Activité

TI
CE
S U I T E S i t e r e e s
Calculatrice
S10
SUITES du type Un+1 = f(Un) – Programmer le calcul des termes
1°) ECRITURE DU PROGRAMME
Un
est une suite définie par un premier terme de rang p et par une relation
de récurrence du type :
)(
1nn UfU 
.
L’algorithme de calcul le terme de rang n quelconque ( n > p )
Choisir le mode édition d’un nouveau programme ( PRGM EDIT )
Nom du programme : SUITEITE par exemple.
Penser à entrer, pour chaque utilisation du programme, l’expression
de f ( x ) dans Y
1
. ( Y = )
Pour exécuter le programme, choisir le mode exécution ( PRGM EXE )
Entrer le rang p
Entrer la valeur de
Up
Entrer le rang n
p → I
Up → Y
While I < n
Y → X
I + 1 → I
f (X) →Y
Fin de boucle
Afficher I et Y.
ANNEXE : Aide à la programmation.
TI 82-83-84
CASIO
Pour trouver les instructions Prompt, While …
aller dans PRGM
Pour trouver < , aller dans 2nd CATALOG
ou 2nd MATH pour la TI 82
Pour  , appuyer sur STO
ATTENTION : Pour trouver la touche Y
1
:
TI 80 : 2nd Y-VARS 1
TI 82 : 2nd Y-VARS 1 1
TI 83 :VARS  1
TI 82 STATS et 84 :VARS Y-VARS 1 :
Appuyer sur entrée à la fin de chaque ligne.
ATTENTION :
Pour trouver la touche Y
1
:
VARS GRPH Y1 ( on tape 1 à côté de Y )
2°) INVESTIGATIONS NUMERIQUES
Pour chacune des suites définies ci-après, utiliser le programme décrit précédemment pour calculer les termes
demandés, puis émettre une conjecture concernant la convergence de ces suites.
n :
10
50
100
200
500
conjecture
1
12 8
1
n
n
nU
U
U
et
01U
2
12 8
1
n
n
nU
U
U
et
02U
3
110
3
nn
UU
et
02U
4
2
134 n n n
U U U
et
03/2U

5
2
13 4,00001 n n n
U U U
et
03/2U
6
12 nn
UU
et
00U
3°) ETUDE ALGEBRIQUE
Exemple 1 :
Un
est la suite définie sur IN par
01U
et la relation de récurrence :
12 8
1
n
n
nU
U
U
.
1°) Calculer
1
U
et
2
U
.
2°) Soit
n
V
la suite définie pour tout
n
, par :
2
2
n
n
nU
U
V
.
a) Calculer
0
V
,
1
V
et
2
V
, et montrer que
n
V
est une suite géométrique que l’on caractérisera .
b) Déterminer la limite de la suite
n
V
quand
n
tend vers +  .
3°) Exprimer
n
U
en fonction de
n
V
, et déterminer la limite de la suite
Un
.
Exemple 2 :
Un
est la suite définie sur IN par
02U
et la relation de récurrence :
12 8
1
n
n
nU
U
U
.
Calculer les premiers termes.
Caractériser cette suite et conclure.
Exemple 3 :
Un
est la suite définie sur IN par
02U
et la relation de récurrence :
110
3
nn
UU
.
Calculer les premiers termes.
Caractériser cette suite et conclure.
Exemple 4 :
Un
est la suite définie sur IN par
03/2U
et la relation de récurrence :
2
134 n n n
U U U
.
Soit f la fonction définie par
2
( ) 3 4f x x x  
.
1°) Démontrer que f est strictement croissante sur l’intervalle [
3
2
, 2 ].
En déduire que pour tout entier naturel n, on a :
32
2n
U
.
2°) Démontrer que la suite
n
U
est croissante.
3°) Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n 4, on a :
2
2n U
n
.
4°) Conclure.
Exemple 5 :
Un
est la suite définie sur IN par
03/2U
et la relation de récurrence :
2
13 4,00001 n n n
U U U
.
Démontrer que la suite
n
U
ne peut converger vers 2.

