 , e 2 , e 1 + e 2 } est une famille génératrice de 2.
2.5.
FAMILLES LIBRES - FAMILLES LIEES
Définition 1 :

 
{ u 1 , u 2 ,..., u n } est une famille liée de l'espace vectoriel E s'il existe au moins une
n
 
relation   i u i = 0 à coefficients non tous nuls.
i 1
Définition 2 :

 
{ u 1 , u 2 ,..., u n } est une famille libre de l'espace vectoriel E si elle n'est pas liée donc si :
n
 
  i u i = 0   i  [1,n] i = 0
i 1
Exemples :
 
1. { e 1 , e 2 } est une famille libre de 2.

  
  1    1   1   
2. u 1  1 , u 2  1 , u 3  3 . { u 1 , u 2 , u 3 } est une famille liée de 3 car 2 u 1 + u 2 - u 3 = 0 .
 1
 2
 4
  1   1   1   
3. u 1  1 , u 2  1 , u 3  0 . { u 1 , u 2 , u 3 } est une famille libre de 3.
 1
 0
 0
Remarques :
 Si on ajoute un vecteur à une famille liée on obtient encore une famille liée.
 Une sous-famille d'une famille libre est encore libre.
2.6.
BASES
Définition :
Une base de E est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice de E.
Exemples :

 

1. e i = (0,...,0,1,0,...,0) { e 1 , e 2 ,..., e n } est une base de Kn.
i
ème 
place
2. ei(X) = Xi
{ e0,e1, . . . ,en } est une base de Pn(X).
3. {e0,e1,...,en,...} est une base infinie de K[X].
J.P. LENOIR
PAGE 34
CHAPITRE 6
FIIFO
ALGEBRE LINEAIRE
Propriété :
Une base de E est une famille libre maximale. C'est aussi une famille génératrice
minimale.
Preuve :


En effet soit B une base. C'est donc une famille libre. Si v  E\B alors v est

combinaison linéaire d'éléments de B car B est une famille génératrice donc B{ v } n'est
pas libre et B est une famille libre maximale.


Réciproquement, soit B une famille libre maximale. Si v  E\B, B{ v } est donc liée.
n




On a donc une relation qui s'écrit :   i u i + n+1 v = 0 , où pour tout i, u i  B, et pour
i 1
laquelle il existe au moins un coefficient k non nul.
n


Si n+1 = 0 alors   i u i = 0 et B étant une famille libre, i = 0 pour tout i, ce qui n'est pas
i 1

possible. Donc n+1  0 et v = -
1
 n1
n

 u
i 1
i
i
et B est une famille génératrice donc une
base.
Propriété :
B est une base de E si et seulement si tout vecteur de E s'écrit de manière unique
comme une combinaison linéaire d'éléments de B.
Preuve dans le cas d'une base finie :


 
Si B = { u 1 , u 2 ,..., u n } est une base de E, soit v  E.
n



B étant une famille génératrice, on a v =   i u i . Supposons qu'on ait aussi v =
i 1
n
en déduit que
 (
i 1
i
n

 u
i 1
i
i
. On


  i ) u i = 0 , donc puisque B est une famille libre, que pour tout i,
i=i.
Réciproquement il suffit de montrer que B est une famille libre car par hypothèse c'est
n



une famille génératrice. Or  0u i = 0 est également par hypothèse l'unique écriture de 0
i 1

 
comme combinaison linéaire de { u 1 , u 2 ,..., u n } donc la famille et libre. C'est donc une base.

i est la ième composante ou coordonnée de u dans la base B.
Remarque :
 

Le calcul de u + u' ou  u peut ainsi se faire composante par composante.
2.7.
DIMENSION
Théorème 1 : ( Théorème de la base extraite )
Si E admet une famille génératrice G finie alors il existe une base B de E telle
que B  G, donc E admet une base finie.
J.P. LENOIR
PAGE 35
CHAPITRE 6
FIIFO
ALGEBRE LINEAIRE
Preuve :

 
Si G = { u 1 , u 2 ,..., u p }, l'un de ses vecteurs est non nul puisque c'est une famille


génératrice. Supposons que ce soit u 1 . L1 = { u 1 } est donc une famille libre. Si L1 est
également génératrice le théorème est démontré.
 
