Agrégation Interne 2001

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Agrégation Interne 2001
Exercices d’induction II Corrigé
Exo n°1 :
1. Le câble coaxial présente la symétrie cylindrique forte, donc on calcule le
champ magnétique B par le théorème de Gauss. On choisit des coordonnées cylindriques r,, z  . Il y a double invariance par translation le long de Oz, & par


 0,
 0 , donc r est seule variable. Tout plan
rotation autour de Oz, d’où :
z

contenant Oz est plan de symétrie, donc on a : B  B (r).u . Les lignes de champ
sont donc des cercles d’axe Oz, & le théorème d’Ampère donne :
 I
 B.dl  o I int  B  2o r . On calcule ensuite le flux propre de ce champ à
LC
travers le rectangle C reliant les deux armatures du coaxial, de hauteur h (cf fib
gure).  
 I
 I
b
 B.dS   2o r h.dr  2o h ln a  LI , d’où on déduit l’inductance
S (C )
a
linéique du câble coaxial : Lo 
 o b

ln .
h. I 2 a
AN : valeurs raisonnables : a = 0,5 mm, b = 5 mm, & on rappelle que µo = 4.107 SI, d’où :
Lo  2.107 ln 10  0,46 mH/m , valeur extrêmement faible, car une seule spire.
2. On appelle B1 & B2 les champs magnétiques créés par les deux
cylindres. La règle du tire - bouchon montre (cf figure) que les deux
champs sont dirigés vers les x < 0. Le champ résultant vaut donc :
 I 1
1 
B  o  
 . On en déduit le flux propre à travers le rec2  y b  y 
tangle C reliant les deux conducteurs, & de hauteur h :
ba
1
1 
 I
ba
,
d’où
 
.dy  o h ln
y b y

a

S (C )
a
 o b  a o b

ln

ln , car en
l’inductance linéique : Lo 
h. I

a
 a
pratique on a b >> a. AN : valeurs raisonnables : a = 0,5 mm, b = 1
cm, d’où : Lo  1,2 H/m , du même ordre de grandeur. Le résultat
précédent constitue l’inductance extérieure, due au champ à l’extérieur des fils. La contribution intérieure
ne peut se calculer que par la méthode énergétique, puisque la notion de flux suppose le circuit filiforme.
A l’intérieur d’un fil infini, ou de hauteur h >> a, le théorème d’Ampère donne, en supposant le courant
I
 I
uniformément réparti :  B.dl  o I int  o  J .dS  2r.B o 2 r 2  B  o 2 r , d’où on déa
2a
LC
S (C )

 I
 B.dS  2o h

dW
B2
o I 2 2
duit la densité d’énergie : u 


r . On intègre dans le volume du conducteur :
d 2o 82a 4
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W   u.d 
2 a

ohI 2 a 4 1
 h
2
r
.
2

rh
.
dr

 Li I 2  Li  o , donc Loi  o , valeur indépendante
2 4
4 4
8
2
8
8 a 0
4a
o I
du rayon du câble, & donc valable pour un circuit filiforme.
Quand a  0 , la contribution intérieure devient négligeable devant la contribution extérieure (cas des
circuits filiformes, & donc quand on demande de calculer L, il s’agit en fait de la contribution extérieure).
3. La première ligne bifilaire parcourue par le courant I1 crée un
champ magnétique B somme des champs B1 & B2 créés par les
 I
 I
deux fils. On a, en norme : B1  o 1 , B2  o 1 , d’où on
2r1
2r2
déduit le flux à travers le circuit C2 :
1(2)   B.dS2   B1  B2 .dS2 , soit :

S (C 2)
 I
1 ( 2)  o 1
2
 hI
1(2)  o 1
2

S (C 2)
 sin  sin  

.dS2 , ou enfin :

r1
r2 

S (C 2)

ba 
2
2

b x
 x 
.dx  o hI1 ln b  b  a  , d’où l’inductance mutuelle li  2 2 b2  b  x 2 
2
b2  a 2

a  x b
1(2) o b2  b  a 2 o
néique : M o 

ln

ln 2 car en pratique b >> a. Il reste M o  0,14 H/m ,
h. I1
2
2
b2  a 2
toujours du même ordre de grandeur.
4. A l’intérieur du tore, au point M situé à la distance r de l’axe Oz, le fil parcouru par le courant I1 crée le
 I
champ B1 ( r ) donné par le théorème d’Ampère : B1 ( r )  o 1 , dont le flux à travers une spire du tore
2 r
 Ia
vaut :    B1.dS2  o 1
2
S2
Da / 2

