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Correction du devoir surveillé 2006
Module électromagnétisme DEUG-PC
Exercice 1
On a :
r
ePP 
une polarisation radiale de module constant (le vecteur
polarisation n’est pas constant car sa direction change).
1) a. densité de charge de polarisation
 volumique :
r
P
rP
dr
d
r
Pdiv
pol  )(
1
 surfacique (surface latérale) :
PePnP rpol  ..
b. Calcul de la somme des charges de polarisation
on a
on polarisati de charges desQ
=
dSdpolpol
soit :
0222    RhPRhPhrdr
r
P
PdSQ
2) Calcul du champ électrique crée par les charges de polarisation.
La distribution de charge a une symétrie cylindrique, donc le champ ne dépend que de r.
Par raison de symétrie on a donc :
r
erEE )(
Utilisons alors le théorème de Gauss :
 À l’intérieur du cylindre r < R
La surface de Gauss est un cylindre de hauteur h et de rayon r
00
int 2
2  rhdr
r
P
rhE
Q
EdS
( N.B la polarisation n’est pas constante)
soit
0
P
E
 A l’extérieur du cylindre r > R
Or à l’extérieur on a la charge intérieur à la surface de Gauss Q = 0 (la somme des
charge de polarisation est nulle)
D’où :
02
0
int 
 rhE
Q
EdS
soit
0E
3) En déduire le potentiel.
Connaissons le champ électrique, le potentiel se déduit par la relation :
VgradE 
 r < R
AVdr
P
dV 
0
int
0
int Pr
A est une constante d’intégration
 r > R
00  BVdV extext
(le potentiel à l’infini est nul)
A est déterminée par la continuité du potentiel à la surface du diélectrique ( r = R)
Soit
0
int )()(
PR
ARrVRrV ext 
D’où
0
)(
0
int 
ext V
RrP
V
4) Calcul du potentiel à l’aide de l’équation de Poisson

a) on a : pour r < R l’équation de Poisson est :
0
int
00
int )(
P
dr
dV
r
dr
d
r
P
V
soit :
BrAV  ln
Pr
0
int
A et B des constantes d’intégration
b) pour r > R
DrCV
dr
dV
r
dr
d
Vext
ext
ext  ln0)(0
Comme le potentiel est nul à l’infini donc C = 0 et D = 0.
Déterminons les constantes A et B :
Comme le potentiel doit être fini en r = 0 alors A = 0 et la relation de continuité en r = R
donne B
D’où :
0
)(
0
int 
ext V
RrP
V
5) Calcul de l’énergie électrostatique du diélectrique :
On a :
  RhRP
d
P
dEW 00
22
2
0
2
0
2
0222
6) a) On creuse dans le cylindre une cavité cylindrique de rayon R1
 Densité de charge surfacique :
* Surface r = R1
PePnP rpol  ..
( NB. La normale est suivant
r
e
)
* Surface r = R
PePnP rpol  ..
 Densité de charge volumique :
r
P
rP
dr
d
r
Pdiv
pol  )(
1
b) Le champ se déduit par le théorème de Gauss :
)0(0
)0(0
int2
0
21
int1
QERr
P
ERrR
QERr
Exercice 2
1. Le champ le plus simple à déterminer est le vecteur D car il ne dépend que des
charges libres.
Le vecteur D est donc celui déterminer par un condensateur plan dont les armatures
sont chargées avec Q et –Q
Le théorème de Gauss donne :
k
S
Q
rD )(
entre les armatures et D = 0 à
l’extérieur du condensateur.
Les champ E et P se déduisent alors facilement par :
S
Q
E
D
E
S
Q
E
D
E
2
2
2
2
1
1
1
1
et

S
Q
P
S
Q
P
2
022
1
011
)(
)(
2. Densité de charge de polarisation
 Surface r = 0 :
S
Q
kP
p1 10
1)().(
 Surface r = a
S
Q
S
Q
kPkP
p2 20
1
01
21 )()().(.
 Surface r = e
S
Q
kP
p2 02
2)(.
3. Calcul de la capacité de ce condensateur
   ea drEdrEdVEdrdV 02
2
1 0 1
)(
1
1
21
21 ae
SS
a
VV Q
C
Exercice 3
1. a) L’expression du potentiel crée par un dipôle magnétique
md
est :
s
EMd
ruM
A
rumd
Ad 
444 0
2
0
2
0
avec
2
0
0
)4(
41r
du
Es
b) on a
2
0
0
)4(
41r
du
Es
c est un champ électrique fictif crée par une
densité de charge volumique
0
4
.
Le calcul de Es se déduit facilement par le théorème de GAUSS
rs
rs
e
r
R
ERr
erERr 2
22
2. D’où le potentiel vecteur est donné par :

k
r
R
M
ARr
kMrerjMARr r
cos
2
cos
2
2
42
0
00
Le champ magnétique se déduit par la relation
ArotB 
)cos(sin
2
2
)cos(sin
2
2
2
0
00
ee
r
R
M
BRr
M
ee
M
BRr
r
r
Le champ H se déduit par la relation
M
B
H 0
)cos(sin
20
20
2
2
ee
r
RMB
HRr
M
M
B
HRr
r
3. Calcul des courants d’aimantation
 Courant volumique :
0 MrotJv
car M est uniforme
 Courant surfacique :
kMeMJs cos
La somme des courants d’aimantation est :
0.Im  RdJdSJss