Sinon il existe k[1,n] tel que { u 1 , u k }soit libre. En effet on ne peut avoir pour tout


i[2,n], u i =i u 1 car L1 n'est pas une famille génératrice de E. On peut supposer k=2. Ainsi
 
L2 = { u 1 , u 2 }.
On construit ainsi une suite Lj avec Card Lj = j, telle que L1  L2 . . .  G.
Deux cas sont possibles :
ou il existe r tel que Lr soit libre et génératrice avec r < p, et c'est une base de E.
ou r = p, Lr = G et G est une base de E.
Théorème 2 :
Soit L une famille libre et G une famille génératrice finie de E. Alors CardL 
CardG.
Preuve :
p

 



Si G = { u1 , u 2 ,..., u p }et a 1  L, alors a 1 =   i u i . Il existe k[1,p] tel que k0,
i 1
1  p

 

sinon a 1 = 0 ce qui est impossible. Supposons que ce soit 1. On a alors u1 = [ a 1 -   i u i ]
1
i2

 
et { a 1 , u 2 ,..., u p } engendre E.
p






Si a 2  L, on a a 2 = 1 a 1 +   i u i . Il existe k[2,p] tel que k0, sinon a 2 = 1 a 1 ce
i2
p
1 



qui est impossible. Supposons que k = 2. On a alors u 2 = [ a 2 -1 a 1 -   i u i ].
1
i3
 

 
On construit ainsi une famille génératrice { a 1 , a 2 ,..., a q , u q1 ,..., u p }.

 
Si CardL > CardG, on peut continuer le processus jusqu'à ce que q = p. { a 1 , a 2 ,..., a p }est

 
alors une famille génératrice de E et tous les éléments de L - { a 1 , a 2 ,..., a p } sont des

 
combinaisons linéaires de a 1 , a 2 ,..., a p ce qui est impossible car L est libre, donc L est
finie et CardL  CardG.
Théorème 3 : ( Théorème de la base incomplète )
Soit E un espace vectoriel admettant une base finie. Toute famille libre peut être
complétée de manière à obtenir une base de E.
Preuve :
En effet si B est une base de cardinal n, alors B est une famille génératrice. Donc
d'après le théorème 2, L est finie et p = CardL  n. Ainsi BL est une famille génératrice
finie. On applique alors la démarche du théorème 1 avec L1  L2 . . .  Lp = L et on continue
le processus jusqu'à obtenir une base.
J.P. LENOIR
PAGE 36
CHAPITRE 6
FIIFO
ALGEBRE LINEAIRE
Théorème 4 :
Soit E un espace vectoriel admettant une base finie B de cardinal n. Toutes les bases
de E ont n éléments.
Preuve :
En effet soit B' une base de E.
B' est libre et B est génératrice donc CardB'  CardB.
B' est génératrice et B est libre donc CardB  CardB'.
D'où CardB = CardB' = n.
Définition :
Le nombre d'éléments des bases d'un espace vectoriel E est sa dimension. E est un
espace vectoriel de dimension finie. On note cette dimension dimK(E).
Exemples :

1. Si E = { 0 }, on pose dimK(E) = 0. E n'a pas de base.
 


2. dimK(Kn) = n. La base canonique est { e 1 , e 2 ,..., e n } avec e i = (0,...,0,1,0,...,0).
i
ème 
place
3. dimK(Pn(X)) = n+1. La base canonique est { e0,e1, . . . ,en } avec ei(X) = Xi.
4. dim() = 2. La base canonique est {1,i}.
dim() = 1. La base canonique est {1}.
 


