Chapitre 1

MPSI
Chapitre 1
CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIEL
1-1 Espace physique et temps d'un observateur
1-1-1 Notion de solide
Certains corps ont une forme pratiquement indépendante des actions mécaniques qu'ils subissent. En
mécanique, on nomme solide un corps qui ne subirait aucune déformation. Les distances et les angles
déterminés par l'ensemble des points formant un solide sont donc invariants.
1-1-2 L'espace physique
Jusqu'en 1960 le mètre était défini par la distance entre deux traits gravés sur une règle de platine
iridié (le mètre étalon). Cette définition faisant appel à la notion de solide puis celle qui définissait le mètre
comme le multiple de la longueur d'onde d'une certaine radiation du krypton sont aujourd'hui abandonnées.
La définition actuelle est la suivante
Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de
1 / 299 792 458 seconde.
La mécanique classique, comme la relativité restreinte postulent que l'espace physique est l'espace
euclidien à trois dimensions. La théorie de la relativité générale (1916) remet en cause cette hypothèse.
1-1-3 Chronologie et définition de la seconde
La notion d'écoulement du temps est d'abord intuitive; un observateur peut constater que tel
événement a lieu après tel autre, c'est-à-dire établir une chronologie.
Le temps est un paramètre réel servant à dater les événements. Tout instrument propre à dater
constitue un "chronomètre" ou "horloge". Un sablier ou une personne énonçant la suite des nombres entiers
est une horloge.
Pour choisir, parmi les différentes horloges, on impose une exigence supplémentaire, l'uniformité
du temps, ou, ce qui revient au même, on postule que les lois physiques sont invariantes par translation
dans le temps.
Par exemple, si un pendule oscille en repassant toujours par les mêmes positions dans des conditions
extérieures constantes, les lois physiques étant inchangées d'une oscillation à l'autre, la durée doit être la
même pour chaque oscillation. On voit ainsi l'importance des phénomènes cycliques pour la définition d'une
chronologie.
Le problème crucial dans l'exemple précédent comme pour toute horloge basée sur un phénomène
cyclique est celui des conditions extérieures qui doivent être constantes.
Le choix d’une chronologie privilégiée permettant d'appliquer les lois de la mécanique s'est fait par
des approximations successives. On a longtemps utilisé l'astronomie pour définir l'unité de temps.
Jusqu'en 1960 la seconde était définie comme étant la fraction 1/86 400 du jour sidéral ("temps
sidéral")
L'inconvénient de cette définition était le suivant : avec cette définition de la seconde, le mouvement
des astres allait en s'accélérant, sans qu'aucune explication plausible ne puisse être avancée, alors qu'au
contraire, le ralentissement du mouvement de la terre sur son axe, qui n'existait pas avec cette définition de
l'unité de temps, peut s'expliquer par le frottement de l'eau des océans sur elle-même et sur les continents. Il
fallait donc bien considérer que c’était l’horloge qui retardait.
On a donc utilisé ensuite la révolution de 1a Terre autour du Soleil ( "temps des éphémérides") pour
définir 1a seconde. Actuellement, la seconde est définie à partir des mesures de fréquence, grâce à la très
grande précision actuelle (10–12) sur ces mesures. C'est le "temps atomique" .
La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre
les deux niveaux hyper fins de l'état fondamental de l'atome de césium 133.
1-2 Mouvement et référentiel, temps absolu
Un référentiel d'espace-temps est un système d'axes de coordonnées attaché à un solide et muni
d'une chronologie.
Du point de vue spatial, un référentiel est donc par définition indéformable, les distances et les angles
définis par un ensemble de points du référentiel sont constants.
Chaque référentiel d'espace-temps est muni d'une chronologie. On le suppose donc muni d'une
horloge atomique fixe dans le référentiel.
En mécanique classique (ou newtonienne), on considère que le temps est une notion indépendante du
référentiel considéré.
On peut parler de temps absolu, c'est-à-dire qu'en mécanique classique, des observateurs liés à des
référentiels différents peuvent attribuer les mêmes dates aux mêmes événements.
La relativité restreinte remet en cause ce postulat. Le temps écoulé entre deux événements n'est pas le
même dans deux référentiels d'espace-temps, munis d'horloges identiques, si le mouvement de l'un n'est pas
une translation rectiligne uniforme par rapport à l'autre.
1-3 Notion de point matériel
Un point matériel est un objet dont la position dans un référentiel donné est en entièrement définie
par trois coordonnées.
Il ne suffit pas qu'un solide soit petit pour pouvoir l'assimiler à un point matériel. Une molécule
possédant un moment dipolaire possède une symétrie de révolution autour de son vecteur moment dipolaire
mais pas la symétrie sphérique nécessaire. Il faudrait donc que l'objet que l'on assimile à un point matériel
possède la symétrie sphérique du point géométrique et soit donc homogène et isotrope. Mais ceci ne suffit
encore pas, le centre d'inertie d'une sphère homogène sur un plan incliné n'a pas le même mouvement suivant
que la sphère glisse ou qu'elle roule (cours de math.spé.). Il faut donc de plus exclure pour un point matériel
la possibilité de tourner.
Enfin, la condition de petitesse n'est même pas nécessaire; la Terre, dans l'étude du mouvement d'un
satellite peut très valablement être assimilée à un point matériel coïncidant avec son centre d'inertie.
On appellera point matériel un corps, ou un point géométrique associé à un système de corps, dont la
position géométrique est totalement déterminée par trois coordonnées.
Le type même du point matériel est, comme on le verra, le point matériel fictif coïncidant avec le
centre d'inertie d'un système, et où serait concentrée toute la masse du système.
1-4 Complément de géométrie
1-4-1 Repère, coordonnées cartésiennes
Un repère d'espace est constitué par un point et trois axes de coordonnées cartésiennes, qu'ils soient
ou non liés au référentiel auquel on rapporte le mouvement étudié.
En coordonnées cartésiennes, la position d'un point matériel est définie par son vecteur position
décomposable suivant les directions des trois axes :








