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Correction du devoir surveillé 2006
Module électromagnétisme DEUG-PC
Exercice 1
On a :
P  Pe r une polarisation radiale de module constant (le vecteur
polarisation n’est pas constant car sa direction change).
1) a. densité de charge de polarisation
1 d
P
 volumique :
 pol  div P  
(rP )  
r dr
r
 surfacique (surface latérale) :  pol  P.n  P.er  P
b. Calcul de la somme des charges de polarisation
on a Q   des charges de polarisati on =   pol d    pol dS
P
2hrdr  2RhP  2RhP  0
r
2) Calcul du champ électrique crée par les charges de polarisation.
La distribution de charge a une symétrie cylindrique, donc le champ ne dépend que de r.
Q   PdS  
soit :
Par raison de symétrie on a donc : E  E(r )er
Utilisons alors le théorème de Gauss :
 À l’intérieur du cylindre r < R
La surface de Gauss est un cylindre de hauteur h et de rayon r
P
 2rhdr

Q
r
( N.B la polarisation n’est pas constante)
EdS  int  E 2rh 

0
0
E
soit
P
0
 A l’extérieur du cylindre r > R
Or à l’extérieur on a la charge intérieur à la surface de Gauss
charge de polarisation est nulle)
Q
D’où :  EdS  int  E 2rh  0
soit
E0
Q = 0 (la somme des
0
3) En déduire le potentiel.
Connaissons le champ électrique, le potentiel se déduit par la relation : E   gradV
P
Pr
 r<R
dVint 
dr  Vint 
 A A est une constante d’intégration
0
0
dVext  0  Vext  B  0 (le potentiel à l’infini est nul)
 r>R
A est déterminée par la continuité du potentiel à la surface du diélectrique ( r = R)
PR
Vint (r  R)  Vext (r  R)  A  
Soit
0
D’où
P(r  R)
Vint 
Vext  0
0
4) Calcul du potentiel à l’aide de l’équation de Poisson
a) on a : pour r < R l’équation de Poisson est : Vint  
soit :
Vint 
Pr
0
 A ln r  B

P
d dV
P

 (r int ) 
 0  0r
dr
dr
0
A et B des constantes d’intégration
d dVext
(r
)  0  Vext  C ln r  D
dr
dr
Comme le potentiel est nul à l’infini donc C = 0 et D = 0.
Déterminons les constantes A et B :
Comme le potentiel doit être fini en r = 0 alors A = 0 et la relation de continuité en r = R
donne B
D’où :
P(r  R)
Vint 
Vext  0
0
5) Calcul de l’énergie électrostatique du diélectrique :
On a :
b) pour r > R Vext  0 
0
0
P 2R 2 h
2
2 0  02
2 0
6) a) On creuse dans le cylindre une cavité cylindrique de rayon R1
 Densité de charge surfacique :
* Surface r = R1  pol  P.n   P.er   P ( NB. La normale est suivant  er )
W
* Surface r = R

2
 E d 
R
P2
d 
 pol  P.n  P.er  P
Densité de charge volumique :
 pol  div P  
1 d
P
(rP )  
r dr
r
b) Le champ se déduit par le théorème de Gauss :
r  R1
E0
(Qint  0)
P
R1  r  R2 E  
0
r  R2
E0
(Qint  0)
Exercice 2
1. Le champ le plus simple à déterminer est le vecteur D car il ne dépend que des
charges libres.
Le vecteur D est donc celui déterminer par un condensateur plan dont les armatures
sont chargées avec Q et –Q
Q
D(r )  k entre les armatures et D = 0 à
Le théorème de Gauss donne :
S
l’extérieur du condensateur.
Les champ E et P se déduisent alors facilement par :
E1 
E2 
et
D
1
D
2
Q
1S
Q
 E2 
 2S
 E1 
Q
1S
Q
P2  ( 2   0 )
 2S
P1  ( 1   0 )
2. Densité de charge de polarisation
Q
1S

Surface r = 0 :
 p  P1 .(k )  ( 0   1 )

Surface r = a
 p  P1 .k  P 2 .(k )  ( 1   0 )

Surface r = e
 p  P 2 .k  ( 2   0 )
Q
Q
 ( 0   2 )
 1S
 2S
Q
 2S
3. Calcul de la capacité de ce condensateur
2
a
e
0
0
dV   Edr   dV   E1dr   E2 dr
1
Q
1
C

a
1
V1  V2

(e  a )
 1S  2 S
Exercice 3
1. a) L’expression du potentiel crée par un dipôle magnétique d m est :
dA
0 d m  u
0 M  u
0

A

d


M  Es
 4 r 2
4 r 2
4
avec
Es 
1
40

(40 )ud
r2
(40 )ud
c est un champ électrique fictif crée par une
40
r2
densité de charge volumique   40 .
Le calcul de Es se déduit facilement par le théorème de GAUSS
b) on a E s 
1

rR
rR
E s  2r er
2R 2
Es 
er
r
2. D’où le potentiel vecteur est donné par :
rR
rR
A
0

M j  2r er   0 Mr cos  k
4
2
0 M R 2
A
cos  k
2 r
Le champ magnétique se déduit par la relation B  rot A
 M
 M
r  R B  0 (sin  er  cos  e )  0
2
2
0 M R 2
rR
B
(sin  er  cos  e )
2 r2
B
Le champ H se déduit par la relation H 
M
0
B
M
M 
0
2
2
B
M R
rR H 

(sin  er  cos  e )
0
2 r2
3. Calcul des courants d’aimantation
 Courant volumique : J v  rot M  0 car M est uniforme
rR
H 
 Courant surfacique : J s  M  e    M cos  k
La somme des courants d’aimantation est :
 Im   J s .dS   J s Rd  0