Exercices supplémentaires de logique et raisonnement

Université Blaise Pascal
Département de Mathématiques
Module S1 A ou B Math
Année 2007-2008
Exercices supplémentaires de logique et raisonnement
Exercice 1
Ecrire la négation des propositions suivantes :
1) Dans cette le, toute voiture noire est suivie par une voiture noire ;
2) Il existe un camion belge dont tous les pneus sont dégonés ;
3) Pour tout ε ≥ 0, il existe n ∈ N tel que 1/(n + 1) ≤ ε ≤ 1/n ;
4) Il existe k ∈ N, tel que kn soit multiple de n pour tout n ∈ N∗ , où N ∗ = {j ∈ N : j 6= 0}.
Exercice 2
Soit P, Q, R, S des propositions. Dans chacun des cas suivants, les propositions citées sont-elles équivalentes ?
1) [non (P et Q)] ; (non P ou non Q) ;
2) (non P ⇒ Q) ; (P ⇒ non Q) ;
3) (P ou Q) ; (non P et non Q) ;
4) [(P ou Q) et (R ou S )] ; [(P et R) ou (P et S ) ou (Q et R) ou (Q et S )].
Exercice 3
Démontrer les énoncés suivants par contraposée ou par l'absurde :
1) L'équation 9x5 − 12x4 + 6x + 5 = 0 n'a pas de solution entière.
2) Les solutions entières de l'équation x4 + x3 + 14x2 + 7x = 21 satisfont toutes une des conditions x
est multiple de 7 ou x + 1 est multiple de 7 ;
√
√
3) Le nombre 3 est irrationnel, c'est-à-dire dans R \ Q (on pourra s'inspirer du cas de 2).
Exercice 4
Démontrer les énoncés suivants par récurrence (éventuellement forte) :
1) Pour tout n ∈ N tel que n ≥ 10, on a 3n ≥ n4 (on pourra s'inspirer du cas de 2n ≥ n3 ) ;
P
2) Pour tout n ∈ N, on a nk=0 (2k + 1) = (n + 1)2 .
P
Le point (2) peut également se démontrer en utilisant la formule nk=0 k = n(n + 1)/2, qu'on a déjà
démontrée. On n'utilise alors pas de récurrence. Bonus : trouver cette démonstration.
Exercice 5
Le raisonnement par récurrence suivant est-il correct ?
On va démontrer que dans un groupe d'étudiants, tous ont toujours les yeux de la même couleur. Pour ce
faire, on procède par récurrence sur le nombre d'étudiants du groupe. Si le groupe compte un seul étudiant,
il n'y a rien à démontrer (ancrage).
On pose alors l'hypothèse de récurrence suivante : si le groupe compte n étudiants, alors tous ont les yeux
de la même couleur.
On doit maintenant démontrer que si le groupe compte n + 1 étudiants, alors tous ont les yeux de la même
couleur. On fait sortir un étudiant et on obtient ainsi un groupe de
n
étudiants, qui ont tous les yeux de
la même couleur (par hypothèse). On fait alors sortir un autre étudiant (et rentrer l'étudiant précédent) ;
on obtient à nouveau un groupe de
n
étudiants, qui ont tous les yeux de la même couleur (par hypothèse).
Si vous pensez que le raisonnement est incorrect, explicitez l'erreur le plus précisément possible.
Par conséquent tous les étudiants du groupe ont les yeux de la même couleur. CQFD
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