OM = x i  y j  z k ou OM = x u x  y u y  z u z
Si le repère est lié au référentiel dans lequel on travaille, ses axes sont considérés comme fixes. Les
vecteurs unitaires de la base correspondante sont alors constants.




Le déplacement élémentaire du point matériel est alors : d OM = dx u x  dy u y  dz u z

La longueur de ce déplacement est donc ds = dOM tel que (ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2
1-4-2 Coordonnées cylindriques (ou cylindro-polaires)
Un repère cartésien, que l'on supposera ici lié au référentiel dans lequel on étudie le mouvement, étant
défini, les coordonnées cylindro-polaires sont les coordonnées polaires de la projection H de M dans le plan
   
2
2
(xOy) : la coordonnée radiale   OH  x  y (notée souvent r), l'angle polaire    Ox , OH  ainsi


que la cote z de M.
z

uz

u
M

u
z
O
y


H
x



Les vecteurs unitaires u  , u  et u z forment une base mobile utilisée pour décomposer les vecteurs,




par exemple : OM   u   z u z .






On remarque que u  = cos u x + sin u y et u  = – sin u x + cos u y , d'autre part, (Oxyz) étant



lié au référentiel, u x et u y sont constants donc
d u
d

 u


d u
  u .
et
d

Plus généralement, la dérivée d'un vecteur unitaire u tournant dans un plan par rapport à l'angle qui



définit sa direction dans ce plan est le vecteur v unitaire obtenu par rotation de u de + .
2
1-5 Trajectoire, abscisse curviligne, loi horaire
La trajectoire d'un point mobile dans un référentiel donné est l'ensemble des points de ce
référentiel avec lesquels il coïncide successivement au cours du temps.
Il s'agit bien sûr d'une courbe continue. La trajectoire dépend du référentiel par rapport auquel on
étudie le mouvement.
Un sens positif noté par  s et une origine A étant choisis arbitrairement sur la trajectoire,
L'abscisse curviligne de M est définie par s  AM .
L'abscisse curviligne est une fonction de la date t, continue et dérivable. Cette fonction
f : t  s  f ( t ) est appelée "loi horaire du mouvement" (ou "équation horaire").
1-6 Vitesse


d OM
La vitesse d'un point matériel dans un référentiel où le point O est fixe est v 
. O pouvant être
dt





dM
remplacé par n'importe quel point lié au référentiel, on note encore cette vitesse
ou OM ou M .
dt
La vitesse est une fonction continue et dérivable du temps.

Si l'on utilise plusieurs référentiels, la vitesse de M dans le référentiel R est notée v M / R .

Un déplacement élémentaire d M du point M est tangent à la trajectoire donc le vecteur vitesse est
tangent à la trajectoire.

Le vecteur u T étant tangent à la trajectoire et orienté dans le même sens que celle-ci, le déplacement



 

élémentaire s'écrit d M  ds u T donc v  s u T , s est la vitesse algébrique et la norme de la vitesse est donc


v v  s .
On appelle hodographe du mouvement la courbe décrite par l'extrémité du vecteur vitesse représenté
avec une origine fixe.

 
 
 
Si le repère cartésien est lié au référentiel, v  x u x  y u y  z u z et en coordonnées cylindriques



 
 
 




d u  d  

  u  et OM   u   z u z donc v   u     u   z u z .
dt
d dt
d u
1-7 Accélération




d v d 2 OM

L'accélération d'un point matériel dans un référentiel où le point O est fixe est a 
soit
dt
dt 2





a  v  OM .
Elle peut présenter des discontinuités.

Si l'on doit préciser le référentiel, on écrit a M / R .