D a / 2
dr o I1a D  (a / 2)
. On en déduit le flux total à travers

ln
r
2
D  ( a / 2)

 NI a D  (a / 2)
l’enroulement :   N  o 1 ln
, puis l’inductance mutuelle par : M  , soit :
I1
2
D  ( a / 2)
 Na D  (a / 2)
10,5
. AN : M  2.107200.10 2 ln
M  o ln
 40 nH , valeur extrêmement faible.
2
D  ( a / 2)
9,5
Exo n°2 :
1. Le cadre est en équilibre sous l’action de son poids & du couple électromagnétique. Mouvement de



rotation, donc on calcule les moments par rapport à l’axe Ox : le poids m. g a un moment 1  OG  mg
si G est le centre d’inertie du cadre. Ce moment est dirigé vers les x < 0 : 1x  mgb. cos  . A courant
constant, l’énergie magnétique et donnée par WD  i.  4abiB. cos  . On en déduit le couple électro
dWD
 4abiB. sin  . Autre calcul possible : le champ magnémagnétique 2  Grad  WD  2 x  
d
 

tique étant uniforme, le circuit se comporte comme un dipôle magnétique, donc 2  M  B vers les x <

 
0, donc 2 x  iS .B. sin  . Equation d’équilibre : 1  2  0  mgb cos   4abiB sin   0 , donc :
tan   
mg
10310

3

 1     ou
.

2
4aiB
4
4
4.10 1.0,25
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2. Stabilité : par l’énergie pour changer. W  WD  Wg comprend l’énergie électromagnétique & l’énergie
potentielle de pesanteur, soit : W  4abiB. cos   mgb. sin  .
A l’équilibre, l’énergie est extrémale, donc Si l’équilibre est stable, l’énergie est minimale, donc sa dérivée seconde positive & on retrouve l’équation d’équilibre précédente.
Si l’équilibre est stable, l’énergie est minimale, donc sa dérivée seconde positive. Si l’équilibre est instable, l’énergie est maximale, donc sa dérivée seconde négative. On calcule :
d 2W
d2
 4abiB. cos   mgb. sin   W , normal pour une fonction sinusoïdale.
 Pour 1  
 Pour 2 
 d 2W

: sin 1  0, cos 1  0   2
 d
4

 d 2W
3
: sin 2  0, cos 2  0   2
 d
4


  0 donc équilibre stable ;

 1

  0 donc équilibre instable ;

 2
Exo n°3 :
On considère le circuit élémentaire de dimensions
b  2z , de profondeur a (cf figure). On l’assimile à
un circuit filiforme C, orientée à partir de la règle
du tire - bouchon & du champ magnétique. On
calcule le flux du champ magnétique à travers la
surface S (C) :    B.dS  BS car les vecteurs
S (C )
B & dS sont colinéaires & de même sens, & le
champ ne dépend que du temps, donc :
  2 Bmbz. cos t , d’où la fem induite :
d
 Em sin t , Em  2 Bm bz . Conductance du circuit élémentaire (les lignes de courant pouvant
dt
dS
a.dz
a.dz
e


raisonnablement être considérées comme parallèles) : dG  
car z   b
l
2b  2 z
2b
2
(tôle). Puissance Joule élémentaire perdue dans ce circuit :
1
1 a.dz 2 2 2 2
2
2
2 2 2
dP  dG.Eeff
 dG.Em
 
