Angle plat - WordPress.com

Trigonométrié
1. Angles orientés
1.1.
Congruence de deux angles modulo 2π
𝛽 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 ⇔ 𝛼 ≡ 𝛽 (2𝜋)
1.2.
Propriétés
1.2.1. Angles remarquables
Angle plat : (𝑢
⃗ , 𝑣 ) ≡ 0 (2𝜋)
Angle nul : (𝑢
⃗ , −𝑢
⃗ ) = (−𝑢
⃗ ,𝑢
⃗ ) ≡ 𝜋 (2𝜋)
1.2.2. Relation de Chasles
(𝑢
⃗ ,𝑤
⃗⃗ ) = (𝑢
⃗ , 𝑣 ) + (𝑣 , 𝑤
⃗⃗ )
1.2.3. Conséquences
(𝑣 , 𝑢
⃗ ) ≡ −(𝑢
⃗ , 𝑣 ) (2𝜋)
(−𝑢
⃗ , −𝑣 ) ≡ (𝑢
⃗ , 𝑣 ) (2𝜋)
(−𝑢
⃗ , 𝑣 ) ≡ (𝑢
⃗ , 𝑣 ) + 𝜋 (2𝜋)
2. Trigonométrie
2.1.
Propriétés
cos(𝑥) ∈ [−1,1]
sin(𝑥) ∈ [−1,1]
cos(𝑥 + 2𝜋) = cos 𝑥
sin(𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥
𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑠𝑖𝑛²𝑥 = 1
2.2.
Angles associés
2.2.1. Relation entre x et -x
cos (−𝑥) = cos 𝑥
sin(−𝑥) = − sin 𝑥
2.2.2. Relation entre x et son complémentaire
𝜋
cos ( − 𝑥) = sin 𝑥
2
𝜋
sin ( − 𝑥) = cos 𝑥
2
2.2.3. Relation entre x et son supplémentaire
cos(𝜋 − 𝑥) = − cos 𝑥
sin(𝜋 − 𝑥) = sin 𝑥
2.2.4. Relation entre x et π+x
cos(𝜋 + 𝑥) = − cos 𝑥
sin(𝜋 + 𝑥) = − sin 𝑥
2.2.5. Relation entre x et π/2 +x
𝜋
cos ( + 𝑥) = −sin 𝑥
2
𝜋
sin ( + 𝑥) = cos 𝑥
2
2.3.
Sinus, cosinus et tangentes d’angles usuels
𝑥
0
sin 𝑥
0
cos 𝑥
1
tan 𝑥
0
2.4.
𝜋
6
1
2
√3
2
√3
3
𝜋
4
√2
2
√2
2
1
𝜋
3
√3
2
1
2
√3
𝜋
2
1
0
Equations trigonométriques
cos 𝑥 = 𝑎 𝑒𝑡 𝑎 = cos 𝛼
cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = −𝛼 + 2𝑘𝜋
sin 𝑥 = 𝑏 𝑒𝑡 𝑏 = sin 𝛽
sin 𝑥 = sin 𝛽 ⇔ 𝑥 = 𝛽 + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = 𝜋 − 𝛽 + 2𝑘𝜋
2.5.
Nombre de solutions dans une équation
trigonométrique
𝑥𝑘 = 𝛼 +
2𝑘𝜋
𝑛
Où 𝛼 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢, 𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑒𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢𝑒, 𝑘 ∈ ℤ
Cette égalité conduit à n solutions sur]-π, π] pour les trouver, il suffit de
remplacer k par 0, 1, 2,…, n-1