Si la trajectoire n'est pas rectiligne, le vecteur unitaire tangentiel u T varie, sa dérivée par rapport à la

 

 
date est normale à la trajectoire donc l'accélération a  s u T  s u T a une composante tangentielle et une

composante normale à la trajectoire. s est l'accélération tangentielle.

 
 
 
Si le repère cartésien est lié au référentiel, a  x u x  y u y  z u z et en coordonnées cylindriques



2    
    
 

 
 
 
 
d u  d u  d


   u  et v   u     u   z u z donc a       u    2       u   z u z .


dt
d dt






 


 
Si a . v  s s est positif, le mouvement est accéléré. Si a . v  s s est négatif, le mouvement est
retardé.
1-8 Mouvements particuliers
1-8-1 Lois horaires particulières


Si v = | s | est constant, s étant une fonction continue de t est aussi constant. Le mouvement est alors

uniforme et sa loi horaire est de la forme s = s t + s0.




Si s est constant, le mouvement est uniformément varié. s = s t + s 0 et la loi horaire s'écrit
 t 2
s s

 s 0 t  s 0 . (Voir les propriétés de ce mouvement dans l'exercice 1-1).
2
Le mouvement est sinusoïdal si s = s0 +  cos(t + ).  > 0 est l'amplitude du mouvement,
t +  est sa phase à la date t,  est sa phase à l'origine des dates,  > 0 est sa pulsation ou fréquence
2
1

angulaire (en rad.s–1). Le mouvement est périodique, de période T 
et de fréquence f  
(en

T 2
hertz : 1 Hz = 1 s–1)
Un choix convenable de l'origine des dates et de l'origine des abscisses curvilignes permet de ramener
cette loi horaire à la forme s =  cos(t).
1-8-2 Mouvements rectilignes


 
Pour un mouvement rectiligne, u T est constant, l'accélération est tangentielle : a  s u T .
On choisit l'axe Ox suivant la trajectoire (s est alors noté x et l'origine des abscisses curvilignes est en
O). La loi horaire est alors f : t  x  f ( t ) .



Si le mouvement est rectiligne uniforme v est constant, a  0 .

Si le mouvement est rectiligne uniformément varié a est constant.
La réciproque est fausse : voir 1-8-3.
Si le mouvement est rectiligne sinusoïdal, avec le choix de O au milieu du segment parcouru, la loi
horaire s'écrit x  X cos(t  ) ou x  A cos(t )  B sin( t )


 

L'accélération s'écrit a  x u x = – 2 X cos(t + ) donc a   2 OM .




Si à t = 0, x = x0 et x  x 0 , on a x0 = X cos() et x 0  X sin( ) d'où X  x 0
2
2
x0
 2

et

x0
, la valeur de  est choisie suivant le signe de cos :
tan   
x 0
  
  
x




 x0 
0


si x0 > 0,    ,  et    arctan 
et si x0 < 0     arctan 

.
 2 2
 x 0 
 x 0 





On obtient plus directement A et B avec x0 = A et x 0  B .
1-8-3 Mouvements à accélération constante


 t2



 


 v 0 t  OM 0 .
Si a est constant, v  a t  v 0 et OM  a
2

On choisit les axes du repère avec M0 = O comme origine, Oz // a et de sens contraire et le plan
  
(xOz) confondu avec le plan  a , v 0  .
z



y
a

v0

x
O


 
 


      
On a donc, avec    Ox , v 0  : a  z u z  a u z et v 0  x u x  z u z  v 0 cos  u x  v 0 sin  u z .



x  v 0 cos  t


On en déduit 
. En éliminant la date, on obtient l'équation de la trajectoire :
y0

a 2
z   2 t  v 0 sin  t
t
a
x
x 2  tan  x . C'est l'équation d'une parabole.
donc z  
2
2
v 0 cos 
2 v 0 cos 
La trajectoire d'un point matériel dont l'accélération est un vecteur constant est une parabole.
Le mouvement de la projection de M sur Ox est uniforme et celui de la projection de M sur Oz est
uniformément varié.
 

Si v0 // a (    donc cos = 0 et sin =  1 ), le mouvement de M est rectiligne uniformément
2
varié, sur l'axe Oz.
 



 t2



 v 0 t  OM 0 , on démontre facilement
Avec les équations vectorielles v  a t  v 0 et OM  a
2
les propriétés suivantes :
t t
La vitesse moyenne entre t1 et t2 est égale à la vitesse à 1 2 et à la moyenne des vitesses à t1 et t2 :
2



v 1, 2  v  t1  t 2 

2


v1  v2

.
2
La variation du carré de la vitesse est le double du produit scalaire de l'accélération par le vecteur



2
2
déplacement : v 2  v1  2 a . M1M 2 .
Les vecteurs déplacements pendant des intervalles de temps successifs de même durée  forment une





suite arithmétique : M n M n 1  M n 1M n  a  2 (avec tn+1 = tn +  et tn1 = tn – ).
1-8-4 Mouvements circulaires
Le point matériel mobile M se déplaçant sur un cercle, il est pratique d'utiliser les coordonnées
y
polaires.

u


uz . M

u

.
 Oz
A
x
s
En notant R le rayon du cercle parcouru par M, si s = 0 pour  = 0 (origine des abscisses




curvilignes en A, sur Ox), s  AM = R  , s  R  et s  R  .

