Agrégation Interne 2001

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Agrégation Interne 2001 Corrigé des exercices d’induction II
Agrégation Interne 2001
Exercices d’induction II Corri-
gé
Exo n°1 :
1. Le câble coaxial présente la symétrie cylindrique forte, donc on calcule le
champ magnétique
B
par le théorème de Gauss. On choisit des coordonnées cy-
lindriques
zr ,,
. Il y a double invariance par translation le long de Oz, & par
rotation autour de Oz, d’où :
0 ,0 
z
, donc r est seule variable. Tout plan
contenant Oz est plan de symétrie, donc on a :
urBB ).(
. Les lignes de champ
sont donc des cercles d’axe Oz, & le théorème d’Ampère donne :
r
I
BIdlBo
o
LC 
2
.int
. On calcule ensuite le flux propre de ce champ à
travers le rectangle C reliant les deux armatures du coaxial, de hauteur h (cf fi-
gure).
LI
a
b
h
I
drh
r
I
dSBo
b
a
o
CS
  ln
2
.
2
.
)(
, d’où on déduit l’inductance
linéique du câble coaxial :
a
b
Ih
Lo
oln
2. 
.
AN : valeurs raisonnables : a = 0,5 mm, b = 5 mm, & on rappelle que µo =
7
10.4 
SI, d’où :
mH/m 64,010ln10.2 7 
o
L
, valeur extrêmement faible, car une seule spire.
2. On appelle
21 &BB
les champs magnétiques créés par les deux
cylindres. La règle du tire - bouchon montre (cf figure) que les deux
champs sont dirigés vers les x < 0. Le champ résultant vaut donc :
yby
I
Bo11
2
. On en déduit le flux propre à travers le rec-
tangle C reliant les deux conducteurs, & de hauteur h :
aab
h
I
dy
yby
h
I
dSBo
ab
a
o
CS
ln.
11
2
.
)(
, d’où
l’inductance linéique :
a
b
aab Ih
Loo
olnln
.
, car en
pratique on a b >> a. AN : valeurs raisonnables : a = 0,5 mm, b = 1
cm, d’où :
H/m ,21
o
L
, du même ordre de grandeur. Le résultat
précédent constitue l’inductance extérieure, due au champ à l’extérieur des fils. La contribution intérieure
ne peut se calculer que par la méthode énergétique, puisque la notion de flux suppose le circuit filiforme.
A l’intérieur d’un fil infini, ou de hauteur h >> a, le théorème d’Ampère donne, en supposant le courant
uniformément réparti :
r
a
I
Br
a
I
BrdSJIdlBo
o
CS
oo
LC 2
2
2
)(
int 2
.2.. 
, d’où on dé-
duit la densité d’énergie :
2
42
22
8
2r
a
IB
d
dW
uo
o
. On intègre dans le volume du conducteur :

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  82
1
4
4
.2.
8
.2
4
4
2
0
2
42
2h
LIL
a
a
hI
drrhr
a
I
duW o
ii
o
a
o
, donc
8o
oi
L
, valeur indépendante
du rayon du câble, & donc valable pour un circuit filiforme.
Quand
0a
, la contribution intérieure devient négligeable devant la contribution extérieure (cas des
circuits filiformes, & donc quand on demande de calculer L, il s’agit en fait de la contribution extérieure).
3. La première ligne bifilaire parcourue par le courant I1 crée un
champ magnétique
B
somme des champs
21 &BB
créés par les
deux fils. On a, en norme :
2
1
2
1
1
12
,
2r
I
B
r
I
Boo 
, d’où on
déduit le flux à travers le circuit C2 :
)2( )2( 22121 ..)2( CS CS
dSBBdSB
, soit :
2
)2( 21
1
1.
sinsin
2
)2( dS
rr
I
CS
o 
, ou enfin :
22
2
2
1
2
2
22
1
1ln
2
.
2
)2( ab
abbhI
dx
xbb
xb
bx
xhI o
ab
a
o
, d’où l’inductance mutuelle li-
néique :
2ln
2
ln
2. )2( 22
2
2
1
1
oo
oab
abb
Ih
M
car en pratique b >> a. Il reste
H/m 14,0 
o
M
,
toujours du même ordre de grandeur.
4. A l’intérieur du tore, au point M situé à la distance r de l’axe Oz, le fil parcouru par le courant I1 crée le
champ
)(
1rB
donné par le théorème d’Ampère :
r
I
rB o 2 )( 1
1
, dont le flux à travers une spire du tore
vaut :
)2/( )2/(
ln
22
.1
2/
2/
1
221 aD aDaI
r
draI
dSBo
aD
aD
o
S
. On en déduit le flux total à travers
l’enroulement :
)2/( )2/(
ln
21aD aDaNI
No
, puis l’inductance mutuelle par :
1
I
M
, soit :
)2/( )2/(
ln
2aD aDNa
Mo
. AN :
nH 04
5,9 5,10
ln10.20010.2 27   M
, valeur extrêmement faible.
Exo n°2 :
1. Le cadre est en équilibre sous l’action de son poids & du couple électromagnétique. Mouvement de
rotation, donc on calcule les moments par rapport à l’axe Ox : le poids
gm  .
a un moment
gmOG 
1
si G est le centre d’inertie du cadre. Ce moment est dirigé vers les x < 0 :
 cos.
1mgb x
. A courant
constant, l’énergie magnétique et donnée par
 cos.4. abiBiWD
. On en déduit le couple électro-
magnétique
 sin.4 Grad 22 abiB
d
dW
WD
xD
. Autre calcul possible : le champ magné-
tique étant uniforme, le circuit se comporte comme un dipôle magnétique, donc
B
 M
2
vers les x <
0, donc
 sin..
2BiS x
. Equation d’équilibre :
0sin4cos0
21  abiBmgb
, donc :
4
3
ou
4
1
25,0.110.4
1010
4
tan 2
3
aiB
mg
.

