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Formation continue en réseau local pour l’enseignement de la physique Dufour Claude FORCE CENTRIPETE réflexions consécutives à la réunion du 7/2/2007
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3. Raisonnement fournissant l’expression de la force centripète en fonction de m, v et r
Notions préalables concernant la force centripète et notations utilisées
L’expérience a montré qu’une force radiale est nécessaire pour maintenir un mobile de masse m et
de vitesse v sur une trajectoire circulaire de rayon r. On devine facilement que l’intensité de cette force
restera la même en tout point de la trajectoire de ce mobile. Nous choisirons comme origine de la mesure
des temps, le moment où le mobile se trouve en O, juste à la «verticale» au dessus du centre du cercle.
Nous appellerons t le temps que le mobile met pour passer du point O au point B. F désignera l’intensité
de la force agissant sur ce corps et a l’accélération correspondante : a = F/m
Décomposition du mouvement curviligne en ses 2 composantes
Le mouvement circulaire est un cas particulier de mouvement curviligne. On sait que pour étudier un tel
mouvement, il convient de le décomposer, par projection, sur un axe «horizontal» x et sur un axe
«vertical» y. Le déplacement réel du mobile (vecteur AB) sera obtenu comme étant la somme vectorielle du
vecteur OA, la composante «horizontale» du déplacement & du vecteur AB, sa composante «verticale».
Une condition simplificatrice concernant t
Dans la mesure où le point B est proche de O, la force appliquée au mobile, lorsqu’il est en O ou en B ont
des directions proches. Si on considère des intervalles de temps t très très petits, ces directions
deviennent identiques. Dans ce cas, on peut considérer que la force appliquée
au mobile reste constante sur tout le trajet OB (en grandeur et en direction).
La force F étant constamment «verticale», sa composante «horizontale» est
nulle & la composante «horizontale» du déplacement n’est modifiée par aucune
force. Le vecteur OA est le déplacement qu’aurait le mobile en l’absence de
toute force. Il parcourira ainsi une distance:
OA = v.t (MRU).
Lorsque le mobile était en O, la composante verticale de sa vitesse était ……… .
Comme il a une certaine vitesse verticale lorsqu’il est en B, cela veut dire qu’il a
subi une accélération verticale non nulle. L’hypothèse concernant t permet de
supposer que la force appliquée au mobile reste constante sur tout le trajet OB.
On peut donc utiliser la formule du MRUA pour trouver AB, la
composante «verticale» du déplacement: AB= 0+0t+½ at².
Evaluation de la distance DB
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle BCD donne : BD²= CB² +CD²
Le schéma montre en outre que : CB = OA = vt
CD = r – OC = r – AB = r - ½at².
__________________________________ ____________________________________________
On en tire: BD = BD² = CB² +CD² = (vt)² + (r - a.t²/2)²
_____________________________________________________
= v²t² + r² + a².t4/4 - rat²
On constate que la position du point B dépend de l’accélération a, subie par le mobile. Selon la valeur de
l’accélération a, on peut imposer au mobile de prendre telle position et de décrire telle ou telle trajectoire.
Par exemple , pour que le mobile se déplace «horizontalement», il suffit que a=.............
et si on veut que la trjectoire soit une parabole d’axe OD, il suffit que a=..............
La trjectoire doit être circulaire
Ce qui nous intéresse, ici, est de trouver l’accélération qui obligera le point B à se trouver sur un
cercle de centre D. Dans l’expression de BD, l’accélération ‘‘a’’ sera ac, l’accélération centripète ssi les
expressions des coordonnées de B ont une forme particulière, qui oblige B à être sur un cercle de centre D
et de rayon r. Ce sera le cas ssi on impose BD= r c.à.d _______________________________________________________
v²t² + r² + ac².t4/4 - ract² = r
Résolution de cette équation en ac
En élevant au carré : v²t² + r² + ac².t4/4 - rac t² = r²
ou v²t² + ac².t4/4 - rac.t² = 0
Après simplification par t² , on en tire: ac = v² + ac².t²/4
r
Expression de l’intensité de l’accélération centripète (en fonction de v et r)
En tenant compte de ce que t doit être infiniment petit dans la dernière formule,
on obtient l’expression de l’accélération capable de rendre la trajectoire circulaire :
Expression de l’intensité de la force centripète (en fonction de m, v et r)
Quant à l’intensité de la force centripète qui fait tourner un objet de masse m
et de vitesse v, sur un cercle de rayon r, elle est donnée la formule: Fc = m.v²/r
Nous pouvons vérifier que la force est bien une fonction croissante de la vitesse et une fonction décroissante du rayon de courbure.