Activité

TI
CE
SUITES iterees
Calculatrice
S10
SUITES du type Un+1 = f(Un) – Programmer le calcul des termes
1°) ECRITURE DU PROGRAMME
U  est une suite définie par un premier terme de rang p et par une relation
Entrer le rang p
Entrer la valeur de
Up
Entrer le rang n
n
de récurrence du type : U n1  f (U n ) .
L’algorithme de calcul le terme de rang n quelconque ( n > p )
p→I
Up → Y
Choisir le mode édition d’un nouveau programme ( PRGM EDIT )
Nom du programme : SUITEITE par exemple.
Penser à entrer, pour chaque utilisation du programme, l’expression
de f ( x ) dans Y 1 .
(Y=)
While I < n
Y→X
I+1→I
f (X) →Y
Fin de boucle
Pour exécuter le programme, choisir le mode exécution ( PRGM EXE )
Afficher I et Y.
ANNEXE : Aide à la programmation.
TI 82-83-84
Pour trouver les instructions Prompt, While …
aller dans PRGM
nd
Pour trouver < , aller dans 2 CATALOG
ou 2nd MATH pour la TI 82
Pour  , appuyer sur STO
CASIO
Appuyer sur entrée à la fin de chaque ligne.
ATTENTION :
Pour trouver la touche Y 1 :
VARS GRPH Y1 ( on tape 1 à côté de Y )
ATTENTION : Pour trouver la touche Y 1 :
TI 80 : 2nd Y-VARS 1
TI 82 : 2nd Y-VARS 1 1
TI 83 :VARS  1
TI 82 STATS et 84 :VARS Y-VARS 1 :
2°) INVESTIGATIONS NUMERIQUES
Pour chacune des suites définies ci-après, utiliser le programme décrit précédemment pour calculer les termes
demandés, puis émettre une conjecture concernant la convergence de ces suites.
n:
1
2
3
4
Un  8
et U 0  1
2U n  1
U 8
et U 0  2
U n1  n
2U n  1
10
U n 1 
et U 0  2
3Un
U n1 
U n1  U n  3U n  4 et U 0  3 / 2
2
10
50
100
200
500
conjecture
5
Un1  Un  3Un  4,00001 et U 0  3/ 2
6
U n1  2  U n et U 0  0
2
3°) ETUDE ALGEBRIQUE
Exemple 1 : U n  est la suite définie sur IN par U 0  1 et la relation de récurrence : U n1 
Un  8
.
2U n  1
1°) Calculer U 1 et U 2 .
Un  2
.
Un  2
est une suite géométrique que l’on caractérisera .
2°) Soit Vn  la suite définie pour tout n , par : Vn 
a) Calculer V 0 , V1 et V2 , et montrer que Vn 
b) Déterminer la limite de la suite Vn  quand n tend vers +  .
3°) Exprimer U n en fonction de V n , et déterminer la limite de la suite U n  .
Exemple 2 : U n  est la suite définie sur IN par U 0  2 et la relation de récurrence : U n1 
Un  8
.
2U n  1
Calculer les premiers termes.
Caractériser cette suite et conclure.
Exemple 3 : U n  est la suite définie sur IN par U 0  2 et la relation de récurrence : U n 1 
10
.
3Un
Calculer les premiers termes.
Caractériser cette suite et conclure.
Exemple 4 : U n  est la suite définie sur IN par U 0  3 / 2 et la relation de récurrence : U n1  U n  3U n  4 .
2
Soit f la fonction définie par f ( x)  x 2  3x  4 .
1°) Démontrer que f est strictement croissante sur l’intervalle [
En déduire que pour tout entier naturel n, on a :
2°) Démontrer que la suite U n  est croissante.
3
, 2 ].
2
3
 Un  2 .
2
3°) Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n  4, on a : 2 
2
 Un .
n
4°) Conclure.
Exemple 5 : U n  est la suite définie sur IN par U 0  3/ 2 et la relation de récurrence : Un1  Un  3Un  4,00001 .
2
Démontrer que la suite U n  ne peut converger vers 2.
Exemple 6 A faire en DM :
U n  est la suite définie sur IN par U 0  0 et la relation de récurrence : U n1  2  U n .
Soit f la fonction définie par f ( x)  2  x .
1°) Démontrer que f est strictement croissante sur l’intervalle [0, 2 ].
En déduire que pour tout entier naturel n, on a : 0  U n  2 .
2°) Démontrer que la suite U n  est croissante.
3°) Démontrer, pour tout réel x de l’intervalle [0,2] , on a : 2  f ( x) 
4°) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : 0  2  U n 1 
1
2  x
2 2
1
2 Un 
2 2
n
 1 
et que, pour tout entier naturel n, on a : 0  2  U n  
  2  U0 
 2 2 
5°) Conclure.
CORRIGE
Remarquons que, pour tout entier naturel n : Un1  f U n 
1
; On a alors : f '( x)  0
2 2 x
f est strictement croissante sur l’intervalle [0, 2 ].
1°) f est de la forme
u ; f '( x) 
Démontrons, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que quelque soit n Î ¥ , 0  U n  2 .
Pn
Considérons la propriété :