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2. Stabilité : par l’énergie pour changer.
gD WWW 
comprend l’énergie électromagnétique & l’énergie
potentielle de pesanteur, soit :
 sin.cos.4 mgbabiBW
.
A l’équilibre, l’énergie est extrémale, donc Si l’équilibre est stable, l’énergie est minimale, donc sa déri-
vée seconde positive & on retrouve l’équation d’équilibre précédente.
Si l’équilibre est stable, l’énergie est minimale, donc sa dérivée seconde positive. Si l’équilibre est ins-
table, l’énergie est maximale, donc sa dérivée seconde négative. On calcule :
WmgbabiB
d
Wd 
sin.cos.4
2
2
, normal pour une fonction sinusoïdale.
 Pour
00cos ,0sin:
41
2
2
111 
d
Wd
donc équilibre stable ;
 Pour
00cos ,0sin:
4
3
2
2
2
222 
d
Wd
donc équilibre instable ;
Exo n°3 : On considère le circuit élémentaire de dimensions
zb 2
, de profondeur a (cf figure). On l’assimile à
un circuit filiforme C, orientée à partir de la règle
du tire - bouchon & du champ magnétique. On
calcule le flux du champ magnétique à travers la
surface S (C) :
)(
.
CS
BSdSB
car les vecteurs
dSB&
sont colinéaires & de même sens, & le
champ ne dépend que du temps, donc :
tbzBm cos.2
, d’où la fem induite :
bzBEtE
dt
d
emmm   2 ,sin
. Conductance du circuit élémentaire (les lignes de courant pouvant
raisonnablement être considérées comme parallèles) :
b
dza
zb dza l
dS
dG 2
.
22 .
car
b
e
z2
(tôle). Puissance Joule élémentaire perdue dans ce circuit :
dzzbaBzbB
b
dza
EdGEdGdmmmeff 222222222 .4
2
.
2
1
.
2
1
.P
d’où :
2/
0
322222 24
1
e
mm beaBdzzbaBP
, d’où la puissance volumique :
222
24
1eB
eab
pm P
.
Cette quantité dépend de grandeurs sur lesquelles on ne peut pas intervenir : pulsation  & amplitude Bm
du champ magnétique, conductivité  de l’acier, facteur
24
1
lié à la géométrie. Pour réduire ces pertes, il
reste à réduire e, c’est-à-dire à feuilleter le circuit massif, ce qui est réalisé dans les carcasses de transfor-
mateurs.
Exo n°4 :
1. Pour chacun des solénoïdes, le champ magnétique créé au point O est dirigé suivant l’axe, & vaut :