5. dim(n) = n. La base canonique est { e 1 , e 2 ,..., e n } avec e i = (0,...,0,1,0,...,0).
i
ème 
place
n
dim( ) = 2n. La base canonique est {(1,0,...,0), (i,0,...,0), . . . , (0,...,0,1), (0,...,0,i)}.
1
3
2
2
) + sin( ) = - + i
. On a j3 = 1.
2
2
3
3
1
1
3
3
(j,j) = - (1,0) +
(i,0) - (0,1) +
(0,i)
2
2
2
2
*
(j,j) 2, avec j = cos(
*
(j,j) 2
(j,j) = j(1,0) + j(0,1).
Corollaire 1 :
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
Toute famille libre de n éléments est une base.
Toute famille génératrice de n éléments est une base.
Corollaire 2 :
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
Toute famille de plus de n éléments est liée.
Toute famille de moins de n éléments n'est pas génératrice.
Corollaire 3 :
Soit F un sous-espace vectoriel de E.
1. dimK(F)  dimK(E)
2. dimK(F) = dimK(E)  F = E.
J.P. LENOIR
PAGE 37
CHAPITRE 6
FIIFO
ALGEBRE LINEAIRE
Propriété :
dimK(E1xE2x . . . xEp) = dimK(E1) + dimK(E2) + . . . + dimK(Ep).
Preuve :

 
En effet si { u i 1 , u i 2 , . . . , u i n i } est une base de Ei, une base de E1xE2x . . . xEp est

{(0, . . . ,0, u i k ,0, . . . ,o)  1  i  p , 1  k  ni }.
Exemples :
dim(n) = n.
dim(n) = 2n.
2.8.
RANG D'UNE FAMILLE DE VECTEURS D'UN ESPACE VECTORIEL
E
Définition :

 
Le rang d'une famille { v 1 , v 2 , . . . , v p } est la dimension du sous-espace vectoriel
qu'elle engendre.
Notation :

 
rg ( v 1 , v 2 , . . . , v p )
Propriété :

 
Posons r = rg ( v 1 , v 2 , . . . , v p )
1. r  dimE.
2. r = dimE


 
[ v 1 , v 2 , . . . , v p ] = E.
3. r  p.
4. r = p

5. r = p = dimE

 
{ v1 , v2 , . . . ,
 
{ v1 , v2 , . . . ,
2.9.

v p } est une famille libre.

v p } est une base.
SOMME, SOMME DIRECTE, SOUS-ESPACES SUPPLEMENTAIRES
Définition :



 

E1 + E2 = { u  E  u = u 1 + u 2 , u 1  E1 , u 2  E2 },
E1 et E2 étant des sous-espaces vectoriels de E.
Propriété et définition :
Soit F = E1 + E2. La décomposition
de tout élément de F sur E1 et E2 est unique si

et seulement si E1  E2 = { 0 }.
Dans ce cas on dit que la somme est directe et on écrit F = E1  E2.
Preuve :





 
En effet si u 0  E1  E2 avec u 0 { 0 } et si u = u 1 + u 2 avec u  E1 + E2, alors on a

 
 
aussi u = ( u 1 + u 0 ) + ( u 2 - u 0 ) et la décomposition n'est pas unique.
J.P. LENOIR
PAGE 38
CHAPITRE 6
FIIFO
ALGEBRE LINEAIRE



   
 
 
Réciproquement si E1  E2 = { 0 } et u = u 1 + u 2 = u'1 + u ' 2 , alors u 1 - u'1 = u 2 - u ' 2 = 0
car ces 2 vecteurs sont dans E1  E2, d'où l'unicité.
Définition :
Si E = E1  E2 alors E1 et E2 sont supplémentaires.
Propriété :
E = E1  E2. Soit B1 et B2 des bases de E1 et E2. Alors B = B1  B2 est une base de E.
Exemples :
E = P3(X))
E1 = [ e0, e1 ]
E2 = [ e2, e3 ]
dim E1 = 2.
dim E2 = 2.
E = E1  E2.
Corollaire :
Soit E1 un sous-espace vectoriel de E. Il existe un supplémentaire de E1.
Si E est de dimension finie ce corollaire se démontre à l'aide du théorème de la base
incomplète.
Remarque : Celui-ci n'est en général pas unique.
Théorème :
Soit E un espace vectoriel de dimension
finie.

