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Formation continue en réseau local pour l’enseignement de la physique Dufour Claude FORCE CENTRIPETE réflexions consécutives à la réunion du 7/2/2007
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Expression de la force centripète – Dérivation valable à l’ordre le plus bas (en t)
Notion préalable et notations utilisées
L’expérience a montré qu’une force radiale est nécessaire pour maintenir un mobile de masse m et
de vitesse v sur une trajectoire circulaire de rayon r.
Appelons F l’intensité de cette force et a l’accélération correspondante : a = F/m et considérons un
intervalle de temps t, au cours duquel le mobile passe du point O au point B .
Pour étudier ce mouvement curviligne, on décompose ce mouvement, par
projection, sur un axe «horizontal» x et sur un axe «vertical» y.
Lorsqu’il se trouve en M, le point milieu de OB, la force exercée sur le mobile est
oblique. Il en est de même pour l’accélération «a», subie par le mobile.
Les composantes de cette accélération sont : ax = Fx/m = - sin.F/m .
ay = Fy/m = cos.F/m .
Nous considérerons, pour simplifier, que le mobile a été soumis à cette force en
tout point du trajet OB. Dans ces conditions, l’accélération du mobile a été
constante de A à B et on peut calculer les coordonnées du point B :
x = OA= 0 + vt + ax t²/2 = vt - a sin.t²/2
y = AB = 0 + 0t + ay t²/2 = a cos.t²/2
Expression de la distance DB
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle BCD donne: BD²= CB² +CD²
Le schéma montre en outre que : CB = OA = vt - a sin.t²/2
CD=r–OC = r – AB = r - a cos.t²/2
__________________________________ ___________________________________________________________________________
On en tire: BD =  BD² = CB² +CD² =  (vt - a sin.t²/2)² + (r - a cos.t²/2)²
________________________________________________________________________________________________________________________________
=  v²t² + a² sin².t4/4 - vta sin.t² + r² + a² cos².t4/4 - racos.t²
On constate que la position du point B dépend de l’accélération a, subie par le mobile. Selon la valeur de
l’accélération a, on peut imposer au mobile de prendre telle ou telle position ; de décrire telle trajectoire.
Par ex. , pour que le mobile se déplace «horizontalement», il suffit que a=....
et pour que le mobile se déplace sur une parabole d’axe OD, il suffit que a=..
Imposons que la trajectoire soit circulaire
Ce qui nous intéresse, ici, est de trouver l’accélération qui obligera le point B à se trouver sur un
cercle de centre D. L’accélération ‘‘a’’ sera donc ac, l’accélération centripète ssi les expressions des
coordonnées de B ont une forme particulière, qui oblige B à être sur un cercle de centre D et de rayon r. Ce
sera le cas ssi on impose BD= r
_____________________________________________________________________________________________________________________________________
ou  v²t² + ac² sin².t4/4 - vtac sin.t² + r² + ac² cos².t4/4 - raccos.t² = r
Résolution de cette équation en ac
En élevant au carré, on obtient une équation équivalente mais plus simple :
v²t² + ac² sin².t4/4 - vtac sin.t² + r² + ac² cos².t4/4 - raccos.t² = r²
ou v²t² + ac² sin².t4/4 - vtac sin.t² + ac² cos².t4/4 - raccos.t² = 0
On en tire la valeur de l’accélération a qui oblige le mobile de vitesse v, à parcourir un cercle de rayon r:
ac = v²t² + ac² sin².t4/4 - vtac sin.t² + ac² cos².t4/4
rcos.t²
et après simplification par t : ac = v² + ac².sin².t²/4 - vtac.sin + ac².cos².t²/4
rcos
Condition de validité de tout ce raisonnement
Dans la mesure où le point O est proche de B, la force appliquée au mobile lorsqu’il est en O ou en A
sont égales en intensité et ont des directions proches. Si on considère des intervalles de temps t très très
petits, ces directions deviennent identiques, Ainsi la force appliquée au mobile reste constante sur tout le
trajet OB, (en grandeur et en direction).
Dans le même temps,  devient très très petit aussi, ainsi que sin tandis que cos peut devenir
aussi proche de 1 qu’on le veut.