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kkkkk
ko
kuiu
L
Ni
B...coscos
222 
, où  est une constante ne dépendant que des paramètres
géométriques du solénoïde. Le champ résultant vaut donc :
 3
1..)( kkk uiOB
. On associe alors à chaque
vecteur plan un nombre complexe, soit :
 3
1..)( kkk uiOB
, & on utilise les formules d’Euler pour représenter les sinus, ce qui donne :
3/43/43/43/23/23/2 ..1
2
2 
jtjtjjtjtjtjtj eeeeeeee
jI
B
On sépare les contributions en
tj
e
& en
tj
e
, ce qui donne :
111
2
2
1
2
23/83/4 
 tjjjtj e
jI
eee
jI
B
. Dans le premier crochet, on reconnaît la
somme des racines cubiques de l’unité, qui vaut zéro, d’où :
 2 exp
2
23
2
23 tj I
e
I
jB tj
.
Il en résulte que le module du champ est constant :
IB  2
2
3
, & que l’argument du nombre complexe
associé est une fonction affine du temps : on a affaire à un champ tournant autour du point O à la vitesse
angulaire constante  (qui est celle du système de courants triphasés) dans le sens trigonométrique.
2. Comme le champ magnétique créé tourne, l’angle entre sa direction & celle de la normale à la bobine
dépend du temps, donc son cosinus & le flux aussi, d’où production d’une fem induite & d’un courant
induit, donc de forces de Laplace qui auront un couple moteur entraînant la bobine dans un mouvement de
rotation.
3. D’après la figure, on déduit l’angle
BN,
à un instant t quel-
conque :
tBN .', 
, & donc le flux à travers la bobine
vaut :
BNNBSdSBNN
S
,cos..  
car le champ magné-
tique est supposé constant sur la bobine de faibles dimensions. On
en déduit la fem induite :
tEtNBS
dt
d
em.'sin.'sin.' 
, où l’on a posé :
 '.NBSEm
. On constate que la fem induite s’annule si
'
(pas de mouvement relatif, donc pas
de phénomènes d’induction), d’où le nom de moteur asynchrone. On a une fem alternative, donc on se
trouve en régime sinusoïdal forcé, & on utilise les notations complexes :
tjEee m 'exp.Re
, &
de même :
 tjItjIii m'exp.'exp.Re
. La bobine étant un circuit R-L, on a :
ijLRize .'. 
, car ici l’on a :
 'j
dt
d
, d’où :
'jLRE Im
, d’où l’on déduit que :
2
22
2
22 '
'.
'
LR
NBS
LR
E
Im
m
, &
0
'.
tan   R
L
car la bobine est un circuit induc-
tif. Il en résulte que :
 tIti m'sin)(
.
4. La bobine étant un petit circuit plongé dans un champ magnétique uniforme peut être assimilée à un
dipôle magnétique, donc soumise au couple :
B M
, où
NStiN .)(.M
est le moment magnétique
de la bobine. En module, on a donc :
BNtiNBSt ,sin).(.)( 
, soit en définitive :

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ttINBSt m 'sin.'sin.)(
. Par analogie avec la définition de la puissance active :
 tItUtituIUP mmeffeff cos.cos)().(cos
, on en déduit la valeur moyenne du
couple :
 22
22
2
tan1
1
'
'
2
1
cos.
2
1
LR
NBS
INBS m
, avec
R
L
 '. tan
, d’où :
2
2
2
2
'12
'
R
L
R
NBS
.
5. On fait apparaître les grandeurs
R
L
Q
&
' g
:
2222
2
112 gQ
Qg
gQL
QgNBS o
, où l’on a
posé :
L
NBS
o2
2
. On calcule la dérivée :
2
22
22
2
22
222
1
1
1
2.1
gQ
gQ
Q
gQ
gQQgQgQ
dg
doo 
. Donc :
 Si
0'1 g
(moteur à l’arrêt) :
Q
Q
Qo
o
 2
1
)1(
avec
1
2Q
comme il se doit pour
un rotor bobiné inductif ;
 Si
 '0g
(synchronisme, le moteur décroche) :
0
. La dérivée vaut :
Q
o
 )0('
;
 Si
:1
1 Q
gg m
alors
0
dg
d
, le couple est maximal
& vaut :
L
NBS
o
m42
2
, valeur indépendante de R.
D’où la courbe. Si on diminue le facteur de qualité : la
tangente à l’origine s’abaisse, le maximum du couple se
déplace vers la droite, en conservant la même valeur.
La puissance est donnée par :
22
1
1.
)1('. gQ
gg
Qg o P
. Pour un bon facteur de qualité, le
couple n’est important qu’autour de la valeur gm, alors
 mmm Q
P1 1.
.
Calcul rigoureux : on considère la fonction
22
1
)1.(
)( gQ
gg
gf 
qui s’annule en g = 0 & g = 1, donc il existe
un maximum entre les deux. On dérive :
2
22
32223222
2
22
222
1
22221
1
2.1.211
)(' gQ
gQgQgQggQ
gQ
gQggggQ
gf
, soit :
0
1
21
)(' 2
22
22 
gQ
gQg
gf
si
m
g
Q
Q
Q
g
Q
Q
ggQg   1
1111
021 2
2
2
2
22
si
l’on a la condition Q2 >> 1.