 
Le vecteur vitesse angulaire est    u z , sa norme est  

v
= |  |, son unité SI est rad.s–1.
R

  



 
 
La vitesse est v  s u   R  u  soit encore v    OM  MO   , c'est le moment en M du
vecteur vitesse angulaire représenté en O.
2 

 
Le vecteur accélération est (voir 1-6) a  R  u   R  u  = 
v 2   
u   s u  . On constate que
R
l'accélération normale est orientée vers le centre du cercle.

Si le mouvement est circulaire uniforme, alors l'accélération angulaire  est nulle, la vitesse

2 




angulaire  est constante, l'accélération est normale : a  R  u  soit encore a   2 OM .
Le mouvement est périodique, de période T 
2 2R
1

v


et de fréquence f  
.

v
T 2 2R
1-9 Produit vectoriel
1-9-1 Définition
  
Soit la base  e1 , e 2 , e 3  formant un trièdre trirectangle de sens direct (leurs sens sont donnés dans cet


ordre par pouce, index, majeur, de la main droite).








Soient deux vecteurs U  U1 e1  U 2 e 2  U3 e3 et V  V1 e1  V2 e 2  V3 e3 . Le produit vectoriel de





ces deux vecteurs est U V  U 2 V3  U3V2 e1  U3V1  U1V3 e 2  U1V2  U 2 V1 e3 .
 U1   V1   U 2 V3  U 3 V2 
    

 U 2    V2    U 3 V1  U1V3  : les traits croisés montrent comment on obtient la première coordonnée,
U  V  U V  U V 
2 3
 3  3  1 2
les autres s'obtiennent par permutation circulaire des indices, dans l'ordre 1;2;3;1;2...

  
 
  
e

e

e
e

e


e
2
3
1
3
 1
 2
 e1  e1  0


  
 
On a donc e 2  e 3  e1 , e 3  e 2   e1 et e 2  e 2  0 .

  
  
 
e

e

e
e

e


e
e 3  e 3  0
 3
 1
1
2
3
2



1-9-2 Propriétés du produit vectoriel
Le produit vectoriel est une loi de composition interne dans R3.




      
Il est anticommutatif : V U   U V . Il n'est pas associatif :  U V   W  U  V W  . On




          
le constate avec les formules du double produit vectoriel :  U V   W   U . W  V   V . W  U , (on peut






le démontrer simplement en explicitant les coordonnées et en constatant l'égalité) alors que

  
   
     
U  V W    V W   U   V . U  W   W . U  V d'après la formule précédente.













      
On retiendra une seule de ces formules : U  V W    U .V  W   W . U  V et on en déduira






l'autre si nécessaire.
Il est distributif à droite et à gauche sur la somme vectorielle :

       
        
U  V W    U V    U W  et  U V   W   U W    V W  .

 
 




 

1-9-3 Norme, direction et sens du produit vectoriel, produit vectoriel nul


En choisissant (xOy) suivant le plan défini par les deux vecteurs avec Ox dans la direction et dans le

 
  
sens de U , si  U, V    , leurs coordonnées sont, dans la base  e x , e y , e z  formant un trièdre trirectangle




de sens direct : (U, 0, 0) et (V cos, V sin, 0).
z


U V (en sens inverse si sin < 0)
O

y


U
V
x





 = UV sin  ez .
On a alors U V  U e x  
V
cos

e

V
sin

e

x
y




 
 
On a donc U V  UV sin   U V   plan  U, V  et l'étude du signe de sin montre que :




      
le trièdre  U, V,  U V   est de sens direct .








Si U // V alors U V  0 car
U1 U 2 U 3
d'où U1V2 – U2V1 = 0 etc...


V1 V2 V3

Le produit vectoriel est aussi 0 si l'un des vecteurs est nul (au sens large, il est parallèle à l'autre).
U  V  0  U // V

On peut aussi démontrer la réciproque, donc







(ce qui inclut les cas

particuliers U  0 et V  0 ).
1-9-4 Moment en un point d'un vecteur lié
On appelle vecteur lié un vecteur représentant une caractéristique physique d'un point donné (vitesse,
accélération, force subie...), on le représente alors en ce point.



Le moment en P du vecteur U lié au point M est par définition
MU/ P


U
P
M

MU/ P  PM  U