E = E1  E2 
( E1  E2 = { 0 } et dimE = dimE1 + dimE2 )
Preuve :

Evident.


 

 
Soit { u1 , u 2 , . . . , u p } une base de E1 et { v 1 , v 2 , . . . , v q } une base de E2.
Si dimE = n on a donc p +q = n.

  
 
Montrons que { u1 , u 2 , . . . , u p , v 1 , v 2 , . . . , v q } est une base de E.
Cette famille ayant n éléments, il suffit de montrer qu'elle est
libre.
 



Supposons donc que 1 u1 + . . . +p u p +1 v 1 + . . . +q v q = 0 .



  




En posant u =1 u1 + . . . +p u p et v =1 v 1 + . . . +q v q , on a donc u + v = 0 avec u E1


 
  
et v E2. D'où u =- v . Or E1  E2 = { 0 }, on en déduit que u = v = 0 .




 
u =1 u1 + . . . +p u p = 0 donc 1 = . . . = p = 0, car { u1 , u 2 , . . . , u p } est une base de E1.

 

De même 1 = . . . = q = 0 donc { u1 , . . . , u p , v 1 , . . . , v q } est une famille libre donc une
base de E.

Conclusion : E = E1 + E2 et E1  E2 = { 0 } d'où E = E1  E2.
Exemples :

Dans 2 : Deux droites vectorielles D1 et D2 avec D1  D2 = { 0 } sont supplémentaires.
Dans 3 : Si D est une droite et P un plan tels que P  D = { 0 } alors D  P = 3.
J.P. LENOIR
PAGE 39
CHAPITRE 6
FIIFO
ALGEBRE LINEAIRE
Propriété :
dim(E1 + E2) = dimE1 + dimE2 - dimE1  E2.
Preuve :
dimE1 = p, dimE2 = q et dimE1  E2 =r. On a r  p et r  q


Soit { w 1 , . . . , w r } une base de E1  E2. On la complète en deux bases l'une de E1, l'autre de


 
 


E2 qui sont respectivement : { w 1 , . . . , w r , u r 1 , . . . , u p } et { w 1 , . . . , w r , v r 1 , . . . , v q }.
 

 

Nous allons montrer que { w 1 , . . . , w r , u r 1 , . . . , u p , v r 1 , . . . , v q } est une base de E1 + E2,
ce qui montrera que dim(E1 + E2) = r + (p - r) + (q - r) = p + q + r.
Cette famille est, par construction, génératrice de E1 + E2. Montrons qu'elle est libre.

 




Supposons donc que 1 w 1 + . . . +r w r +r+1 u r 1 + . . . +p u p +r+1 v r 1 + . . . +q v q = 0 .






 

En posant w =1 w 1 + . . . +r w r , u =r+1 u r 1 + . . . +p u p et v =r+1 v r 1 + . . . +q v q , on a
   



donc u + v + w = 0 avec u E1, v E2 et w E1  E2.



Or E1 = (E1  E2)  E'1 avec E'1 = [ u r 1 , . . . , u p ], ce qui implique que u E'1



et E2 = (E1  E2)  E'2 avec E'2 = [ v r 1 , . . . , v q ], d'où v E'2.

 



v = - u - w donc v E2 et v E1, d'où v  E1  E2. Comme E1  E2 et E'2 sont en


 

somme directe cela entraîne que v = u + w = 0 , et puisque la famille { v r 1 , . . . , v q } est libre
on en déduit que r+1 = . . . = q = 0.

 

La famille { w 1 , . . . , w r , u r 1 , . . . , u p } étant une base de E1, on a aussi 1 = . . . = p = 0,
 

 

donc la famille { w 1 , . . . , w r , u r 1 , . . . , u p , v r 1 , . . . , v q } est libre.
C'est donc une base de E1 + E2.
J.P. LENOIR
PAGE 40
CHAPITRE 6