4 Bm  b z  aBm
 b. z dz d’où :
2
2 2b
e
e/2
2 2
P  aBm
b

0
z 2dz 
P
1
1
2 2 2
2 2 3

Bm
 e .
aBm
 be , d’où la puissance volumique : p 
eab 24
24
Cette quantité dépend de grandeurs sur lesquelles on ne peut pas intervenir : pulsation  & amplitude Bm
1
du champ magnétique, conductivité  de l’acier, facteur
lié à la géométrie. Pour réduire ces pertes, il
24
reste à réduire e, c’est-à-dire à feuilleter le circuit massif, ce qui est réalisé dans les carcasses de transformateurs.
Exo n°4 :
1. Pour chacun des solénoïdes, le champ magnétique créé au point O est dirigé suivant l’axe, & vaut :
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 Ni
Bk  o k cos 2k  cos 2k .uk  .ik .uk , où  est une constante ne dépendant que des paramètres
2L
géométriques du solénoïde. Le champ résultant vaut donc : B (O ) 
3
 .ik .uk . On associe alors à chaque
k 1
vecteur plan un nombre complexe, soit :
B (O ) 
3
 .ik .uk , & on utilise les formules d’Euler pour représenter les sinus, ce qui donne :
k 1
B

 



2I jt
e
 e  jt 1  e j t  2 / 3  e  j t  2 / 3 .e  j 2 / 3  e j t  4 / 3  e  j t  4 / 3 .e  j 4 / 3
2j

On sépare les contributions en e jt & en e  jt , ce qui donne :
2I jt
2I  jt
1  1  1 . Dans le premier crochet, on reconnaît la
B
e 1  e  j 4  / 3  e  j 8 / 3 
e
2j
2j


somme des racines cubiques de l’unité, qui vaut zéro, d’où : B  j
3 2I  jt 3 2I


e

exp j  t   .
2
2
2

3
2I , & que l’argument du nombre complexe
2
associé est une fonction affine du temps : on a affaire à un champ tournant autour du point O à la vitesse
angulaire constante  (qui est celle du système de courants triphasés) dans le sens trigonométrique.
Il en résulte que le module du champ est constant : B 
2. Comme le champ magnétique créé tourne, l’angle entre sa direction & celle de la normale à la bobine
dépend du temps, donc son cosinus & le flux aussi, d’où production d’une fem induite & d’un courant
induit, donc de forces de Laplace qui auront un couple moteur entraînant la bobine dans un mouvement de
rotation.


3. D’après la figure, on déduit l’angle N , B à un instant t quel-
 
conque : N , B    '.t , & donc le flux à travers la bobine
 
vaut :   N  N  B.dS  NBS . cos N , B car le champ magnéS
tique est supposé constant sur la bobine de faibles dimensions. On
d
 NBS '. sin   '.t   Em sin   '.t  , où l’on a posé :
en déduit la fem induite : e  
dt
Em  NBS .' . On constate que la fem induite s’annule si '   (pas de mouvement relatif, donc pas
de phénomènes d’induction), d’où le nom de moteur asynchrone. On a une fem alternative, donc on se
trouve en régime sinusoïdal forcé, & on utilise les notations complexes : e  Ree  Em . exp j 't  , &
de même : i  Rei  I . exp j 't  I m . exp j't   . La bobine étant un circuit R-L, on a :
d
Em
 j ' , d’où : I 
, d’où l’on déduit que :
e  z.i  R  jL'.i , car ici l’on a :
dt
R  jL'
L.' 
Em
NBS .'
 0 car la bobine est un circuit induc, & tan  
Im 

R
R 2  L2 '2
R 2  L2 '2
tif. Il en résulte que : i(t )  I m sin   't  .
4. La bobine étant un petit circuit plongé dans un champ magnétique uniforme peut être assimilée à un
dipôle magnétique, donc soumise au couple :   M  B , où M  N .i (t ) S . N est le moment magnétique
 
de la bobine. En module, on a donc :  (t )  NBS .i (t ). sin N , B , soit en définitive :
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(t )  NBS .I m sin   't  . sin   't . Par analogie avec la définition de la puissance active :
P  Ueff I eff cos   u(t ).i(t )  Um cos t.I m cost    , on en déduit la valeur moyenne du
couple :  

1
1 NBS 2 '
NBS . I m cos  
2
2 R 2  L2 '2
NBS 2 '