Expression de l’intensité de l’accélération centripète (en fonction de v et r)
En imposant que t  0 et   0 (sin  0 et cos  1) dans la dernière formule,
on obtient l’expression de l’accélération capable de rendre la trajectoire circulaire :
Expression de l’intensité de la force centripète (en fonction de m, v et r)
Quant à l’intensité de la force centripète qui fait tourner un objet de masse m
et de vitesse v, sur un cercle de rayon r, elle est donnée la formule: Fc = m.v²/r
Nous pouvons vérifier que la force est bien une fonction croissante de la vitesse et une fonction décroissante du rayon de courbure.
ac = v ²
r

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Comparaison avec la démonstration précédente plus simple
Dans cette démonstration, on tient compte du changement de direction de la force centripète au prix
de l’introduction du paramètre  . Ce paramètre disparaît cependant lorsque l’on considère des intervalles
de temps t tendant vers 0. Le résultat n’est donc pas modifié,
Afin d’alléger la démonstration destinée aux élèves, il me semble donc opportun de considérer une
direction de force centripète selon l’axe z ou «verticale» et non radiale, en se basant sur le fait que sur un
intervalle de temps tendant vers 0, comme on l’impose finalement, la direction de la force n’a pas eu le
temps de varier.
Commentaire et calcul montrant que la décomposition du mouvement circulaire selon 2 axes perpendiculaires est valable et fructueuse
La décomposition du mouvement circulaire selon 2 axes perpendiculaires est la procédure habituelle
pour étudier n’importe quel mouvement curviligne, que ce soit la trajectoire des corps célestes ou celle des
missiles.
Dans le cas présent, on peut tester de cette manière (en toute rigueur)
que la vitesse du mobile en MCU est conforme à nos attentes ; par exemple, que
la composante «horizontale» de sa vitesse s’annule après ¼ de tour.
A un moment quelconque, lorsque le rayon vecteur fait un angle  avec la
« verticale »,la composante horizontale de son accélération est ax = Fx/m = -
sin.F/m = - sin.m.v²/rm = - sin.v²/r.
Après ¼ de tour, sa vitesse horizontale sera: vx(T/4) = vx0 + 0T/4 [- sin.v²/r ] dt
avec  = t = 2t/T
ce qui donne vx(T/4) = v - v²/r[cos(2/4) - cos(0) ] . T/2
et comme vT = 2r , vx(T/4) = v - v = 0 (un résultat attendu)
De même, on obtiendrait vy(T/4) = 0 + v = v ,ce qui signifie que, en un quart de
tour, la vitesse du mobile subit une rotation de 90° sans modification d’intensité.
Ceci confirme, s’il en était besoin, la justesse du procédé de décomposition du mouvement circulaire selon 2
axes perpendiculaires et met également en évidence le fait que les projections sont des MRUA toutes les
deux; l’une de ces projections correspondant à un MRU uniquement dans la limite où t tend vers 0.
Conclusion personnelle
La démonstration présentée ci-dessus (appelée «à l’ordre le plus bas en t») est destinée à
l’enseignant et je ne l’inclurai pas dans le syllabus de mes élèves.
En dehors de l’éclairage que ce travail peut apporter aux collègues, en ce qui concerne les élèves, il
a aussi son intérêt pour 2 raisons :
 J’estime que la démonstration basée sur une décomposition du mouvement circulaire sur deux axes
perpendiculaires a l’avantage de maintenir les élèves dans un mode de raisonnement qu’ils viennent
de découvrir dans le cadre de la théorie générale du mouvement curviligne et qu’on a intérêt à
(ré)activer pour favoriser son assimilation. Non seulement c’est un mode de résolution des
problèmes de mécanique des futurs étudiants mais c’est aussi la technique utilisée pratiquement
pour la résolution numérique ou analytique de trajectoires curvilignes à 2D ou 3D.
 A la lumière des justifications plus rigoureuses considérées dans ce travail, j’ai modifié le texte final
à destination de mes élèves. En particulier, il me semble préférable de désigner OA et AB, comme
étant les 2 composantes du déplacement du mobile et non comme 2 mouvements dont la
«superposition» donne le mouvement réel. Ce texte peut être trouvé ci-dessous.
Merci donc à Mme Verbist, dont la question relative à la direction de la force centripète non radiale a été à
l’origine de cette fructueuse réflexion.
Remarque concernant la démonstration de Louis Hennecart
Dans la démonstration qu’il nous a livrée, l’hypothèse concernant des intervalles de temps t
tendant vers 0 est aussi nécessaire dès le début, ainsi que dans le schéma. On ne peut y considérer des
longueurs d’arcs m1-m2 quelconques : un arc m1-m2 de /2 radians, en particulier, ne peut être obtenu
comme superposition (somme vectorielle) d’un mouvement rectiligne uniforme x1, vertical et un MRU x2
radial sans devoir considérer des vitesses infinies. Ce schéma n’est valable que lorsque t tend vers 0,
auquel cas la direction de x2 est aussi bien radiale que perpendiculaire à x1, comme je le considère.