Exemple 6 A faire en DM :
Un
est la suite définie sur IN par
0
0U
et la relation de récurrence :
12 nn
UU
.
Soit f la fonction définie par
( ) 2f x x
.
1°) Démontrer que f est strictement croissante sur l’intervalle [0, 2 ].
En déduire que pour tout entier naturel n, on a :
02
n
U
.
2°) Démontrer que la suite
n
U
est croissante.
3°) Démontrer, pour tout réel x de l’intervalle [0,2] , on a :
1
2 ( ) 2
22
f x x  
4°) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :
11
0 2 2
22
nn
UU
et que, pour tout entier naturel n, on a :
0
1
0 2 2
22
n
n
UU
5°) Conclure.
CORRIGE
Remarquons que, pour tout entier naturel n :
1nn
U f U
1°) f est de la forme
u
;
1
'( ) 22 fx x
; On a alors :
'( ) 0fx
f est strictement croissante sur l’intervalle [0, 2 ].
Démontrons, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que quelque soit
nÎ ¥
,
02
n
U
.
Considérons la propriété :
n
P
: «
02
n
U
» .
0
P
est vraie car
00U
donc
0
02U
.
 Supposons que
p
P
soit vraie pour un entier naturel
p
. Alors
02
p
U
.
Comme f est strictement croissante sur l’intervalle [0, 2 ], on a :
02
p
f f U f
Soit encore :
1
22
p
U
et finalement
1
02
p
U
car
02
1p
P
est donc vraie . La propriété est donc héréditaire.
CONCLUSION : Pour tout entier naturel n ,
n
P
est vraie .
Autrement dit, pour tout entier naturel n, on a :
02
n
U
.
2°) Démontrons, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que la suite
n
U
est croissante.
Considérons la propriété :
n
P
: «
1nn
UU
» .

0
P
est vraie car
00U
et
12U
donc
01
UU
.
 Supposons que
p
P
soit vraie pour un entier naturel
p
. Alors
1pp
UU
.
Comme f est strictement croissante sur [0, 2 ], et que les termes de la suite sont bien dans [0, 2 ],
on a :
1pp
f U f U 
d’où
12pp
UU
.
1p
P
est donc vraie . La propriété est donc héréditaire.
CONCLUSION : Pour tout entier naturel n ,
1nn
UU
, autrement dit, la suite
n
U
est croissante.
3°)
2 2 2 2 42 2
2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2
xx xx
f x x x x x
or
22x
donc
22x
donc
2 2 2 2x   
donc
11
2 2 2 2x
Démontrer, pour tout réel x de l’intervalle [0,2] , on a :
22
2 2 2 2
xx
x
car
20x
donc pour tout réel x de l’intervalle [0,2] , on a :
1
2 ( ) 2
22
f x x  
4°) D’après ce qui précède, comme
0,2
n
U
,
on peut écrire : pour tout entier naturel n, on a :
11
0 2 2
22
nn
UU
.
Démontrons, à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
Considérons la propriété :
n
P
: «
0
1
22
22
n
n
UU
» .
0
P
est vraie car
0
00
1
22
22
UU
.
 Supposons que
p
P
soit vraie pour un entier naturel
p
. Alors
0
1
22
22
p
p
UU
.
or d’après ce qui précède,
11
22
22
pp
UU
donc
10
1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2
p
pp
U U U
( hypothèse de récurrence )
soit
1
10
1
22
22
p
p
UU
1p
P
est donc vraie . La propriété est donc héréditaire.
CONCLUSION : Pour tout entier naturel n, on a :
0
1
0 2 2
22
n
n
UU
5°)
1
lim 0
22
n
n
car
1
11
22
TH :
lim 0 1 1
n
nq si q

0
1
lim 0 lim 2 0
22
n
nn U
donc, d’après le théorème des gendarmes,
lim 2 0
n
nU
donc
lim 2
n
nU
TI
CE
S U I T E S i t e r e e s
Fiche PROF
S10
PROGRAMMES : solutions
TI 82-83-84
Aide
Prompt P,N,U
P  I
U  Y
While I < N
Y  X
I + 1  I
Y
1
 Y
End
Disp « N :»
Disp I
Disp « UN :»
Disp Y
Pour trouver les instructions Prompt, While …
aller dans PRGM
Pour trouver < , aller dans 2nd CATALOG
ou 2nd MATH pour la TI 82
Pour  , appuyer sur STO
ATTENTION : Pour trouver la touche Y
1
:
TI 80 : 2nd Y-VARS 1
TI 82 : 2nd Y-VARS 1 1
TI 83 :VARS  1
TI 82 STATS et 84 :VARS Y-VARS 1 :
Casio Graph
Aide
?  P
?  N
?  U
P  I
U  Y
While I < N
Y  X
I + 1  I
Y
1
 Y
WhileEnd
I
Y
Appuyer sur entrée à la fin de chaque ligne.
ATTENTION :
Pour trouver la touche Y
1
:
VARS GRPH Y1 ( on tape 1 à côté de Y )
TI 89-92
Aide