2 R 1 

2
L2
R2
'
1  tan 2 
, avec tan  
L.' 
, d’où :
R
.


5. On fait apparaître les grandeurs Q 
posé : o 
1
NBS 2 Qg   Qg , où l’on a
L
  '
& g
: 
o
R

2L 1  Q 2 g 2
1  Q2g 2
NBS 2 . On calcule la dérivée :
2L




d
1  Q 2 g 2 Q  Qg .2Q 2 g
1  Q2g 2
 o


Q
. Donc :
o
dg
2 2 2
2 2 2
1 Q g
1 Q g




 Si g  1  '  0 (moteur à l’arrêt) :
Q

(1)  o
 o avec Q 2  1 comme il se doit pour
2
Q
1 Q
un rotor bobiné inductif ;
 Si g  0  '   (synchronisme, le moteur décroche) :
  0 . La dérivée vaut : ' (0)  oQ ;
1
d
 Si g  g m   1 : alors
 0 , le couple est maximal
Q
dg
NBS 2 , valeur indépendante de R.

& vaut : m  o 
2
4L
D’où la courbe. Si on diminue le facteur de qualité : la
tangente à l’origine s’abaisse, le maximum du couple se
déplace vers la droite, en conservant la même valeur.
La puissance est donnée par : P  .'  (1  g )  oQ
g.1  g 
. Pour un bon facteur de qualité, le
1  Q2 g 2

1
couple n’est important qu’autour de la valeur gm, alors Pm  m .1    m  .
 Q
Calcul rigoureux : on considère la fonction f ( g ) 
g.(1  g )
1  Q2 g 2
qui s’annule en g = 0 & g = 1, donc il existe
un maximum entre les deux. On dérive :

1  Q 2 g 2 1  2 g   g.1  g .2 gQ 2 1  Q 2 g 2  2 g  2Q 2 g 3  2Q 2 g 2  2Q 2 g 3
f '(g) 

, soit :
1  Q 2 g 2 2
1  Q 2 g 2 2
1  2g  Q2g 2
 0 si 1  2 g  Q 2 g 2  0  g 
2
1  Q2g 2
l’on a la condition Q2 >> 1.
f '(g) 


1  1  Q2
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 Q2
g
1  Q2 1
Q2

1
 gm si
Q
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6. En prenant g comme variable : r   f  v  1  g 2 . La
2
quantité f représente le frottement statique (obtenu à l’arrêt,
pour g = 1). La quantité v 2 représente le frottement dynamique (attention ! tous les  n’ont pas la même dimension !).
On discute sur la courbe suivante :
 Le système démarre seul si, à l’arrêt, donc pour g = 1, on a :

(1)  o   f , ce qui est réalisé pour Q2, mais pas pour
Q
Q1.
 Pour faciliter le démarrage : il faut augmenter le couple mo
teur à l’arrêt, donc augmenter la quantité o , donc diminuer
Q
L
le facteur de qualité Q 
. La façon la plus simple conR
siste à augmenter R par adjonction d’un rhéostat de démarrage, ce qui déplace la courbe vers la droite
sans modifier les valeurs extrémales du couple moteur .
d
   r , & donc en module :
 En régime permanent : le théorème du moment cinétique donne :
dt
  r & on a deux points de fonctionnement P1 & P2 correspondant à l’intersection des courbes. Discussion de la stabilité :
 Au point P1 : si le moteur accélère, donc si g diminue, le couple résistant l’emporte & on retourne en
P1 ; si le moteur ralentit, donc si g augmente, le couple moteur l’emporte & on retourne en P1, qui est
donc stable ;
 Au point P2 : si le moteur accélère, donc si g diminue, le couple moteur l’emporte & on s’écarte du
point P2 ; si le moteur ralentit, donc si g augmente, le couple résistant l’emporte & on s’écarte de P2,
qui est donc instable ;
La vitesse limite correspond donc à la limite entre ces deux types de fonctionnement, donc au sommet de

1
1
la courbe, donc g  g m   .1    '   , & la vitesse limite est donc .
Q
 Q
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