L’hypothèse concernant des intervalles de temps t tendant vers 0 est nécessaire dans toute
démonstration de ce type et, à présent, il me semble nécessaire de l’y introduire le plus tôt possible.

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3. Raisonnement fournissant l’expression de la force centripète en fonction de m, v et r
Notions préalables concernant la force centripète et notations utilisées
L’expérience a montré qu’une force radiale est nécessaire pour maintenir un mobile de masse m et
de vitesse v sur une trajectoire circulaire de rayon r. On devine facilement que l’intensité de cette force
restera la même en tout point de la trajectoire de ce mobile. Nous choisirons comme origine de la mesure
des temps, le moment où le mobile se trouve en O, juste à la «verticale» au dessus du centre du cercle.
Nous appellerons t le temps que le mobile met pour passer du point O au point B. F désignera l’intensité
de la force agissant sur ce corps et a l’accélération correspondante : a = F/m
Décomposition du mouvement curviligne en ses 2 composantes
Le mouvement circulaire est un cas particulier de mouvement curviligne. On sait que pour étudier un tel
mouvement, il convient de le décomposer, par projection, sur un axe «horizontal» x et sur un axe
«vertical» y. Le déplacement réel du mobile (vecteur AB) sera obtenu comme étant la somme vectorielle du
vecteur OA, la composante «horizontale» du déplacement & du vecteur AB, sa composante «verticale».
Une condition simplificatrice concernant t
Dans la mesure où le point B est proche de O, la force appliquée au mobile, lorsqu’il est en O ou en B ont
des directions proches. Si on considère des intervalles de temps t très très petits, ces directions
deviennent identiques. Dans ce cas, on peut considérer que la force appliquée
au mobile reste constante sur tout le trajet OB (en grandeur et en direction).
La force F étant constamment «verticale», sa composante «horizontale» est
nulle & la composante «horizontale» du déplacement n’est modifiée par aucune
force. Le vecteur OA est le déplacement qu’aurait le mobile en l’absence de
toute force. Il parcourira ainsi une distance:
OA = v.t (MRU).
Lorsque le mobile était en O, la composante verticale de sa vitesse était ……… .
Comme il a une certaine vitesse verticale lorsqu’il est en B, cela veut dire qu’il a
subi une accélération verticale non nulle. L’hypothèse concernant t permet de
supposer que la force appliquée au mobile reste constante sur tout le trajet OB.
On peut donc utiliser la formule du MRUA pour trouver AB, la
composante «verticale» du déplacement: AB= 0+0t+½ at².
Evaluation de la distance DB
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle BCD donne : BD²= CB² +CD²
Le schéma montre en outre que : CB = OA = vt
CD = r – OC = r – AB = r - ½at².
__________________________________ ____________________________________________
On en tire: BD =  BD² = CB² +CD² =  (vt)² + (r - a.t²/2)²
_____________________________________________________
=  v²t² + r² + a².t4/4 - rat²
On constate que la position du point B dépend de l’accélération a, subie par le mobile. Selon la valeur de
l’accélération a, on peut imposer au mobile de prendre telle position et de décrire telle ou telle trajectoire.
Par exemple , pour que le mobile se déplace «horizontalement», il suffit que a=.............
et si on veut que la trjectoire soit une parabole d’axe OD, il suffit que a=..............
La trjectoire doit être circulaire
Ce qui nous intéresse, ici, est de trouver l’accélération qui obligera le point B à se trouver sur un
cercle de centre D. Dans l’expression de BD, l’accélération ‘‘a’’ sera ac, l’accélération centripète ssi les
expressions des coordonnées de B ont une forme particulière, qui oblige B à être sur un cercle de centre D
et de rayon r. Ce sera le cas ssi on impose BD= r c.à.d _______________________________________________________
 v²t² + r² + ac².t4/4 - ract² = r
Résolution de cette équation en ac
En élevant au carré : v²t² + r² + ac².t4/4 - rac t² = r²
ou v²t² + ac².t4/4 - rac.t² = 0
Après simplification par t² , on en tire: ac = v² + ac².t²/4
r
Expression de l’intensité de l’accélération centripète (en fonction de v et r)
En tenant compte de ce que t doit être infiniment petit dans la dernière formule,
on obtient l’expression de l’accélération capable de rendre la trajectoire circulaire :
Expression de l’intensité de la force centripète (en fonction de m, v et r)
Quant à l’intensité de la force centripète qui fait tourner un objet de masse m
et de vitesse v, sur un cercle de rayon r, elle est donnée la formule: Fc = m.v²/r
Nous pouvons vérifier que la force est bien une fonction croissante de la vitesse et une fonction décroissante du rayon de courbure.
ac = v ²
r

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