P0
« 0  Un  2 » .
:
est vraie car U 0  0 donc 0  U 0  2 .
 Supposons que
Pp soit vraie pour un entier naturel
p . Alors 0  U p  2 .
Comme f est strictement croissante sur l’intervalle [0, 2 ], on a : f  0   f U p   f  2 
Soit encore :
2  U p 1  2 et finalement 0  U p 1  2 car 0  2
Pp 1 est donc vraie .
La propriété est donc héréditaire.
CONCLUSION : Pour tout entier naturel n ,
Pn est vraie .
Autrement dit, pour tout entier naturel n, on a : 0  U n  2 .
2°) Démontrons, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que la suite U n  est croissante.
Considérons la propriété :
Pn
:
« U n  U n1 » .

P0
est vraie car U 0  0 et U1  2 donc U 0  U1 .
 Supposons que
Pp soit vraie pour un entier naturel
p . Alors U p  U p 1 .
Comme f est strictement croissante sur [0, 2 ], et que les termes de la suite sont bien dans [0, 2 ],
on a : f U p   f U p 1  d’où U p 1  U p  2 .
Pp 1 est donc vraie .
La propriété est donc héréditaire.
CONCLUSION : Pour tout entier naturel n , U n  U n1 , autrement dit, la suite U n  est croissante.
or 2  x  2 donc
2 

2 x 2 2 x
  4  2  x 
2 x
2 2 x
2 2 x 2 2 x
1
1
2  x  2 donc 2  2  x  2  2 donc

2 2 x 2 2
3°) 2  f ( x)  2  2  x 
2 x
2 x
car 2  x  0

2 2 x 2 2
1
donc pour tout réel x de l’intervalle [0,2] , on a : 2  f ( x) 
2  x
2 2
Démontrer, pour tout réel x de l’intervalle [0,2] , on a :
4°) D’après ce qui précède, comme U n 0, 2 ,
on peut écrire : pour tout entier naturel n, on a : 0  2  U n 1 
1
2 Un  .
2 2
Démontrons, à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
Considérons la propriété :


P0
Pn
n
 1 
: « 2 Un  
  2  U0  » .
 2 2 
0
 1 
est vraie car 2  U 0  
  2  U0  .
 2 2 
Supposons que Pp soit vraie pour un entier naturel
or d’après ce qui précède, 2  U p 1 
Pp 1 est donc vraie .
p 1
p
 2  U0  .
1
2 U p 
2 2
1
1
 1 
donc 2  U p 1 
2 U p  



2 2
2 2  2 2 
 1 
soit 2  U p 1  

 2 2 
 1 
p . Alors 2  U p  

 2 2 
p
 2 U0 
( hypothèse de récurrence )
 2  U0 
La propriété est donc héréditaire.
n
 1 
CONCLUSION : Pour tout entier naturel n, on a : 0  2  U n  
  2  U0 
 2 2 
n
1
 1 
1
5°) lim 
 0 car 1 

n 2  2
2 2


TH :
lim qn  0 si  1  q  1
n
  1 n

lim 0  lim  
2

U
0


0
n 
n   2  2 




donc, d’après le théorème des gendarmes, lim  2  U n   0
n
TI
CE
Un  2
donc nlim

SUITES iterees
Fiche PROF
PROGRAMMES : solutions
TI 82-83-84
Prompt P,N,U
PI
UY
While I < N
YX
I+1I
Y1  Y
End
Disp « N :»
Disp I
Disp « UN :»
Disp Y
Aide
Pour trouver les instructions Prompt, While …
aller dans PRGM
Pour trouver < ,
aller dans 2nd CATALOG
ou 2nd MATH pour la TI 82
Pour  , appuyer sur STO
ATTENTION : Pour trouver la touche Y 1 :
TI 80 : 2nd Y-VARS 1
TI 82 : 2nd Y-VARS 1 1
TI 83 :VARS  1
TI 82 STATS et 84 :VARS Y-VARS 1 :
Casio Graph
?P
?N
?U
PI
UY
While I < N
YX
I+1I
Y1  Y
WhileEnd
I
Y
Aide
Appuyer sur entrée à la fin de chaque ligne.
ATTENTION :
Pour trouver la touche Y 1 :
VARS GRPH Y1 ( on tape 1 à côté de Y )
TI 89-92
Aide
S10
suitesiteree( )
Prgm
Local p,n,u
Prompt p,n,u
pi
uy
While i < n
yx
i+1  i
f (x)  y
EndWhile
Disp i,y
EndPrgm
< voir CATALOG
Pour exécuter : 2nd var-link
Penser à entrer f(x)